व्युत्क्रम परिवर्तन विधि कैसे काम करती है?

Question

उलटा तरीका कैसे काम करता है?
मान लें कि मेरे पास एक यादृच्छिक नमूना $X_1,X_2,...,X_n$ साथ घनत्व $f(x;\theta)={1\over \theta} x^{(1-\theta)\over \theta}$ ओवर
$0<x<1$और इसलिए cdf$F_X(x)=x^{1/\theta}$on$(0,1)$। फिर उलट विधि से मैं का वितरण प्राप्त$X$के रूप में$F_X^{-1}(u)=u^\theta$।

ऐसा नहीं करता है $u^\theta$ का वितरण किया गया है $X$ ? क्या यह उलटा तरीका काम करता है?

u<-runif(n)
x<-u^(theta)

Comments

प्रायिकता अभिन्न परिवर्तन पर हमारे सूत्र देखें ।

— व्हॉबर

हां, हालांकि इसे आमतौर पर "संभावना अभिन्न परिवर्तन" कहा जाता है। यह क्यों काम करता है यह देखने के लिए के वितरण फ़ंक्शन को प्राप्त करने का प्रयास करें $F^{-1}(U)$।

— dsaxton 19

Answer 1

विधि बहुत सरल है, इसलिए मैं इसे सरल शब्दों में वर्णन करूंगा। सबसे पहले, कुछ वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन $F_X$ , जिससे आप नमूना लेना चाहते हैं। समारोह इनपुट के रूप में कुछ मूल्य लेता $x$ और आपको बताता है प्राप्त करने की संभावना है क्या $X \leq x$ । इसलिए

$$F_X(x) = \Pr(X \leq x) = p$$

ऐसे फ़ंक्शन फ़ंक्शन का उलटा , इनपुट के रूप में लेगा और लौटाएगा । सूचना है कि के समान रूप से वितरित कर रहे हैं - यह किसी से नमूने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता यदि आप जानते हैं । विधि को प्रतिलोम ट्रांसफॉर्मिंग सैंपलिंग कहा जाता है । विचार बहुत सरल है: यह से समान रूप से नमूना मूल्यों के लिए आसान है , इसलिए यदि आप कुछ से नमूना करना चाहते , बस मान ले और पारित के माध्यम से प्राप्त करने के लिए की$F_X^{-1}$$p$$x$$p$$F_X$$F_X^{-1}$$U(0, 1)$$F_X$$u \sim U(0, 1)$$u$$F_X^{-1}$$x$

$$F_X^{-1}(u) = x$$

या आर में (सामान्य वितरण के लिए)

U <- runif(1e6)
X <- qnorm(U)

यह देखने के लिए कि सीडीएफ को नीचे देखें, आम तौर पर, हम -axis से मूल्यों की संभावनाओं के लिए -axis को देखने के संदर्भ में वितरण के बारे में सोचते हैं । इस नमूने पद्धति के साथ हम विपरीत करते हैं और "संभावनाओं" से शुरू करते हैं और उनका उपयोग उन मूल्यों को चुनने के लिए करते हैं जो उनसे संबंधित हैं। असतत वितरण के साथ आप को से तक की रेखा के रूप में मानते हैं और मान देते हैं कि इस बिंदु पर कुछ बिंदु कहां स्थित है (उदाहरण यदि या यदि नमूना लेने के लिए )।$y$$x$$U$$0$$1$$u$$0$$0 \leq u < 0.5$$1$$0.5 \leq u \leq 1$$\mathrm{Bernoulli}(0.5)$

दुर्भाग्य से, यह हमेशा संभव नहीं होता है क्योंकि प्रत्येक फ़ंक्शन का उलटा नहीं होता है, उदाहरण के लिए आप इस विधि का उपयोग द्विभाजित वितरण के साथ नहीं कर सकते हैं। यह भी सभी स्थितियों में सबसे कुशल तरीका नहीं है, कई मामलों में बेहतर एल्गोरिदम मौजूद हैं।

