क्वांटाइल (उलटा सीडीएफ) फ़ंक्शन को समझने में मेरी मदद करें

Question

मैं क्वांटाइल फ़ंक्शन के बारे में पढ़ रहा हूं, लेकिन यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है। क्या आप नीचे दिए गए एक से अधिक सहज स्पष्टीकरण प्रदान कर सकते हैं?

चूँकि c एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, इसका उलटा होता है; आइए हम इसे दर्शाते हैं । यदि के CDF है , तो का मूल्य है ऐसी है कि पी ( एक्स ≤ एक्स α ) = α ; इसे F का α क्वांटाइल कहा जाता है । मान F - 1 ( 0.5 ) वितरण का माध्य है, जिसके बायीं ओर संभाव्यता द्रव्यमान का आधा है, और दायीं ओर आधा है। मान F - 1$F$$F^{−1}$$F$$X$$F^{−1}(\alpha)$$x_\alpha$$P(X \le x_\alpha) = \alpha$$\alpha$$F$$F^{−1}(0.5)$$F^{−1}(0.25)$ और$F^{−1}(0.75)$ निचले और ऊपरी चतुर्थक हैं।

Comments

आपको गणित मार्कअप का उपयोग करना सीखना चाहिए, मेरे संपादन देखें!

— kjetil b halvorsen

यह एक निश्चित स्तर पर संक्षिप्त स्पष्टीकरण का एक मॉडल है और पहले से ही एक उदाहरण है। यह स्पष्ट नहीं है कि आप किस स्तर की व्याख्या चाहते हैं। एक उत्तर इससे 10 गुना अधिक हो सकता है जो आप नहीं जानते हैं उसके आधार पर। जैसे आप जानते हैं कि एक cdf है? क्या आप जानते हैं कि 'नीरस रूप से वृद्धि' का क्या मतलब है? क्या आप जानते हैं कि उलटा कार्य क्या है? हम केवल पहले वाक्य के माध्यम से भाग रहे हैं। आपका प्रश्न एक ऐसे कथन के बराबर है जिसे आप (सभी) इस बात को नहीं समझते (हालांकि हमारे पास आपको संदेह करने का कोई कारण नहीं है, यह बिल्कुल सटीक प्रश्न नहीं है।

— निक कॉक्स

Answer 1

यह सब पहली बार में जटिल लग सकता है, लेकिन यह अनिवार्य रूप से कुछ बहुत ही सरल है।

संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा हम उस फ़ंक्शन को निरूपित करते हैं जो $X$ प्रायिकता रिटर्न देता है जो कुछ मान $x$ से छोटा या बराबर है ,

$$\Pr(X \le x) = F(x).$$

यह फ़ंक्शन इनपुट रूप में लेता है और अंतराल (संभाव्यता) से मान लौटाता है -लेट उन्हें रूप में निरूपित करता है । संचयी वितरण फ़ंक्शन (या क्वांटाइल फ़ंक्शन) का व्युत्क्रम आपको बताता है कि क्या बनाता है कुछ मान लौटाता है ,$x$$[0, 1]$$p$$x$$F(x)$$p$

$$F^{-1}(p) = x.$$

इसका चित्रण नीचे दिया गया है जिसमें सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन (और इसके व्युत्क्रम) का उपयोग एक उदाहरण के रूप में किया गया है।

उदाहरण

एक सरल उदाहरण के रूप में, आप एक मानक गमबेल वितरण ले सकते हैं । इसका संचयी वितरण कार्य है

$$F(x) = e^{-e^{-x}}$$

और इसे आसानी से उलटा किया जा सकता है: याद रखें कि प्राकृतिक लघुगणक फ़ंक्शन घातांक फ़ंक्शन का उलटा है , इसलिए यह तुरंत स्पष्ट है कि गमबेल वितरण के लिए मात्रात्मक कार्य है

$$F^{-1}(p) = -\ln(-\ln(p))$$

जैसा कि आप देख सकते हैं, क्वांटाइल फ़ंक्शन, इसके वैकल्पिक नाम के अनुसार, संचयी वितरण फ़ंक्शन के व्यवहार को "इन्वर्ट करता है"।

