खतरा दर के पीछे अंतर्ज्ञान

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मैं उस समीकरण के बारे में उलझन में हूं जो खतरनाक दर की परिभाषा के रूप में कार्य करता है। मुझे इस बात का अंदाजा है कि खतरे की दर क्या है, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि समीकरण उस अंतर्ज्ञान को कैसे व्यक्त करता है।

यदि $x$ एक यादृच्छिक चर है जो किसी समय अंतराल पर किसी की मृत्यु के समय का प्रतिनिधित्व करता है $[0,T]$ । तब खतरा दर है:

h (x) = \frac{f (x)}{1 - F (x)}

$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$

जहां समय बिंदु तक मृत्यु की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है , समय बिंदु तक जीवित रहने की संभावना का प्रतिनिधित्व करता है। $F(x)$ $x\in[0,T]$
$1-F(x)$ $x\in[0,T]$ ,
और $f(x)$ बिंदु पर मृत्यु की संभावना है $x$ ।

कैसे विभाजित करता है $f(x)$ जीवित रहने की दर से अगले में तात्कालिक मौत की संभावना के अंतर्ज्ञान समझाने $\Delta t$ ? क्या यह सिर्फ नहीं होना चाहिए $f(x)$ , जिससे खतरनाक दर की गणना तुच्छ हो जाए?

survival intuition hazard

— user246315
स्रोत

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आइए मृत्यु का समय निरूपित करें (या यदि आप कम रुग्ण वर्णन पसंद करते हैं तो विफलता का समय)। मान लीजिए कि एक सतत यादृच्छिक चर है जिसका घनत्व फ़ंक्शन केवल । अब, सूचना है कि यह चाहिए ऐसा होता है कि हो सकता है को दूर decays के रूप में क्योंकि अगर क्षय दूर के रूप में कहा गया है नहीं है, तो $X$ $X$ $f(t)$ $(0,\infty)$ $f(t)$ $0$ $t \to \infty$ $f(t)$ होल्ड नहीं कर सकता। इस प्रकार, आपके धारणा है किसमय में मृत्यु की संभावना है (वास्तव में, यह हैकि (लगभग) में मौत की संभावनाकमअंतराल की लंबाई) जैसे कि अविश्वसनीय और अविश्वसनीय निष्कर्षों की ओर जाता है $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$ $f(T)$ $T$ $f(T)\Delta t$ $(T, T+\Delta t]$ $\Delta t$

अगले महीने के भीतर जब आप नब्बे-अस्सी साल के हो जाते हैं तो आपकी मृत्यु होने की संभावना अधिक होती है।

जब भी ऐसा हो जो । $f(t)$ $f(30) > f(98)$

कारण है कि (या ) रंग-रूप को "गलत" संभावना पर है कि का मान केवल जो कर रहे हैं करने के लिए ब्याज की है जिंदा साल की उम्र में (मानसिक रूप से और अभी भी आँकड़े पढ़ने के लिए पर्याप्त रूप से सचेत रहें। एक नियमित आधार पर!) क्या देखा जाना चाहिए अगले महीने के भीतर एक पुराने मरने की संभावना है, अर्थात् । $f(T)$ $f(T)\Delta t$ $f(T)$ $T$ $T$

$\begin{aligned} P {(X \in (T, T + Δ t] ∣ X \geq T} & = \frac{P {(X \in (T, T + Δ t]) \cap (X \geq T)}}{P {X \geq T}} \\ definition of conditional probability \\ = \frac{P {X \in (T, T + Δ t]}}{P {X \geq T}} \\ = \frac{f (T) Δ t}{1 - F (T)} \\ because X is a continuous rv \end{aligned}$ $\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$

चयन एक पखवाड़े, एक सप्ताह, एक दिन, एक घंटे, एक मिनट, आदि हम निष्कर्ष पर आते हैं होने के लिए कि (तात्कालिक) खतरा दर एक के लिए साल पुराना है $\Delta t$ $T$