आप यह भी पूछते हैं कि का वितरण क्या है । चूंकि का , तो और , इसलिए हां, मानों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है इस पद्धति का के समान वितरण है । आप एक साधारण सिमुलेशन द्वारा इसकी जांच कर सकते हैं$F_X^{-1}(u)$$F_X^{-1}$$F_X$$F_X(F_X^{-1}(u)) = u$$F_X^{-1}(F_X(x)) = x$$X$

U <- runif(1e6)
all.equal(pnorm(qnorm(U)), U)

Comments

अच्छा उत्तर। यह विधि तब काम करती है जब आपके पास वितरण जैसे कि घातीय, कॉची, ज्यामितीय, पेरेटो, लॉजिस्टिक, एक्सट्रीम वैल्यू वीबुल , आदि। उदाहरण के लिए आप एक सामान्य वितरण के लिए एक बंद रूप नहीं पा सकते हैं । इसलिए आप इस विधि का उपयोग नहीं कर पाएंगे। आप अन्य विधियों जैसे कि अस्वीकृति विधि को आजमा सकते हैं ।

— अब्बास सलीमी

आप सामान्य वितरण के साथ उलटा परिवर्तन विधि का उपयोग कर सकते हैं। सामान्य व्युत्क्रम सीडीएफ के लिए कई कार्यान्वयन हैं । उदाहरण के लिए, आप पूरक त्रुटि फ़ंक्शन का उपयोग करके सामान्य उलटा सीडीएफ लिख सकते हैं । एर्फ़ेक का एक उदाहरण कार्यान्वयन यहाँ है । अपने आप को erfc कोड न करें; एक पुस्तकालय का उपयोग करें। कोई भी बंद फॉर्मूला मौजूद नहीं है इसका मतलब यह नहीं है कि आप उच्च गुणवत्ता वाले संख्यात्मक अनुमानों का उपयोग नहीं कर सकते हैं।

— मैथ्यू गुन

Answer 2

हां, , के पास का वितरण है ।$U^θ$$X$

उलटा परिवर्तन विधि के पीछे अंतर्ज्ञान पर दो अतिरिक्त अंक उपयोगी हो सकते हैं

(1) यह समझने के लिए कि वास्तव में कृपया टिम के उत्तर में एक ग्राफ का संदर्भ दें जिससे मुझे क्वांटाइल (उलटा सीडीएफ) फ़ंक्शन को समझने में मदद मिल सके$F^{-1}$

(२) [कृपया, केवल निम्नलिखित को अनदेखा करें, अगर यह स्पष्टता के बजाय अधिक भ्रम लाता है]

चलो हो किसी भी यादृच्छिक चर (आर वी) निरंतर साथ और सख्ती से CDF बढ़ती । तब नोटेशन पर ध्यान दें: एक आरवी है इसलिए, आरवी , का कार्य एक आरवी ही है। $X$$F$

$$F(X) \sim \text{Unif}(0,1)$$
$X$$X$$F(X)$

उदाहरण के लिए, यदि आप प्रश्न को फ्लिप करेंगे, ताकि आप तक पहुंच सकें और एक मानक वर्दी उत्पन्न करना चाहते थे, तो । चलो इस यादृच्छिक चर कॉल करें । तो आपके प्रश्न पर वापस आ रहा है, आपके पास विपरीत कार्य है: को बाहर निकालना । तो, वास्तव में $X$यूयू= एक्स 1 / θ एक्सयूएक्स= यू $X^{1/\theta} \sim \text{Unif}(0,1)$$U$

$$U = X^{1/\theta}$$ $X$$U$ $$X=U^\theta$$

पुनश्च। विधि के लिए वैकल्पिक नाम संभावना अभिन्न रूपांतर, उलटा रूपांतरण नमूना, मात्रात्मक परिवर्तन, और, कुछ स्रोतों में, "सिमुलेशन के मौलिक प्रमेय" हैं।