क्या इस बात की व्याख्या है कि सामान्य वितरण का पालन करने वाली बहुत सारी प्राकृतिक घटनाएं क्यों हैं?

Question

मुझे लगता है कि यह एक आकर्षक विषय है और मैं इसे पूरी तरह से नहीं समझता हूं। भौतिकी का कौन सा नियम ऐसा बनाता है कि इतने सारे प्राकृतिक घटनाओं का सामान्य वितरण होता है? यह अधिक सहज प्रतीत होगा कि उनका समान वितरण होगा।

यह समझना मेरे लिए बहुत कठिन है और मुझे लगता है कि मुझे कुछ जानकारी याद आ रही है। क्या कोई मुझे अच्छी व्याख्या में मदद कर सकता है या मुझे एक पुस्तक / वीडियो / लेख से जोड़ सकता है?

Comments

इसकी जाँच करें ।

— एंटोनी परेलादा

क्या आपके पास यह सोचने का ठोस कारण है कि आपका आधार वास्तव में ऐसा है?

— Glen_b -Reinstate मोनिका

दरअसल, सामान्य वितरण प्रकृति में "प्रमुख" वितरण नहीं हो सकता है। कई घटनाएं और व्यवहार हैं जो अत्यधिक मूल्यवान हैं, भारी-पूंछ वाले हैं या बिजली कानून कार्यों का वर्णन करते हैं। गाबिक्स ने अपने पेपर पॉवर लॉज़ इन इकोनॉमिक्स: एन इंट्रोडक्शन , इस पृष्ठ में इस वितरण वर्ग के कई आर्थिक और वित्तीय रूपों के दस्तावेज प्रस्तुत किए हैं ... Pages.stern.nyu.edu/~xgabaix/papers/pl-ep.pdf शालिज़ी, एट अल। इस पत्र में उनके अनुभवजन्य आकलन पर चर्चा करें Empirical Data में पॉवर-लॉ डिस्ट्रीब्यूशन , यहां असंबद्ध

— माइक हंटर

किसने आपको बताया कि सामान्य वितरण वैसे भी प्रभावी था?

— छायाकार

लिंक के लिए @DJohnson +1, लेकिन यह इंगित करना महत्वपूर्ण है कि क्लैट एट अल में एक महत्वपूर्ण खोज। कागज वहाँ वह यह है कि नहीं कर रहे हैं भी कई अनुभवजन्य बिजली कानून वितरण जो कर रहे हैं दृढ़ता से समर्थित! निष्कर्षों का हवाला देते हुए, "केवल एक मामले में - अंग्रेजी पाठ में शब्दों की आवृत्ति की आवृत्तियों का वितरण - शक्ति कानून इस अर्थ में वास्तव में आश्वस्त प्रतीत होता है कि यह डेटा के लिए एक उत्कृष्ट फिट है और कोई भी विकल्प किसी को भी नहीं करता है वजन।"

— साइकोरैक्स ने

Answer 1

मुझे आधार से वंचित करके शुरू करते हैं। रॉबर्ट गीरी ने शायद इस मामले को तब खत्म नहीं किया जब उन्होंने कहा था (1947 में) " ... सामान्यता एक मिथक है; वहाँ कभी नहीं था, और कभी नहीं होगा, एक सामान्य वितरण। " -
सामान्य वितरण एक मॉडल है *, एक सन्निकटन जो कभी-कभी अधिक-या-कम उपयोगी होता है।

$\:$ * (जिसके बारे में, जॉर्ज बॉक्स देखें , हालांकि मैं अपनी प्रोफाइल पर संस्करण पसंद करता हूं)।

कुछ घटनाएँ लगभग सामान्य होती हैं, जिनमें कोई बहुत बड़ा आश्चर्य नहीं हो सकता है, क्योंकि स्वतंत्र [या यहाँ तक कि बहुत दृढ़ता से सहसंबंधित प्रभाव] नहीं होना चाहिए, अगर उनमें से बहुत से और कोई भी एक विचरण नहीं है जो कि विचरण के मुकाबले काफी है। शेष राशि जो हम देख सकते हैं कि वितरण अधिक सामान्य दिख रहा है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय (जो एक मानकीकृत नमूने के सामान्य वितरण के अभिसरण के बारे में है क्योंकि कुछ हल्के परिस्थितियों में अनंत तक जाता है) कम से कम यह सुझाव देता है कि हम उस सामान्यता की ओर एक प्रवृत्ति को पर्याप्त रूप से बड़े लेकिन परिमित नमूना आकारों के साथ देख सकते हैं।$n$

