क्या संयुक्त यादृच्छिकता सामान्य यादृच्छिक चर के योग के लिए सामान्य होने के लिए एक आवश्यक शर्त है?

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संबंधित प्रश्न के लिए मेरे इस जवाब के बाद , उपयोगकर्ता ssdecontrol और Glen_b ने पूछा कि क्या और की संयुक्त सामान्यता की सामान्यता को दर्शाने के लिए आवश्यक है ? यह संयुक्त सामान्यता पर्याप्त है, ज़ाहिर है, अच्छी तरह से जाना जाता है। इस पूरक प्रश्न को वहां संबोधित नहीं किया गया था, और शायद अपने आप में विचार करने योग्य है। $X$ $Y$ $X+Y$

चूंकि संयुक्त सामान्यता का अर्थ है सीमांत सामान्यता, मैं पूछता हूं

सामान्य यादृच्छिक चर वहाँ मौजूद है और ऐसी है कि एक सामान्य यादृच्छिक चर है, लेकिन और हैं नहीं संयुक्त रूप से सामान्य यादृच्छिक चर? $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

यदि और को सामान्य वितरण की आवश्यकता नहीं है, तो ऐसे सामान्य यादृच्छिक चर को खोजना आसान है। एक उदाहरण मेरे पिछले उत्तर में मिल सकता है (लिंक ऊपर दिया गया है)। मेरा मानना है कि ऊपर हाइलाइट किए गए प्रश्न का उत्तर हां है, और इस प्रश्न के उत्तर के रूप में एक पोस्ट (जो मुझे लगता है कि है) एक उदाहरण है। $X$ $Y$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

2

आप पतित वितरण से कैसे निपटना चाहते हैं? उदाहरण के लिए, यदि एक मानक सामान्य और , तो और का संयुक्त वितरण एक सामान्य सामान्य वितरण है और एक मानक सामान्य है।

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

— ब्रायन बोरचर्स

@BrianBorchers और हैं संयुक्त रूप से सामान्य यादृच्छिक चर भले ही वितरण के रूप में आप कहते हैं कि पतित है। संयुक्त सामान्यता की मानक परिभाषा यह है कि और संयुक्त रूप से सामान्य हैं यदि सभी विकल्पों के लिए सामान्य है । यहां, एक पतित मामला है जो फिर भी एक शिष्टाचार के रूप में सामान्य यादृच्छिक चर कहा जाता है।

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$

— दिलीप सरवटे

11

चलो आईआईडी होना । $U,V$ $N(0,1)$

अब इस प्रकार में बदलना : $(U,V) \to (X,Y)$

पहले चतुर्थांश में (यानी ) और । $U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

अन्य चतुर्थांशों के लिए, मूल के बारे में इस मानचित्रण को घुमाएं।

परिणामी द्विभाजन वितरण जैसा दिखता है (ऊपर से देखा गया है):

$\hspace{1.5 cm}$

- बैंगनी दोगुनी संभावना वाले क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करता है और सफेद क्षेत्र बिना किसी संभावना वाले होते हैं। काले घेरे निरंतर घनत्व के समरूप होते हैं लिए सर्कल पर हर जगह , लेकिन लिए प्रत्येक रंगीन क्षेत्र के भीतर । $(U,V)$ $(X,Y)$

समरूपता द्वारा और दोनों मानक सामान्य हैं (एक ऊर्ध्वाधर रेखा के नीचे या क्षैतिज रेखा के साथ हर सफ़ेद एक के लिए एक बैंगनी बिंदु है जिसे हम अक्ष या क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर रेखा पार कर सकते हैं) $X$ $Y$
लेकिन स्पष्ट रूप से सामान्य नहीं है, और $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ जो कि (समतुल्य, निरंतर की रेखाओं को देखें और देखें कि हमारे पास समरूपता है जैसा कि हमने 1 में चर्चा की थी। लेकिन इस बार बारे में है। लाइन) $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

1

+1 और एक स्वीकार; यह निर्माण मेरे स्वयं के उत्तर की तुलना में बहुत अच्छा है!

