एक रिक्ति और नमूना माध्य का अनुपात वितरण क्या है?

चलो मतलब के साथ आईआईडी घातीय यादृच्छिक चर का एक नमूना हो , और इस नमूने से आँकड़े हो। Let । $X_1,\dots,X_n$ $\beta$ $X_{(1)},\dots,X_{(n)}$ $\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$

परिभाषित करेंयह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक घातीय है, जिसका मतलब ।

W_{i} = X_{(i + 1)} - X_{(i)} \forall 1 \leq i \leq n - 1 .

$W_i=X_{(i+1)}-X_{(i)}\ \forall\ 1 \leq i \leq n-1\,.$

W_{i}

$W_i$

β_{i} = \frac{β}{n - i}

$\beta_i=\frac{\beta}{n-i}$

प्रश्न: मैं खोजने के बारे में कैसे , जहां ज्ञात और गैर-नकारात्मक है? $\mathbb{P}\left( \frac{W_i}{\bar X} > t \right)$ $t$

प्रयास: मुझे पता है कि यह बराबर है । इसलिए मैंने इस तरह की कुल संभाव्यता के कानून का उपयोग किया: $1 - F_{W_i}\left(t \bar X\right)$

P (W_{i} > t \bar{X}) = 1 - F_{W_{i}} (t \bar{X}) = 1 - \int_{0}^{\infty} F_{W_{i}} (t s) f_{\bar{X}} (s) d s,

$\mathbb{P}\left( W_i > t \bar X \right) = 1 - F_{W_i}\left( t \bar X \right) = 1 - \int_0^\infty F_{W_i}(ts)f_{\bar X}(s) \mathrm{d}s \,,$

जो गन्दा हो जाता है, लेकिन मुझे लगता है कि ट्रैक्टेबल इंटीग्रल है।

क्या मैं यहां सही दिशा में चल रहा हूं? क्या यह कुल संभावना के कानून का वैध उपयोग है?

एक अन्य दृष्टिकोण अंतर वितरण को देखने के लिए हो सकता है:

P (W_{i} - t \bar{X} > 0)

$\mathbb{P}\left( W_i - t \bar X > 0\right)$

या यहां तक कि योगों को अलग करें:

P (W_{i} - t \bar{X} > 0) = P ((X_{(i + 1)} - X_{(i)}) + \frac{t}{n} (X_{(1)} + \dots + X_{(n)}))

$\mathbb{P}\left( W_i - t \bar X > 0 \right) = P \left( \left(X_{(i+1)} - X_{(i)}\right) + \frac{t}{n}\left(X_{(1)} + \dots + X_{(n)} \right) \right)$

घातीय मामले का समाधान बहुत अच्छा होगा, लेकिन इससे भी बेहतर होगा कि वितरण पर कुछ सामान्य बाधाएं हों। या बहुत कम से कम, इसके क्षण, जो मुझे चेबीशेव और मार्कोव असमानताओं को देने के लिए पर्याप्त होंगे।

अद्यतन: यहाँ पहली विधि से अभिन्न है:

\begin{aligned} 1 - \int_{0}^{\infty} (1 - \exp (- \frac{t s}{β_{i}})) (\frac{1}{Γ (n) β^{n}} s^{n - 1} \exp (- β s)) d s \\ 1 - \int_{0}^{\infty} (1 - \exp (- \frac{(n - i) t s}{β})) (\frac{1}{Γ (n) β^{n}} s^{n - 1} \exp (- β s)) d s \end{aligned}

$\begin{align} 1 - \int_0^\infty \left( 1 - \exp \left( -\frac{ts}{\beta_i} \right) \right) \left( \frac{1}{\Gamma(n)\beta^n} s^{n-1} \exp \left( -\beta s \right) \right) \mathrm{d}s \\ 1 - \int_0^\infty \left( 1 - \exp \left( -\frac{(n-i)ts}{\beta} \right) \right) \left( \frac{1}{\Gamma(n)\beta^n} s^{n-1} \exp \left( -\beta s \right) \right) \mathrm{d}s \end{align}$

मैं थोड़ी देर के लिए इसके साथ खेल रहा हूं और मुझे यकीन नहीं है कि इसके साथ कहां जाना है।

— shadowtalker
स्रोत

कोष्ठक की शर्तों को वितरित करने के बाद आपको जो अभिन्न अंग प्राप्त होते हैं, वे अपेक्षाकृत सीधे लगते हैं। परिवर्तन के बाद, ऐसा लगता है कि आपको कुछ गामा फ़ंक्शन मिलेंगे।

— एलेक्स आर।

@AlexR वास्तव में यह करता है, लेकिन इसके आधे रास्ते से गुजरने के बाद मुझे संदेह होने लगा कि यह 0 और 1 के बीच बँधा नहीं होगा। मैं इस बात की अधिक पुष्टि कर रहा हूँ कि मैंने समस्या को सही ढंग से सेट किया। अगर मैं अभिन्न के साथ फंस गया तो मैं Math.SE पर पूछूंगा।

