यह कहने का क्या मतलब है कि एक घटना "अंततः होती है"?

पूर्णांकों पर एक 1 आयामी यादृच्छिक की पैदल दूरी पर विचार करें प्रारंभिक अवस्था के साथ : $\mathbb{Z}$ $x\in\mathbb{Z}$

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

जहां वेतन वृद्धि IID है जैसे कि । $\xi_i$ $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$

एक साबित कर सकता है कि (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

जहाँ सबस्क्रिप्ट प्रारंभिक स्थिति को दर्शाता है।

चलो राज्य के लिए सबसे पहले पारित होने के समय हो । दूसरे शब्दों में, । एक यह भी साबित कर सकता है कि (2) $\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

दोनों प्रमाण http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf में देखे जा सकते हैं । लेख पढ़ने के माध्यम से, मैं दोनों प्रमाणों को समझता हूं।

मेरा सवाल है, हालांकि, "अंततः" का अर्थ पहले बयान के साथ-साथ सामान्य रूप से क्या है। अगर कुछ "अंततः" होता है, तो यह परिमित समय में नहीं होता है, क्या यह होता है? यदि ऐसा है, तो वास्तव में कुछ के बीच अंतर क्या है जो नहीं होता है और ऐसा कुछ होता है जो "अंततः" नहीं होता है? कथन (1) और (2) कुछ अर्थों में मेरे लिए खुद का विरोध कर रहे हैं। क्या इस तरह के अन्य उदाहरण हैं?

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बस सवाल के लिए एक प्रेरणा जोड़ना चाहते हैं, अर्थात, "सीधे" होने वाली किसी चीज़ का एक सीधा उदाहरण, लेकिन परिमित समय के साथ।

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

इसलिए हम जानते हैं कि वॉकर बाईं ओर "अंततः" चलेगा, और ऐसा करने से पहले अपेक्षित प्रतीक्षा समय (यानी, बाएं चलना) । $1/(1/2)=2$

कुछ ऐसा होता है जो "अंततः" होता है, लेकिन असीम अपेक्षित "प्रतीक्षा समय" के साथ मेरी कल्पना के लिए काफी खिंचाव था। @ व्हिबर की प्रतिक्रिया का दूसरा भाग एक और महान उदाहरण है।

— ये तियान
स्रोत

अंत में परिमित समय में कोई मतलब नहीं है। यह ठीक वही है जो इसके विपरीत हो रहा है: P परिमित है, जबकि ताऊ की उम्मीद अनंत है

— seanv507

वैसे कैची वितरण का विहित उदाहरण en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution है ।

— seanv507

@ seanv507 - हां, हालांकि कॉची वितरण का मतलब अनंत के बजाय अपरिभाषित है (कॉची डीबीएन से एक नमूना मतलब चारों ओर अप्रोच के बजाय कूद जाएगा, बजाय तेजी से + इन्फिनिटी में परिवर्तित होने के)। मैं Pareto वितरण ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution ) के बारे में सोच रहा था , जिसका अर्थ है = इन्फिनिटी जब इसका आकार पैरामीटर और फिर भी एक अच्छी तरह से परिभाषित संभावना वितरण फ़ंक्शन है।

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— राबर्टएफ

@RobertF धन्यवाद - मुझे

— पेयरो

इस सब में कुछ आराम है: यदि , तो , लेकिन दूसरे तरीके से नहीं।

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— एलेक्स आर।

जवाबों:

आप "आखिरकार होता है" एक घटना को कैसे प्रदर्शित करेंगे? आप काल्पनिक प्रतिद्वंद्वी के साथ एक विचार प्रयोग करेंगे। आपका प्रतिद्वंद्वी आपको किसी भी सकारात्मक संख्या साथ चुनौती दे सकता है । यदि आप एक (जो सबसे अधिक संभावना पर निर्भर करता है ) पा सकते हैं जिसके लिए समय द्वारा होने वाली घटना की संभावना कम से कम , तो आप जीत जाते हैं। $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

उदाहरण में, " " भ्रामक संकेतन है क्योंकि आप इसका उपयोग रैंडम वॉक के एक राज्य के साथ-साथ पूरे रैंडम वॉक के लिए भी करते हैं। भेद को पहचानने के लिए ध्यान रखना चाहिए। "तक पहुँच अंततः" एक सबसेट का उल्लेख करने के लिए है सभी यादृच्छिक के सेट की सैर । प्रत्येक की पैदल दूरी पर असीम कई कदम है। का मान समय में है । " तक समय तक पहुँचता है " राज्य के तक पहुँच चुके पैदल के सबसेट को दर्शाता है $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ समय से । सख्ती से, यह सेट है $n$