— दिलीप सरवत

5

संयुक्त घनत्व फ़ंक्शन के साथ संयुक्त रूप से लगातार यादृच्छिक चर पर विचार करें जहां मानक सामान्य घनत्व समारोह को दर्शाता है। $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

यह स्पष्ट है कि , और हैं निर्भर यादृच्छिक परिवर्तनीय। यह भी स्पष्ट है कि वे कर रहे हैं नहीं संयुक्त रूप से सामान्य यादृच्छिक चर। हालांकि, सभी तीन जोड़े कर रहे हैं जोड़ो में स्वतंत्र यादृच्छिक चर: वास्तव में, स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर (और इस प्रकार जोड़ो में संयुक्त रूप से सामान्य यादृच्छिक चर)। संक्षेप में, जोड़ीदार स्वतंत्र का एक उदाहरण है लेकिन पारस्परिक रूप से स्वतंत्र सामान्य यादृच्छिक चर नहीं हैं। देखें मेरा यह जवाब अधिक जानकारी के लिए। $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

सूचना है कि जोड़ो में स्वतंत्रता हमें देता है कि , और सभी विचरण के साथ शून्य मतलब सामान्य यादृच्छिक चर हैं । अब, हम को परिभाषित करते हैं और ध्यान दें कि भी विचरण साथ एक शून्य-मतलब सामान्य यादृच्छिक चर है । इसके अलावा, , और इसलिए और निर्भर हैं और यादृच्छिक चर सहसंबंधित हैं। $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ और (सहसंबद्ध) सामान्य यादृच्छिक चर हैं जो संयुक्त रूप से सामान्य नहीं हैं लेकिन संपत्ति है कि उनका योग एक सामान्य यादृच्छिक चर है। $Y$ $X+Y$

एक और तरीका रखो, संयुक्त यादृच्छिकता सामान्य यादृच्छिक चर की राशि की सामान्यता का आकलन करने के लिए एक पर्याप्त स्थिति है, लेकिन यह एक आवश्यक शर्त नहीं है।

सबूत है कि और संयुक्त रूप से सामान्य नहीं हैं $X$ $Y$
क्योंकि परिवर्तन रैखिक है, यह प्राप्त करना आसान है । इसलिए हमारे पास है कि But की संपत्ति है कि इसका मूल्य नॉनजरो है जब वास्तव में एक या इसके तीनों तर्क दकियानूसी हैं। अब मान लीजिए कि । फिर, का मान में $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$ और अन्यथा है। तो, , अब, और इसलिए का विस्तार करके और में पूर्णांकों की पुन: व्यवस्था करके , हम लिख सकते हैं जहां एक सामान्य यादृच्छिक है माध्य साथ चर

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ और विचरण । वर्ग कोष्ठक के अंदर दोनों शब्दों में मानक सामान्य CDF हैं, जो और दोनों के (भिन्न) कार्य हैं । इस प्रकार, है नहीं एक द्विचर सामान्य घनत्व हालांकि दोनों और सामान्य यादृच्छिक चर रहे हैं, और उनका योग एक सामान्य यादृच्छिक चर रहा है।

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

टिप्पणी: और की संयुक्त सामान्यता की सामान्यता के लिए पर्याप्त है, लेकिन इसका अर्थ बहुत अधिक है: सभी विकल्पों में से लिए सामान्य है । यहां, हमें , अर्थात, के केवल तीन विकल्पों के लिए सामान्य होने के लिए आवश्यकता है जहां पहले दो बार thet-उपेक्षित लागू होते हैं स्थिति (उदाहरण के लिए द्वारा उत्तर देखें ) कि और की सीमांत घनत्व सामान्य घनत्व होनी चाहिए, और तीसरे का कहना है कि योग का सामान्य घनत्व भी होना चाहिए। इस प्रकार, हम कर सकते हैं $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ सामान्य यादृच्छिक चर हैं जो संयुक्त रूप से सामान्य नहीं हैं लेकिन जिनकी राशि सामान्य है क्योंकि हमें परवाह नहीं है कि अन्य विकल्पों के लिए क्या होता है । $(a,b)$

— दिलीप सरवटे
स्रोत