साइन और कोसाइन के बीच सहसंबंध

मान लीजिए कि $X$ को समान रूप से पर वितरित किया गया है $[0, 2\pi]$ । चलो $Y = \sin X$ और $Z = \cos X$ । दिखाएँ कि $Y$ और बीच संबंध $Z$ शून्य है।

ऐसा लगता है कि मुझे साइन और कोसाइन के मानक विचलन, और उनके सह-अस्तित्व को जानना होगा। मैं इनकी गणना कैसे कर सकता हूं?

मुझे लगता है कि मुझे मान लेना चाहिए कि $X$ का समान वितरण है, और रूपांतरित चर $Y=\sin(X)$ और $Z=\cos(X)$ । फिर बेहोश सांख्यिकीविद् का कानून अपेक्षित मूल्य देगा

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ और

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(घनत्व समान है क्योंकि यह एक समान वितरण है, और इस तरह इसे अभिन्न से बाहर ले जाया जा सकता है)।

हालाँकि, उन अभिन्नताओं को परिभाषित नहीं किया गया है (लेकिन मेरे विचार से शून्य के कैची प्रमुख मूल्य हैं)।

मैं इस समस्या को कैसे हल कर सकता हूं? मुझे लगता है कि मुझे पता है कि समाधान (सहसंबंध शून्य है क्योंकि साइन और कोज़ाइन के विपरीत चरण हैं), लेकिन मैं यह नहीं पा सकता कि इसे कैसे प्राप्त किया जाए।

— uklady
स्रोत

जैसा कि कहा गया है, आपकी समस्या अपर्याप्त रूप से परिभाषित है। सहसंबंध एक अवधारणा है जो यादृच्छिक चर पर लागू होती है, कार्य नहीं। (औपचारिक रूप से, एक यादृच्छिक चर एक प्रकार का कार्य है, अर्थात् संभावना स्थान से एक औसत दर्जे का कार्य जो बोरेल माप से सुसज्जित वास्तविक संख्याओं में होता है। लेकिन सिर्फ "साइन फ़ंक्शन" कहे जाने से आपको संभाव्यता माप के बारे में कुछ भी नहीं पता है। डोमेन, जो आपको संयुक्त वितरण सहित संभावित जानकारी प्राप्त करता है।)

— कोडियोलॉजिस्ट

अगर मुझे लगता है कि समय एक समान यादृच्छिक चर ( मेरे पाठ में

) है, तो क्या ऐसा करना संभव नहीं है? मेरा मतलब है कि मैं तब दो रूपांतरित यादृच्छिक चर के सहसंबंध को देखूंगा।

X

$X$

— uklady

तो आप चाहते हैं कि

समान रूप से वितरित हो और फिर आप

और

को परिभाषित करें ? के ठीक सिवाय इसके कि आप भी के समर्थन निर्दिष्ट करने की आवश्यकता

, के घनत्व के बाद से वहाँ के पूरे पर कोई समान वितरण है , या किसी अन्य असीम लंबे अंतराल।

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— कोडियोलॉजिस्ट

शायद मैं समर्थन के रूप में ले सकता हूं (मैं मान रहा हूं कि , इसलिए अंतराल में एक पूर्ण चक्र होता है)। मुझे लगता है कि एकीकरण की समस्याएं तब भी गायब हो

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— जाएंगी

यदि आप ऐसा करते हैं, तो आपको केवल एक स्कैप्लेट को आकर्षित करने की आवश्यकता है - कोई एकीकरण आवश्यक नहीं है। यह स्कैटरप्लॉट यूनिट सर्कल (स्पष्ट रूप से) पर एक समान वितरण है। चूंकि सर्कल मूल के माध्यम से किसी भी प्रतिबिंब के तहत सममित है, इसलिए सहसंबंध इसकी नकारात्मक के बराबर है, जहां यह शून्य, QED होना चाहिए ।

— whuber

जबसे

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

सहसंबंध भी 0 होना चाहिए।

— Kodiologist
स्रोत

मैं वास्तव में समरूपता से @ व्ह्यूबर के तर्क को पसंद करता हूं और यह नहीं चाहता कि यह एक टिप्पणी के रूप में खो जाए, इसलिए यहां थोड़ा विस्तार है।

यादृच्छिक वेक्टर पर विचार करें , जहां लिए , और । फिर, क्योंकि इकाई वृत्त को चाप लंबाई द्वारा , को इकाई चक्र पर समान रूप से वितरित किया जाता है। विशेष रूप से, का वितरण के वितरण के समान है । परन्तु फिर $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

इसलिए यह होना चाहिए कि । $\text{Cov} (X, Y) = 0$

बस एक सुंदर ज्यामितीय तर्क।

— मैथ्यू ड्र्यू
स्रोत