सामान्यीकृत उलटा वितरण समारोह

प्रत्येक फ़ंक्शन का उलटा नहीं होता है। यही कारण है कि आप जिस उद्धरण का उल्लेख करते हैं वह "नीरस रूप से बढ़ते फ़ंक्शन" है। याद रखें कि फ़ंक्शन की परिभाषा से , इसे प्रत्येक इनपुट मूल्य के लिए बिल्कुल एक आउटपुट के लिए असाइन करना होगा। निरंतर यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण कार्य इस संपत्ति को संतुष्ट करते हैं क्योंकि वे नीरस रूप से बढ़ रहे हैं। असतत यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण कार्य निरंतर और बढ़ते नहीं हैं, इसलिए हम सामान्यीकृत उलटा वितरण कार्यों का उपयोग करते हैं जिन्हें गैर-घटाना आवश्यक है। अधिक औपचारिक रूप से, सामान्यीकृत उलटा वितरण फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है

$$F^{-1}(p) = \inf \big\{x \in \mathbb{R}: F(x) \ge p \big\}.$$

परिभाषा, सादे अंग्रेजी में अनुवाद किया, का कहना है कि यह देखते हुए संभावना मूल्य के लिए $p$ , हम कुछ के लिए देख रहे हैं $x$ , कि में परिणाम $F(x)$ मूल्य अधिक से अधिक लौटने या बराबर तो $p$ है, लेकिन बाद से वहाँ हो सकता है की एक से अधिक मान $x$ है कि इस को पूरा हालत (उदाहरण $F(x) \ge 0$ किसी भी $x$ लिए सही है ), इसलिए हम उन सबसे छोटे $x$ को लेते हैं।

कोई उलटा नहीं के साथ कार्य

सामान्य तौर पर, फ़ंक्शंस के लिए कोई व्युत्क्रम नहीं होता है जो विभिन्न इनपुट्स के लिए समान मान लौटा सकता है, उदाहरण के लिए घनत्व फ़ंक्शंस (उदाहरण के लिए, मानक सामान्य घनत्व फ़ंक्शन सममित है, इसलिए यह $-2$ और $2$ आदि के लिए समान मान लौटाता है )। सामान्य वितरण एक और कारण के लिए एक दिलचस्प उदाहरण है - यह संचयी वितरण कार्यों के उदाहरणों में से एक है, जिसमें एक बंद-फॉर्म उलटा नहीं है । प्रत्येक संचयी वितरण फ़ंक्शन को बंद-प्रपत्र उलटा होना चाहिए! उम्मीद है कि ऐसे मामलों में संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करके उलटा पाया जा सकता है।

उदाहरण

क्वांटाइल फ़ंक्शन का उपयोग यादृच्छिक पीढ़ी के लिए किया जा सकता है जैसा कि वर्णित किया गया है कि व्युत्क्रम परिवर्तन विधि कैसे काम करती है?

Comments

यह उत्तर अच्छी तरह से काम करता है जब तक कि पैराग्राफ पैराग्राफ न हो। जब तक आप वहां पहुंचते हैं, तब तक आपने दावा किया है कि हर निरंतर सीडीएफ का उलटा होता है, लेकिन तब आप सामान्य वितरण को उस बहुत ही कथन के प्रतिरूप के रूप में पेश करते हैं। यह संभवतः बहुत भ्रामक है।

— whuber

@ आप सही हैं, इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए एक वाक्य जोड़ा।

— टिम

टिम, और मैंने इसे और भी स्पष्ट करने के लिए एक और शब्द जोड़ा :)

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

$F^{-1}(u)=\inf\{x:F(x) \ge u\}$$x$$F(x)=p$$\inf$$F(x) \ge u$$\inf$सबसे बड़ी निचली सीमा देता है, अर्थात् एक अद्वितीय बिंदु को ठीक करता है और ऐसा करके सामान्यीकृत व्युत्क्रम को परिभाषित करता है। इसका कोई मतलब भी है क्या ?

— अलेक्जेंडर सेस्का

@AlexanderCska हां, मूल रूप से, कई एफ (एक्स) मान अधिक हैं तो यू, इसलिए हम निचली सीमा लेते हैं, "सबसे छोटा मान जो इस स्थिति को पूरा करता है"।

— टिम

Answer 2

टिम के पास बहुत गहन जवाब था। बहुत बढ़िया!

मैं एक और टिप्पणी जोड़ना चाहूंगा। प्रत्येक नीरस रूप से बढ़ते हुए फ़ंक्शन का एक उलटा कार्य होता है। वास्तव में केवल सख्ती से नीरस रूप से बढ़ते / घटते कार्यों में उलटा कार्य होता है।

नीरस रूप से बढ़ते हुए cdf के लिए जो कि सख्ती से monotonically नहीं बढ़ रहे हैं, हमारे पास एक quantile function है जिसे व्युत्क्रम संचयी वितरण फ़ंक्शन भी कहा जाता है। आप यहां अधिक विवरण पा सकते हैं ।

$F^{-1}$