बेशक अगर मानकीकृत साधन लगभग सामान्य हैं, तो मानकीकृत रकम होगी; यह "कई प्रभावों के योग" का कारण है। इसलिए यदि भिन्नता में बहुत कम योगदान है, और वे अत्यधिक सहसंबद्ध नहीं हैं, तो आप इसे देख सकते हैं।

बेरी-एसेन प्रमेय हमें इसके बारे में एक बयान देता है (सामान्य वितरण की ओर अभिसरण) वास्तव में आईआईडी डेटा के लिए मानकीकृत नमूने के साथ हो रहा है (सीएलटी की तुलना में थोड़ा अधिक कठोर परिस्थितियों में, क्योंकि इसके लिए तीसरे पूर्ण क्षण के लिए आवश्यक है) साथ ही हमें यह बताता है कि यह कितनी तेजी से होता है। प्रमेय के बाद के संस्करण योग में गैर-पहचान वाले वितरित घटकों के साथ सौदा करते हैं , हालांकि सामान्यता से विचलन पर ऊपरी सीमाएं कम तंग हैं।

औपचारिक रूप से, कम अच्छे वितरण के साथ संकल्पों का व्यवहार हमें अतिरिक्त (यद्यपि निकटता से संबंधित) कारणों से संदेह करता है कि यह कई मामलों में परिमित नमूनों में एक निष्पक्ष सन्निकटन हो सकता है। कन्वर्ज़न एक "स्मियरिंग" ऑपरेटर के रूप में कार्य करता है जो कि कर्नेल के विभिन्न प्रकारों में कर्नेल घनत्व आकलन का उपयोग करने वाले लोगों से परिचित होगा; एक बार जब आप परिणाम को मानकीकृत करते हैं (इसलिए जब आप इस तरह के ऑपरेशन करते हैं तो हर बार वेरिएंट स्थिर रहता है), तेजी से सममित पहाड़ी आकृतियों की ओर एक प्रगति स्पष्ट होती है जैसा कि आप बार-बार चिकनी करते हैं (और अगर आप कर्नेल को हर बार बदलते हैं तो यह बहुत ज्यादा मायने नहीं रखता है)।

टेरी ताओ यहां केंद्रीय सीमा प्रमेय और बेरी-एसेन प्रमेय के संस्करणों की कुछ अच्छी चर्चा करते हैं , और जिस तरह से बेरी-एसेन के एक गैर-स्वतंत्र संस्करण के लिए एक दृष्टिकोण का उल्लेख करते हैं।

तो वहाँ स्थितियों का कम से कम एक वर्ग है जहाँ हम इसे देखने की उम्मीद कर सकते हैं, और यह सोचने के लिए औपचारिक कारण कि वास्तव में उन स्थितियों में क्या होगा। हालांकि, किसी भी अर्थ में कि "कई प्रभावों के योग" का परिणाम सामान्य होगा एक अनुमान है। कई मामलों में यह एक उचित अनुमान है (और अतिरिक्त मामलों में भले ही वितरण का अनुमान करीब नहीं है, कुछ प्रक्रियाएं जो मानती हैं कि सामान्यता विशेष रूप से व्यक्तिगत मूल्यों के वितरण के लिए संवेदनशील नहीं है, कम से कम बड़े नमूनों में है)।

कई अन्य परिस्थितियां हैं जहां प्रभाव "जोड़" नहीं है और वहां हम अन्य चीजों के होने की उम्मीद कर सकते हैं; उदाहरण के लिए, बहुत सारे वित्तीय डेटा प्रभाव में गुणक होते हैं (प्रभाव उदाहरण के लिए ब्याज और मुद्रास्फीति और विनिमय दरों की तरह प्रतिशत की मात्रा में स्थानांतरित होंगे)। वहाँ हम सामान्यता की उम्मीद नहीं करते हैं, लेकिन हम कभी-कभी लॉग पैमाने पर सामान्यता के लिए किसी न किसी सन्निकटन का निरीक्षण कर सकते हैं। अन्य स्थितियों में न तो उचित हो सकता है, न ही किसी भी तरह से। उदाहरण के लिए, अंतर-घटना समय आम तौर पर या तो सामान्यता या लॉग की सामान्यता से अच्छी तरह से अनुमान लगाने वाला नहीं है; यहाँ के लिए बहस करने के लिए कोई "रकम" और न ही "उत्पादों" का कोई प्रभाव नहीं है। कई अन्य घटनाएं हैं जो हम किसी विशेष परिस्थिति में एक विशेष प्रकार के "कानून" के लिए कुछ तर्क कर सकते हैं।

