शून्य परिकल्पना के तहत, का अपेक्षित मूल्य , निर्धारण का गुणांक

Question

मैं इस लेख में समायोजन के संबंध में पहले पृष्ठ के नीचे दिए गए कथन के बारे में उत्सुक हूं$R^2_\mathrm{adjusted}$

$$R^2_\mathrm{adjusted} =1-(1-R^2)\left({\frac{n-1}{n-m-1}}\right).$$

पाठ बताता है:

समायोजन का तर्क निम्नलिखित है: सामान्य कई प्रतिगमन में, एक यादृच्छिक भविष्यवक्ता औसत रूप से प्रतिक्रिया की भिन्नता के अनुपात $1/(n – 1)$ की व्याख्या करता है, ताकि $m$ यादृच्छिक भविष्यवक्ता एक साथ समझाएं, औसतन, $m/(n – 1)$ प्रतिक्रिया की भिन्नता; दूसरे शब्दों में, $R^2$ का अपेक्षित मान $\mathbb{E}(R^2) = m/(n – 1)$ । उस मूल्य पर [ $R^2_\mathrm{adjusted}$ ] सूत्र को लागू करना , जहां सभी भविष्यवाणियां यादृच्छिक हैं, $R^2_\mathrm{adjusted} = 0$ । "

यह R ^ 2_ \ mathrm {समायोजित} के लिए एक बहुत ही सरल और व्याख्यात्मक प्रेरणा प्रतीत होती है$R^2_\mathrm{adjusted}$ । हालाँकि, मैं एकल यादृच्छिक (यानी असंबंधित) भविष्यवक्ता के लिए उस \ mathbb {E} (R ^ 2) = 1 / (n - 1) को काम नहीं कर पाया $\mathbb{E}(R^2)=1/(n – 1)$।

क्या कोई मुझे यहाँ सही दिशा में ले जा सकता है?

Comments

यदि भविष्य में लिंक मृत हो जाता है, तो क्या आप एक पूर्ण संदर्भ प्रदान कर सकते हैं? धन्यवाद।

— रिचर्ड हार्डी

Answer 1

यह सटीक गणितीय आँकड़े हैं। परिकल्पना के तहत के वितरण की व्युत्पत्ति के लिए इस पोस्ट को देखें कि सभी रजिस्ट्रार (निरंतर अवधि बार) आश्रित चर ("यादृच्छिक भविष्यवक्ता") के साथ असंबंधित हैं ।$R^2$

यह वितरण एक बीटा है, जिसमें निरंतर अवधि की गणना के बिना भविष्यवाणियों की संख्या है , और नमूना आकार है,$m$$n$

$$R^2 \sim Beta\left (\frac {m}{2}, \frac {n-m-1}{2}\right)$$

इसलिए

$$E(R^2) = \frac {m/2}{(m/2)+[(n-m-1)/2]} = \frac{m}{n-1}$$

यह समायोजित पीछे के तर्क को "न्यायोचित" करने के लिए एक चतुर तरीका प्रतीत होता है : यदि वास्तव में सभी रजिस्ट्रार असंबंधित हैं, तो समायोजित "औसतन" शून्य है।$R^2$$R^2$

Comments

बस थोड़ी सी जानकारी मुझे चाहिए थी! धन्यवाद! और लंबे समय तक स्टैक एक्सचेंज रहते हैं!

— gregory_britten 23

मुझे उस मामले में दिलचस्पी होगी जहां सभी रजिस्ट्रार आश्रित चर के साथ असंबंधित नहीं हैं। क्या आपके पास इसके बारे में कोई संदर्भ होगा?

— ओलिवियर

@ ऑलिवर नहीं मुझे डर नहीं है। "प्रतिगमन महत्व के लिए एफ-परीक्षण, विकल्प के तहत वितरण" या ऐसा कुछ देखें।

— एलेकोस पापाडोपोलोस