एक पूर्व संभाव्यता वितरण को औपचारिक कैसे करता है? क्या अंगूठे या युक्तियों के नियमों का उपयोग करना चाहिए?

जबकि मुझे लगता है कि मुझे बायेसियन सांख्यिकीय विश्लेषण और निर्णय लेने में पूर्व सूचना की अवधारणा की अच्छी समझ है, मुझे अक्सर इसके आवेदन के चारों ओर अपना सिर लपेटने में परेशानी होती है। मेरे सामने कुछ ऐसी स्थितियाँ हैं जो मेरे संघर्षों का अनुकरण करती हैं, और मुझे लगता है कि वे अब तक पढ़ी गई बायेसियन सांख्यिकीय पाठ्यपुस्तकों में ठीक से संबोधित नहीं हैं:

मान लीजिए कि मैंने कुछ साल पहले एक सर्वेक्षण चलाया था जिसमें कहा गया था कि 68% लोग एसीएमई उत्पाद खरीदने में रुचि लेंगे। मैं फिर से सर्वेक्षण चलाने का फैसला करता हूं। जबकि मैं पिछली बार के समान नमूने का उपयोग कर रहा हूं (जैसे, n = 400), तब से लोगों की राय बदल गई है। हालांकि, अगर मैं एक बीटा वितरण के साथ एक पूर्व के रूप में उपयोग करता हूं, जिसमें 400 उत्तरदाताओं में से 272 ने "हां" का जवाब दिया, तो मैं कुछ साल पहले हुए सर्वेक्षण के बराबर वजन दे रहा हूं और मैं अब दौड़ रहा हूं। क्या उस डेटा के आधार पर कुछ साल पुरानी होने वाली बड़ी अनिश्चितता को स्थापित करने के लिए अंगूठे का एक नियम है? मैं समझता हूं कि मैं केवल २३२/४०० से पहले कम कर सकता हूं, कह सकता हूं, १३६/२००, लेकिन यह बहुत ही मनमाना लगता है, और मुझे आश्चर्य है कि अगर कुछ औचित्य है, तो शायद साहित्य में,

एक अन्य उदाहरण के लिए, मान लें कि हम एक नैदानिक परीक्षण चलाने वाले हैं। परीक्षण शुरू करने से पहले, हम कुछ माध्यमिक अनुसंधान चलाते हैं, जिन्हें हम पूर्व सूचना के रूप में उपयोग कर सकते हैं, जिसमें विशेषज्ञ राय, पिछले नैदानिक परीक्षणों के परिणाम (प्रासंगिकता अलग-अलग), अन्य बुनियादी वैज्ञानिक तथ्य आदि शामिल हैं। कोई भी जानकारी के उस स्पेक्ट्रम के संयोजन के बारे में कैसे जाता है। (जिनमें से कुछ प्रकृति में गैर-मात्रात्मक है) एक पूर्व संभाव्यता वितरण के लिए? क्या यह निर्णय लेने का एक मामला है कि किस परिवार को चुनना है और इसे पर्याप्त रूप से फैलाना है ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि यह डेटा से अभिभूत है, या एक काफी जानकारीपूर्ण पूर्व वितरण स्थापित करने के लिए बहुत काम किया गया है?

— फिल
स्रोत

देखें stats.stackexchange.com/questions/1/...

— टिम

400 प्रयासों में 272 सफलताओं की अपनी पूर्व जानकारी का इलाज करने के लिए आपके विचार में काफी ठोस बायेसियन औचित्य है।

जिस समस्या से आप निपट रहे हैं, जैसा कि आपने पहचाना है, वह एक बर्नौली प्रयोग की सफलता की संभावना का अनुमान लगाने के लिए है । बीटा वितरण संबंधित "संयुग्म पूर्व" है। इस तरह के संयुग्मक पुजारी "काल्पनिक नमूना व्याख्या" का आनंद लेते हैं: $\theta$

बीटा से पहले यह आकार नमूने में निहित जानकारी के रूप में व्याख्या की जा सकती है (इसलिए, इसलिए पूर्णांक की आवश्यकता नहीं होनी चाहिए। ) सफलताओं के साथ: इसलिए, यदि आप और , तो यह पूर्व मापदंडों के से मेल खाती है। और

π (θ) = \frac{Γ (α_{0} + β_{0})}{Γ (α_{0}) Γ (β_{0})} θ^{α_{0} - 1} (1 - θ)^{β_{0} - 1}

$\pi(\theta)=\frac{\Gamma(\alpha_0+\beta_0)}{\Gamma(\alpha_0)\Gamma(\beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\beta_0-1}$

\underline{n} = α_{0} + β_{0} - 2

$\underline{n}=\alpha_0+\beta_0-2$

\underline{n}

$\underline{n}$

α_{0} - 1

$\alpha_0-1$

π (θ) = \frac{Γ (α_{0} + β_{0})}{Γ (α_{0}) Γ (β_{0})} θ^{α_{0} - 1} (1 - θ)^{\underline{n} - (α_{0} - 1)}

$\pi(\theta)=\frac{\Gamma(\alpha_0+\beta_0)}{\Gamma(\alpha_0)\Gamma(\beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\underline{n}-(\alpha_0-1)}$

α_{0} + β_{0} - 2 = 400

$\alpha_0+\beta_0-2=400$

α_{0} - 1 = 272

$\alpha_0-1=272$

α_{0} = 273

$\alpha_0=273$

β_{0} = 129

$\beta_0=129$ । "हॉल्टिंग" नमूना पूर्व पैरामीटर और । अब, याद रखें कि बीटा वितरण के पूर्व माध्य और पूर्व विचरण को नमूना को हटाने से पूर्व का मतलब (लगभग) रहता है जहां यह है:

α_{0} = 137

$\alpha_0=137$

β_{0} = 65

$\beta_0=65$

μ = \frac{α}{α + β} and σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\qquad\text{and}\qquad\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

alpha01 <- 273
beta01 <- 129
(mean01 <- alpha01/(alpha01+beta01))

alpha02 <- 137
beta02 <- 65
(mean02 <- alpha02/(alpha02+beta02))

लेकिन इससे पूर्व विचरण को बढ़ाता है

(priorvariance01 <- (alpha01*beta01)/((alpha01+beta01)^2*(alpha01+beta01+1)))
[1] 0.0005407484

सेवा

(priorvariance02 <- (alpha02*beta02)/((alpha02+beta02)^2*(alpha02+beta02+1)))
[1] 0.001075066

जैसी इच्छा।

— क्रिस्टोफ़ हांक
स्रोत