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+1। आपका तर्क सुझाना शुरू करता है - काफी प्रशंसनीय, मेरे विचार में - कि इस सवाल का एक मनोवैज्ञानिक जवाब हो सकता है, जैसे कि ग्रुपथिंक: जब आपके क्षेत्र में हर कोई सामान्य वितरण देखता है, तो आप कौन हैं अन्यथा कहने के लिए? यह विशेष रूप से पूछताछ के क्षेत्रों के लिए जाता है जहां सांख्यिकीय प्रक्रियाओं को पैदल चलने वाले उपकरण के रूप में देखा जाता है, आवश्यक रूप से प्रकाशन के लिए एक पेपर को पवित्र करने के लिए, लेकिन अन्यथा कम निहित मूल्य या ब्याज के लिए।

— whuber

एक विशिष्ट उदाहरण देने के लिए, जब क्वेटलेट ने बीएमआई (बॉडी मास इंडेक्स) का आविष्कार किया, तो उन्होंने स्पष्ट रूप से एक तरह से ऐसा किया जो सामान्य रूप से वितरित मात्रा में मिला। हमने यहां उस बारे में बात की: आंकड़े ।stackexchange.com

— मैट क्राउज़

मुझे ऐसा लगता है कि हर कोई इस सवाल का जवाब देने के बजाय उसे दरकिनार करना चाह रहा है।

— डिगियो

गैरी एक सांख्यिकीविद् थे, इसलिए यह कोई आश्चर्य नहीं कि उन्होंने सोचा कि सामान्यता एक मिथक है। अगर वह भौतिक विज्ञानी होते तो वह इसे अलग तरह से देखते।

— Aksakal

टिप्पणियाँ विस्तारित चर्चा के लिए नहीं हैं; इस वार्तालाप को बातचीत में स्थानांतरित कर दिया गया है ।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 2

गैब्रियल लिपमन (भौतिक विज्ञानी, नोबेल पुरस्कार विजेता) द्वारा एक प्रसिद्ध कहावत है , जैसा कि पोनकार ने बताया:

[सामान्य वितरण] कठोर कटौती द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इसके कई पुष्ट प्रमाण भयानक हैं [...]। फिर भी, हर कोई इसे मानता है, जैसा कि एम। लिप्पमैन ने एक दिन मुझे बताया था, क्योंकि प्रयोग करने वाले इसे गणितीय प्रमेय होने की कल्पना करते हैं, जबकि गणितज्ञ इसे प्रायोगिक तथ्य मानते हैं।

- हेनरी पोनकारे, ले गणना देस प्रोबेबिलिटेस । 1896

[Cette loi] ne s'wellient pas par des déductions rigoureuses; प्लस ड्यूने डेमॉन्सेशन qu'on a voulu en donner est GROière [...]। Tout le monde y croit cognant, me disait un magazine M. Lippmann, car les expérimentateurs s'imaginent que c'est un théorème de mathématiques, et les mathmmaticiens que c'est un faitéééental।

ऐसा लगता है कि हमारे पास सांख्यिकीय उद्धरण उद्धरण की हमारी सूची में यह उद्धरण नहीं है, यही कारण है कि मुझे लगा कि इसे यहां पोस्ट करना अच्छा होगा।

Comments

एक पतन? यहाँ कोई चुपके से पॉइनकेयर से नफरत कर रहा है?

