आपके यहाँ कठिनाई यह है कि आपके पास गैर-स्वतंत्र यादृच्छिक चर से संबंधित एक घटना है। समस्या को सरल और घटना में हेरफेर करके हल किया जा सकता है ताकि यह स्वतंत्र वेतन वृद्धि की तुलना करे। ऐसा करने के लिए, हम पहले ध्यान दें कि , प्रत्येक ऑर्डर के आँकड़ों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:X1,...,XN∼IID Exp(β)
X(k)=β∑i=1kZin−i+1,
जहाँ (उदाहरण के लिए, रेनी 1953, डेविड और नागराजा 2003) देखें। यह हमें लिखने की अनुमति देता है और हम नमूना का मतलब लिख सकते हैं:डब्ल्यू कश्मीर = β Z ट + 1 / ( एन - कश्मीर )Z1,Z2,...,Zn∼IID Exp(1)Wk=βZk+1/(n−k)
X¯≡βn∑k=1nX(k)=βn∑k=1n∑i=1kZin−i+1=βn∑i=1n∑k=inZin−i+1=βn∑i=1nZi.
हमारे विश्लेषण को सुविधाजनक बनाने के लिए हम मात्रा को परिभाषित करते हैं:
a≡t(n−k)n−t(n−k).
के लिए हम तो है:a>0
P(Wk⩾tX¯)=P(Zk+1n−k⩾tn∑i=1nZi)=P(nn−k⋅Zk+1⩾t∑i=1kZi)=P((nn−k−t)Zk+1⩾t∑i≠kZi)=P((nn−k−t)Z⩾tG)=P(Z⩾aG),
जहाँ और स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं। तुच्छ मामले के लिए जहां हमारे पास । गैर-तुच्छ मामले के लिए जहां हमारे पास , और ब्याज की संभावना है:Z∼Exp(1)G∼Ga(n−1,1)t⩾n/(n−k)P(Wk⩾tX¯)=0t<n/(n−k)a>0
P(Wk⩾tX¯)=∫0∞Ga(g|n−1,1)∫ag∞Exp(z|1)dzdg=∫0∞1Γ(n−1)gn−2exp(−g)∫ag∞exp(−z)dzdg=∫0∞1Γ(n−1)gn−2exp(−g)(1−exp(ag))dg=∫0∞1Γ(n−1)gn−2exp(−g)dg−∫0∞1Γ(n−1)gn−2exp(−(a+1)g)dg=1−(a+1)−(n−1)=1−(1−n−kn⋅t)n−1.
यह उत्तर सहज ज्ञान युक्त है। जब और शून्य प्रायिकता जब तो यूनिट संभावना के साथ, यह संभावना में कम हो रही है ।t = 0 t = ntt=0t=nn−k