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

काल्पनिक प्रतिद्वंद्वी करने के लिए अपने जवाब में, आप कुछ का प्रदर्शन कर रहे हैं संपत्ति उस के साथ $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

क्योंकि मनमाना है, आप सेट के सभी तत्व उपलब्ध हैं $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(याद रखें कि यदि और केवल यदि वहाँ एक से मौजूद है परिमित जिसके लिए , इसलिए किसी भी अनंत इस संघ में शामिल नंबर नहीं हैं।) $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

इस गेम को जीतने की आपकी क्षमता से पता चलता है कि इस यूनियन में फॉर्म सभी मूल्यों को पार करने की संभावना है , चाहे कितना भी छोटा हो। नतीजतन, यह संभावना कम से कम - और इसलिए बराबर है । आपने प्रदर्शन किया होगा, फिर, वह $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

"अंततः होने" और एक अनन्त अपेक्षित पहली पास समय के बीच अंतर की सराहना करने का एक सरल तरीका एक सरल स्थिति पर विचार करना है। के लिए किसी भी प्राकृतिक संख्या, चलो अनुक्रम हो $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

जिसमें शून्य का अनुसरण लोगों के अंतहीन तार द्वारा किया जाता है। दूसरे शब्दों में, ये वे पद हैं जो मूल पर रहते हैं और कुछ (परिमित) समय बिंदु पर पहुंच जाते हैं , फिर हमेशा बने रहें। $n$ $1$

चलो इन सभी के सेट हो असतत सिग्मा बीजगणित के साथ। के माध्यम से एक प्रायिकता माप निर्दिष्ट करें $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

यह बराबर द्वारा कूदने का मौका बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया था , जो स्पष्ट रूप से मनमाने ढंग से करीब पहुंचता है । आप खेल जीतेंगे। कूद अंततः होता है और जब यह होता है, तो यह कुछ सीमित समय पर होगा। हालाँकि, अपेक्षित समय जब ऐसा होता है, जीवित रहने का कार्य होता है (जो समय पर कूदने की संभावना नहीं देता है ) $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

कौन सा विचलन होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कूदने से पहले लंबे समय तक प्रतीक्षा करने के लिए अपेक्षाकृत बड़ी संभावना दी जाती है।

— व्हीबर
स्रोत

एम आई गलतफहमी अगर मैं एक एप्सिलॉन / डेल्टा तर्क को करने के लिए नीचे उबलते, और इस प्रकार मूल रूप से के रूप में अपने पहले खंड कह पढ़

(जहां

है के बाद कुछ घटना की संभावना

कदम)?

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

— jpmc26

@jpm यह सिर्फ यह करने के लिए नीचे उबाल नहीं करता है: यह है एक एप्सिलॉन-डेल्टा तर्क। इस मामले में "डेल्टा" "

" है और "एप्सिलॉन" को अनुस्मारक के रूप में "

" लिखा जाता है कि यह एक संभावना है। जोर यहाँ पर है परिमितता की

: सीमा परिमित मूल्यों और परिमित संचालन, नहीं अनंत लोगों के संदर्भ में परिभाषित कर रहे हैं।

n

$n$

p

$p$

n

$n$

— whuber

मैं के उपयोग के सुझाव देने के लिए एक अनाम उपयोगकर्ता धन्यवाद underbraceके वर्णन में

।

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

— whuber

कि कुछ होता है अंत में इसका मतलब है कि समय में कुछ बिंदु होता है जिस पर ऐसा होता है, लेकिन एक अनुमान है कि कोई भी निर्दिष्ट समय से पहले ऐसा नहीं कर रहा है। यदि आप कहते हैं कि तीन सप्ताह के भीतर कुछ होगा, तो यह एक मजबूत बयान है कि यह अंततः होगा। यह होगा कि अंततः एक समय निर्दिष्ट नहीं होगा, जैसे "तीन सप्ताह" या "तीस-अरब वर्ष" या "एक मिनट"।

— माइकल हार्डी
स्रोत