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

मेरा भौतिकी ज्ञान हाई स्कूल में जो कुछ भी सीखा है, उसके साथ समाप्त होता है, लेकिन क्या गॉस ने मूल रूप से भौतिकी से सामान्य समीकरणों के संदर्भ में वितरण का अध्ययन नहीं किया है ? यह मेरी विकिपीडिया द्वारा दी गई धारणा थी कि गॉसियन त्रुटियां स्वाभाविक रूप से कुछ शास्त्रीय भौतिकी मॉडल से बाहर हो जाती हैं

— शैडल्कर

हमें इस बॉन उद्देश्य के लेखक के रूप में लिपमैन को अधिक सम्मान देना चाहिए । गेब्रियल लिप्पमन भौतिकी में नोबेल पुरस्कार विजेता थे। (एम। यहाँ सिर्फ महाशय, प्रकृतिवाद का मतलब है।)

— निक कॉक्स

@ssdecontrol जैसा कि मुझे याद है, गॉस अवलोकन की सामान्य त्रुटियों में रुचि रखते थे , विशेष रूप से खगोल विज्ञान और जियोडेसी में, लेकिन यह जानने के लिए पर्याप्त स्मार्ट था कि धारणा संदिग्ध थी। (वह भी था, उदाहरण के लिए, 1816 में प्रसार के प्रतिरोधी उपाय के रूप में माध्य से औसत निरपेक्ष विचलन का उपयोग करते हुए।)

— निक कॉक्स

फेयर काफी, @ निक। मैंने स्पष्ट करने के लिए संपादन किया।

— अमीबा का कहना है कि

Answer 3

भौतिकी का कौन सा नियम ऐसा बनाता है कि इतने सारे प्राकृतिक घटनाओं का सामान्य वितरण होता है? यह अधिक सहज प्रतीत होगा कि उनका समान वितरण होगा।

सामान्य वितरण प्राकृतिक विज्ञानों में एक सामान्य स्थान है। सामान्य व्याख्या यह है कि यह माप त्रुटियों में क्यों होता है बड़ी संख्या या केंद्रीय सीमा प्रमेय (सीएलटी) तर्क के कुछ रूप के माध्यम से होता है , जो आमतौर पर इस तरह से होता है: "चूंकि प्रयोग के परिणाम असमान स्रोतों से आने वाली बड़ी संख्या में गड़बड़ी से प्रभावित होते हैं, सीएलटी सुझाव देता है कि त्रुटियों को सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा "। उदाहरण के लिए, यहाँ WJ Metzger द्वारा डेटा विश्लेषण में सांख्यिकीय विधियों का एक अंश दिया गया है :

हम जो मापते हैं उसमें से अधिकांश वास्तव में कई आरवी का योग है। उदाहरण के लिए, आप एक शासक के साथ तालिका की लंबाई को मापते हैं। आपके द्वारा मापी जाने वाली लंबाई बहुत छोटे प्रभावों पर निर्भर करती है: ऑप्टिकल लंबन, शासक का अंशांकन, तापमान, आपके हिलते हुए हाथ आदि। एक डिजिटल मीटर के सर्किट्री में विभिन्न स्थानों पर इलेक्ट्रॉनिक शोर होता है। इस प्रकार, आप जो मापते हैं, वह न केवल वह है जो आप मापना चाहते हैं, बल्कि इसमें बड़ी संख्या में (उम्मीद) छोटे योगदान भी जोड़े जाते हैं। यदि छोटे योगदानों की यह संख्या बड़ी है तो CLT हमें बताता है कि उनकी कुल राशि गॉसियन वितरित की गई है। ऐसा अक्सर होता है और यही कारण है कि रिज़ॉल्यूशन फ़ंक्शंस आमतौर पर गॉसियन होते हैं।

हालाँकि, जैसा कि आप जानते हैं कि इसका मतलब यह नहीं है कि हर वितरण सामान्य होगा, निश्चित रूप से। उदाहरण के लिए, पॉसों का वितरण काउंटिंग प्रक्रियाओं से निपटने के दौरान भौतिकी में सामान्य है। स्पेक्ट्रोस्कोपी कॉची (उर्फ ब्रेइट विग्नर) में वितरण का उपयोग विकिरण स्पेक्ट्रा के आकार और इतने पर वर्णन करने के लिए किया जाता है।

मुझे यह लिखने के बाद एहसास हुआ: अब तक उल्लिखित सभी तीन वितरण (गौसियन, पॉइसन, कॉची) स्थिर वितरण हैं , पॉइसन असतत स्थिर है । अब जब मैंने इस बारे में सोचा था, तो यह वितरण का एक महत्वपूर्ण गुण लगता है जो इसे एकत्रीकरण से बचेगा: यदि आप पॉइसन से संख्याओं का एक गुच्छा जोड़ते हैं, तो योग एक पॉइसन है। यह "व्याख्या" (कुछ अर्थों में) हो सकता है कि यह इतना सर्वव्यापी क्यों है।