$h (T) = \frac{f (T)}{1 - F (T)}$ $h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$

इस अर्थ में कि में लगभग अगले femtosecond में मौत की संभावना एक के पुराने साल की है $(\Delta t)$ $T$ $\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

ध्यान दें कि घनत्व के विपरीत को एकीकृत , अभिन्न $f(t)$ $1$ डायवर्ज करना चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि सीडीएफमाध्यम से खतरे की दर से संबंधित है $\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$

और के बाद से, यह होना चाहिए कि

F (t) = 1 - \exp (- \int_{0}^{t} h (τ) d τ)

$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$

lim_{t \to \infty} F (t) = 1

$\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$

या अधिक औपचारिक रूप कहा गया है, खतरा दर का अभिन्नचाहिएवितरित हो जाते हैं: कोई नहीं हैसंभावितविचलन के रूप में एक पिछले संपादन का दावा किया।

lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} h (τ) d τ = \infty,

$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$

विशिष्ट खतरे की दर समय के कार्यों में वृद्धि कर रही है, लेकिन लगातार खतरे की दर (घातीय जीवनकाल) संभव है। इन दोनों प्रकार की खतरनाक दरों में स्पष्ट रूप से भिन्न अभिन्नता है। एक कम सामान्य परिदृश्य (उन लोगों के लिए जो मानते हैं कि उम्र के साथ चीजें सुधर जाती हैं, जैसे कि ठीक है शराब) एक खतरनाक दर है जो समय के साथ कम हो जाती है लेकिन धीरे-धीरे पर्याप्त होती है जो अभिन्न विचलन करती है।

— दिलीप सरवटे
स्रोत

"X को मृत्यु का समय निरूपित करें (या विफलता का समय यदि आप कम रुग्ण विवरण पसंद करते हैं" "। जब तक रिकवरी भी कम रुग्ण नहीं हो जाती है।

— ryu576

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कल्पना कीजिए कि आप पुरुषों के लिए (पहले) विवाह की घटनाओं में रुचि रखते हैं। 20 साल की उम्र में शादी की घटनाओं को देखने के लिए, आप उन लोगों का एक नमूना चुनें, जो उस उम्र में शादी नहीं कर रहे हैं और देखें कि क्या वे अगले साल के भीतर शादी कर लेते हैं (इससे पहले कि वे 21 साल की हो जाएं)।

आप लिए मोटा अनुमान लगा सकते हैं

P (m a r r y b e f o r e 21 | n o t m a r r i e d a t 20)

$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$

\frac{N (m a r r i e d b e f o r e 21 a n d n o t m a r r i e d a t 20)}{N (n o t m a r r i e d a t 20)}

$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$

P (X | Y) = \frac{P (X, Y)}{P (Y)} .

$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$ Now imagine we make the age unit smaller and smaller, up to days for example. I.e. what is the incidence of marriage at age of 7300 days? Then you would do the same, but survey all individuals of 7300 days and look who gets married before the end of the day. If

T

$T$ is a random variable age at marriage, then we could write

P (T \leq 7301) | T \geq 7300) = \frac{P (T \in [7300, 7301))}{P (T \geq 7300)}

$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$ by the same logic as before.

The hazard would then be the instantaneous probability of marriage at age $t$ , for a non-married individual. We can write this as

h (t) d t = P (T \in [t, t + d t) | T \geq t) = \frac{P (T \in [t, t + d t))}{P (T \geq t)}

$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$

— Theodor
स्रोत

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$f(x)$ is not the probability of death, but the probability density; the expected number of times you die within the next unit of time if the probability density remained constant during that unit of time.

Notice there is a problem: your probability of dying when you already died before is rather problematic. So it makes more sense to compute the probability of dying conditional on having survived thus far. $1-F(t)$ it the probability of having survived until $t$ , so dividing the probabilty density by that probability, will get us the expected number of times we will die within the next unit of time conditional on not having died before. That is the hazard rate.

— Maarten Buis
स्रोत