— छायाकार

आपके यहाँ कठिनाई यह है कि आपके पास गैर-स्वतंत्र यादृच्छिक चर से संबंधित एक घटना है। समस्या को सरल और घटना में हेरफेर करके हल किया जा सकता है ताकि यह स्वतंत्र वेतन वृद्धि की तुलना करे। ऐसा करने के लिए, हम पहले ध्यान दें कि , प्रत्येक ऑर्डर के आँकड़ों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $X_1, ..., X_N \sim \text{IID Exp}(\beta)$

X_{(k)} = β \sum_{i = 1}^{k} \frac{Z_{i}}{n - i + 1},

$X_{(k)} = \beta \sum_{i=1}^{k} \frac{Z_i}{n-i+1},$

जहाँ (उदाहरण के लिए, रेनी 1953, डेविड और नागराजा 2003) देखें। यह हमें लिखने की अनुमति देता है और हम नमूना का मतलब लिख सकते हैं: $Z_1, Z_2, ..., Z_n \sim \text{IID Exp} (1)$ $W_k = \beta Z_{k+1} / (n-k)$

\begin{aligned} \bar{X} \equiv \frac{β}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{(k)} & = \frac{β}{n} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{k} \frac{Z_{i}}{n - i + 1} \\ = \frac{β}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = i}^{n} \frac{Z_{i}}{n - i + 1} \\ = \frac{β}{n} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \bar{X} \equiv \frac{\beta }{n} \sum_{k=1}^n X_{(k)} &= \frac{\beta }{n} \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^k \frac{Z_i}{n-i+1} \\ &= \frac{\beta }{n} \sum_{i=1}^n \sum_{k=i}^n \frac{Z_i}{n-i+1} \\ &= \frac{\beta }{n} \sum_{i=1}^n Z_i. \end{aligned} \end{equation}$

हमारे विश्लेषण को सुविधाजनक बनाने के लिए हम मात्रा को परिभाषित करते हैं:

a \equiv \frac{t (n - k)}{n - t (n - k)} .

$a \equiv \frac{t(n-k)}{n-t(n-k)}.$

के लिए हम तो है: $a > 0$

\begin{aligned} P (W_{k} ⩾ t \bar{X}) & = P (\frac{Z_{k + 1}}{n - k} ⩾ \frac{t}{n} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}) \\ = P (\frac{n}{n - k} \cdot Z_{k + 1} ⩾ t \sum_{i = 1}^{k} Z_{i}) \\ = P ((\frac{n}{n - k} - t) Z_{k + 1} ⩾ t \sum_{i \neq k} Z_{i}) \\ = P ((\frac{n}{n - k} - t) Z ⩾ t G) = P (Z ⩾ a G), \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) &= \mathbb{P} \left( \frac{Z_{k+1}}{n-k} \geqslant \frac{t}{n} \sum_{i=1}^n Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \frac{n}{n-k} \cdot Z_{k+1} \geqslant t \sum_{i = 1}^k Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left( \frac{n}{n-k} - t \right) Z_{k+1} \geqslant t \sum_{i \neq k} Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left( \frac{n}{n-k} - t \right) Z \geqslant t G \right) = \mathbb{P} \left( Z \geqslant a G \right), \end{aligned} \end{equation}$

जहाँ और स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं। तुच्छ मामले के लिए जहां हमारे पास । गैर-तुच्छ मामले के लिए जहां हमारे पास , और ब्याज की संभावना है: $Z \sim \text{Exp} (1)$ $G \sim \text{Ga}(n-1, 1)$ $t \geqslant n / (n-k)$ $\mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) = 0$ $t < n / (n-k)$ $a>0$

\begin{aligned} P (W_{k} ⩾ t \bar{X}) & = \int_{0}^{\infty} Ga (g | n - 1, 1) \int_{a g}^{\infty} Exp (z | 1) d z d g \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (n - 1)} g^{n - 2} \exp (- g) \int_{a g}^{\infty} \exp (- z) d z d g \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (n - 1)} g^{n - 2} \exp (- g) (1 - \exp (a g)) d g \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (n - 1)} g^{n - 2} \exp (- g) d g - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (n - 1)} g^{n - 2} \exp (- (a + 1) g) d g \\ = 1 - (a + 1)^{- (n - 1)} \\ = 1 - {(1 - \frac{n - k}{n} \cdot t)}^{n - 1} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) &= \int\limits_0^\infty \text{Ga} (g| n-1, 1 ) \int\limits_{ag}^\infty \text{Exp}(z|1) dz dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} \int\limits_{ag}^\infty \exp{(-z)} dz dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} \left( 1 - \exp (ag) \right) dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} dg - \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-(a+1)g)} dg \\ &= 1 - (a+1)^{-(n-1)} \\ &= 1 - \left( 1- \frac{n-k}{n} \cdot t \right)^{n-1}. \end{aligned} \end{equation}$

यह उत्तर सहज ज्ञान युक्त है। जब और शून्य प्रायिकता जब तो यूनिट संभावना के साथ, यह संभावना में कम हो रही है । $t$ $t=0$ $t = \frac{n}{n-k}$

— बेन - बहाल मोनिका
स्रोत