अप्राकृतिक विज्ञानों में आपको कई कारणों से सामान्य (या किसी अन्य) वितरण के साथ बहुत सावधान रहना होगा। विशेष रूप से सहसंबंध और निर्भरता एक मुद्दा है, क्योंकि वे सीएलटी की धारणाओं को तोड़ सकते हैं। उदाहरण के लिए, वित्त में यह सर्वविदित है कि कई श्रृंखलाएं सामान्य की तरह दिखती हैं, लेकिन बहुत अधिक भारी होती हैं , जो जोखिम प्रबंधन में एक बड़ा मुद्दा है।

अंत में, "हाथ लहराते हुए" तर्क के सामान्य वितरण की तुलना में प्राकृतिक विज्ञान में अधिक ठोस कारण हैं, जिसका कारण है कि मैंने पहले उद्धृत किया था। ब्राउनियन गति पर विचार करें। यदि झटके वास्तव में स्वतंत्र और असीम हैं, तो अनिवार्य रूप से एक नमूदार पथ के वितरण को CLT के कारण सामान्य वितरण होगा, उदाहरण के लिए Eq देखें। आइंस्टीन के प्रसिद्ध कार्य " ब्राइटन मूवमेंट के सिद्धांत पर निवेश " में (10) । उन्होंने इसे आज के "गॉसियन" या "सामान्य" नाम से बुलाने की जहमत नहीं उठाई।

एक अन्य उदाहरण क्वांटम यांत्रिकी है। ऐसा इसलिए होता है कि यदि कोई समन्वय और क्षण अनिश्चितता सामान्य वितरण से होती है, तो कुल अनिश्चितता न्यूनतम तक पहुँच जाती है, Heisenberg की अनिश्चितता सीमा, Eq.235-2000 यहाँ देखें ।$\Delta x$$\Delta p$$\Delta x \Delta p$

इसलिए, विभिन्न क्षेत्रों में शोधकर्ताओं से गौसियन वितरण उपयोग के लिए बहुत अलग प्रतिक्रियाएं प्राप्त करने के लिए आश्चर्यचकित न हों। भौतिक विज्ञान जैसे कुछ क्षेत्रों में, कुछ घटनाओं को भारी मात्रा में टिप्पणियों के आधार पर बहुत ठोस सिद्धांत के आधार पर प्राकृतिक रूप से गाऊसी वितरण से जोड़ा जाना अपेक्षित है। अन्य क्षेत्रों में, सामान्य वितरण का उपयोग इसकी तकनीकी सुविधा, आसान गणितीय गुणों या अन्य संदिग्ध कारणों के लिए किया जाता है।

Comments

+1। उद्धरण उचित है, हालांकि कोई यह नोट कर सकता है कि मापी गई लंबाई नकारात्मक नहीं हो सकती (यानी बाध्य है) इसलिए वास्तव में एक सामान्य वितरण का पालन नहीं कर सकता है । यह हमेशा एक सन्निकटन होता है।

— अमीबा ने कहा कि मोनिका

अप्राकृतिक विज्ञान? आपका मतलब डॉ। फ्रेंकस्टीन के अनुचित प्रयोगों की तरह है? ;-)

— साइकोरैक्स का कहना है कि मोनिका

@ user777, यह नोबेल पुरस्कार विजेता लैंडौ का मजाक है : "विज्ञान को तीन प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है: प्राकृतिक, अप्राकृतिक और अस्वाभाविक"

— अक्षल

@ अक्षल: मुझे लगता है कि यह विशेष लिंक गलत है; लांडौ ने कहा कि विज्ञान को "естественные, неестественные и противоестественные" ("сверхъстественные" के बजाय) में विभाजित किया गया है। हालांकि यह कैसे अनुवाद करने के लिए कोई विचार नहीं है।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

@amoeba, मैं "неестественные" का अनुवाद "अप्राकृतिक" के रूप में कर रहा हूं। "сверх сестественные" "अलौकिक" है, मुझे लगता है। शायद रूसी मुझे सही कर सकते हैं।

— अक्कल

Answer 4

यहाँ अत्यधिक जटिल स्पष्टीकरण का एक बहुत कुछ है ...

