पल उत्पन्न समारोह पर बाध्य

यह सवाल उठता है से एक से पूछा यहाँ एक पल के सृजन कार्य (MGFs) पर बाध्य के बारे में।

मान लीजिए $X$ एक घिरा शून्य मतलब यादृच्छिक चर में मूल्यों पर ले जा रहा है $[-\sigma, \sigma]$ और जाने $G(t) = E[e^{tX}]$ अपने एमजीएफ हो। से एक बाध्य Hoeffding की असमानता का एक सबूत में प्रयोग किया जाता है, हम है कि

G (t) = E [e^{t X}] \leq e^{σ^{2} t^{2} / 2}

$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$ जहां दाईं ओर मानक विचलन के साथ एक शून्य मतलब सामान्य यादृच्छिक चर के एमजीएफ के रूप में पहचानने योग्य है

σ

$\sigma$ । अब, के मानक विचलन

X

$X$ अधिक की नहीं हो सकती है

σ

$\sigma$ , अधिकतम मूल्य से होने वाली जब साथ

X

$X$ एक असतत यादृच्छिक चर ऐसी है कि

P {X = σ} = P {X = - σ} = \frac{1}{2}

$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ । तो, के लिए बाध्य करने के लिए कह रही है कि एक शून्य मतलब घिरे यादृच्छिक चर के एमजीएफ के रूप में सोचा जा सकता है के लिए भेजा

X

$X$ एक शून्य मतलब सामान्य यादृच्छिक चर के एमजीएफ जिसका मानक विचलन अधिकतम संभव मानक विचलन है कि बराबर ऊपर घिरा है

X

$X$ कर सकते हैं की है।

मेरा प्रश्न है: क्या यह स्वतंत्र हित का एक जाना-पहचाना परिणाम है जो हॉफिंग की असमानता के प्रमाण के अलावा अन्य स्थानों पर उपयोग किया जाता है, और यदि ऐसा है, तो क्या यह गैर-बीमित साधनों के साथ यादृच्छिक चर का विस्तार करने के लिए भी जाना जाता है?

नतीजा यह है कि संकेतों का यह सवाल विषम रेंज की अनुमति देता है $[a,b]$ के लिए $X$ के साथ $a < 0 < b$ लेकिन पर जोर देते है $E[X] = 0$ । बाध्य है

G (t) \leq e^{t^{2} (b - a)^{2} / 8} = e^{t^{2} σ_{m a x}^{2} / 2}

$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$ जहां

σ_{max} = (b - a) / 2

$\sigma_{\max} = (b-a)/2$ के लिए प्रतिबंधित मूल्यों के साथ एक यादृच्छिक चर के लिए अधिकतम मानक विचलन संभव है

[a, b]

$[a,b]$ , लेकिन यह अधिक से अधिक जब तक शून्य मतलब यादृच्छिक परिवर्तनीय द्वारा प्राप्त नहीं किया गया है

b = - a

$b = -a$ ।

probability probability-inequalities mgf

— दिलीप सरवटे
स्रोत

रैंडम वैरिएबल जो एमजेडएफ पर सीमा को संतुष्ट करते हैं जैसे कि आप जो उद्धरण देते हैं उसे सबगॉसियन रैंडम वैरिएबल कहा जाता है । वे एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं, जैसे, गैर-यादृच्छिक यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत और संपीड़ित संवेदन में कुछ संबद्ध परिणाम। देखें, उदाहरण के लिए, यहाँ उत्तर में लिंक । (यह स्पष्ट रूप से आपके विशेष प्रश्न से बात नहीं करता है; लेकिन, यह संबंधित प्रकृति का है।)

— कार्डिनल

मैं आपके प्रश्न के पहले भाग का उत्तर नहीं दे सकता, लेकिन इसे गैर-परिवर्तनीय साधनों के साथ यादृच्छिक चर में विस्तारित करने के लिए ...

$Z$ $[a+\mu,b+\mu]$ $\mu$ $X = Z-\mu$ $[a,b]$ $\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$ (mgf के मूल गुणों द्वारा) दोनों पक्षों द्वारा गुणा किया जाता है $\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

Not surprisingly, the m.g.f. of a Normal random variable with the same mean and standard deviation equal to $\sigma_\text{max}$ .

— jbowman
स्रोत