एक अच्छा तरीका यह मेरे लिए संबंधित था निम्नलिखित है:

1. एकल मर रोल करें, और आपके पास प्रत्येक संख्या (1-6) को रोल करने की समान संभावना है, और इसलिए, पीडीएफ निरंतर है।

2. दो पासा रोल करें और परिणामों को एक साथ जोड़ दें, और पीडीएफ अब स्थिर नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इसमें 36 संयोजन हैं, और योग सीमा 2 से 12. है। 2 की संभावना 1 + 1 का अद्वितीय विलक्षण संयोजन है। एक 12 की संभावना, यह भी अद्वितीय है कि यह केवल 6 + 6 के एकल संयोजन में हो सकता है। अब 7 को देखते हुए, कई संयोजन हैं, अर्थात 3 + 4, 5 + 2, और 6 + 1 ( और उनके रिवर्स क्रमपरिवर्तन)। जब तक आप मध्य-मूल्य (यानी 7) से दूर काम करते हैं, तब तक 6 और 8 आदि के लिए कम संयोजन होते हैं जब तक आप 2 और 12 के एकवचन संयोजन में नहीं आते हैं। यह उदाहरण स्पष्ट सामान्य वितरण में परिणाम नहीं करता है, लेकिन अधिक मर जाता है आप जोड़ते हैं, और अधिक नमूने आप लेते हैं, तो परिणाम एक सामान्य वितरण की ओर बढ़ेगा।

3. इसलिए, जैसा कि आप यादृच्छिक भिन्नता के अधीन स्वतंत्र चर की एक सीमा को जोड़ते हैं (जो प्रत्येक का अपना पीडीएफ हो सकता है), जितना अधिक होगा आउटपुट सामान्यता की ओर बढ़ेगा। सिक्स सिग्मा की शर्तों में यह बताया गया है जिसे हम 'वॉयस ऑफ द प्रोसेस' कहते हैं। इसे हम एक प्रणाली के 'सामान्य-कारण भिन्नता' के परिणाम कहते हैं, और इसलिए, यदि आउटपुट सामान्यता की ओर बढ़ रहा है, तो हम इस प्रणाली को 'सांख्यिकीय प्रक्रिया नियंत्रण' कहते हैं। जहां आउटपुट नॉन-नॉर्मल (तिरछा या शिफ्टेड) ​​होता है, तो हम कहते हैं कि सिस्टम 'विशेष कारण भिन्नता' के अधीन है जिसमें कुछ 'सिग्नल' आए हैं, जिन्होंने किसी तरह से परिणाम को बायस्ड कर दिया है।

उम्मीद है की वो मदद करदे।

Answer 5

भौतिकी का कौन सा नियम ऐसा बनाता है कि इतने सारे प्राकृतिक घटनाओं का सामान्य वितरण होता है?

कोई जानकारी नहीं। दूसरी ओर मुझे यह भी पता नहीं है कि क्या यह सच है, या वास्तव में 'इतने सारे' का क्या मतलब है।

हालांकि, समस्या एक छोटे से उलटफेर, वहाँ के लिए अच्छा कारण है मान लेते हैं (जो है, के लिए मॉडल ) एक सतत मात्रा आपको लगता है कि एक सामान्य वितरण के साथ एक निश्चित मतलब और विचरण है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सामान्य वितरण उन पल की बाधाओं के लिए एन्ट्रापी विषय को अधिकतम करने का परिणाम है। चूंकि, मोटे तौर पर, एन्ट्रापी अनिश्चितता का एक उपाय है, जो सामान्य को वितरणात्मक रूप का सबसे गैर-कमिट या अधिकतम अनिश्चित विकल्प बनाता है।

अब, विचार यह है कि किसी को ज्ञात बाधाओं के लिए अपने एन्ट्रापी विषय को अधिकतम करके एक वितरण चुनना चाहिए वास्तव में उन्हें पूरा करने के संभावित तरीकों की संख्या के संदर्भ में कुछ भौतिकी है। सांख्यिकीय यांत्रिकी पर Jaynes यहाँ मानक संदर्भ है।

ध्यान दें कि जबकि अधिकतम एन्ट्रॉपी इस मामले में सामान्य वितरण को प्रेरित करता है, विभिन्न वितरण परिवारों में विभिन्न प्रकार की बाधाओं को दिखाया जा सकता है, जैसे कि परिचित घातीय, पॉइसन, द्विपद, आदि।

सिविया और स्किलिंग 2005 ch.5 में एक सहज चर्चा है।