सिद्ध / साबित करें

Question

सिद्ध / साबित करें$E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{or} \ 1 \ \text{a.s.} \ \Rightarrow E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.}$

---

फ़िल्टर्ड प्रायिकता स्थान , ।$(\Omega, \mathscr{F}, \{\mathscr{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}}, \mathbb{P})$$A \in \mathscr{F}$

मान लीजिए कि क्या यह पालन करता है किक्या के बारे में ?

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1 \ \text{a.s.}$$ $$E[1_A | \mathscr{F_{s}}] = E[1_A | \mathscr{F_t}] \ \text{a.s.} \ \forall s > t \ ?$$ $\forall s < t$

क्या होगा अगर इसके बजायया क्या होगा अगर

$$\exists t \in \mathbb{N} \ \text{s.t.} \ E[1_A | \mathscr{F_t}] = 0 \ \text{a.s.} \ ?$$ $$E[1_A | \mathscr{F_t}] = p \ \text{a.s.} \ \text{for some} \ p \in (0,1) \ ?$$

---

मैंने क्या कोशिश की:

---

अगर $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=1$ , तो $\Bbb E[1_A]=1$ , जो कि $1_A=1$ (लगभग निश्चित रूप से) के समान है। इस मामले में $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=1$ (लगभग निश्चित रूप से) प्रत्येक के लिए $s$ ।

इसी तरह, अगर $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=0$ , तो $\Bbb E[1_A]=0$ , जो $1_A=0$ (लगभग निश्चित रूप से) के समान है। इस स्थिति में $\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=0$ (लगभग निश्चित रूप से) प्रत्येक $s$ ।

यदि $\Bbb E[1_A|\mathscr F_t]=p$ , एक स्थिर p \ a (0,1) के लिए$p\in(0,1)$ , तो हमारे पास है

$\Bbb E[1_A|\mathscr F_s]=E[E[1_A|\mathscr F_t]|\mathscr F_s] = E[p|\mathscr F_s] = p$ । यह विफल हो सकता है अगर $s>t$ ।

वैकल्पिक रूप से $= p$ मामले के लिए:

चलो $F$ एक घिरे हो $\mathscr F_t$ -measurable यादृच्छिक चर।

$$\Bbb E[1_A\cdot F]=\Bbb E[E[1_A\cdot F|\mathscr F_t]]=\Bbb E[F\cdot E[1_A|\mathscr F_t]]$$

$$=\Bbb E[p\cdot F]=p\Bbb E[F]=\Bbb E[1_A]\cdot\Bbb E[F]$$

इसका अर्थ है कि और स्वतंत्र हैं। दूसरे शब्दों में, और स्वतंत्र हैं। So और भी स्वतंत्र हैं यदि और इसलिए । यह विफल हो सकता है अगर ।1 ए एफ σ ( ए ) एफ टी σ ( ए ) एफ एस एस < टी ई [ 1 ए | एफ एस ] = ई [ 1 ए ] = पी एस > $1_A$$F$$\sigma(A)$$\mathscr F_t$$\sigma(A)$$\mathscr F_s$$s<t$$E[1_A|\mathscr F_s] = E[1_A] = p$$s>t$

मुझे लगता है कि विचार यह है कि एक स्थिर और -measurable दोनों से स्वतंत्र हैएफ एस एफ$\mathscr F_s$$\mathscr F_s$ ।

Answer 1

आपका तर्क मान्य प्रतीत होता है, लेकिन आप यह मानकर प्रारंभ करते हैं कि । हालाँकि, प्रश्न में कहा गया है कि , जो मुझे लगता है कि यादृच्छिक चर सेट में मान लेता है यानी जहां । इस सशर्त अपेक्षा की परिभाषित संपत्ति यह है कि सभी । विशेष रूप से, लेने से , जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं किई [ १ ए | एफ टी ] = 1 ई [ 1 ए | एफ टी ] ∈ { 0 , 1 } ई [ 1 ए | एफ टी ] { 0 , 1 } ई [ 1 ए | एफ टी ] = 1 बी बी ∈ एफ टी ∫ एफ 1 बी डी पी = ∫ $E[1_A | \mathscr{F_t}] = 1$$E[1_A | \mathscr{F_t}] \in \{0, 1\}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]$$\{0, 1\}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_B$$B\in\mathscr{F_t}$1 ए डी पी एफ ∈ एफ टी एफ = बी पी ( बी ) = पी ( ए ∩ बी ) बी ⊂ एक ई [ ई [ 1 ए | एफ टी ] ] = ई [ 1 बी ] पी ( ए ) = पी ( बी ) ए = $\int_F 1_B d\mathbb{P}=\int_F 1_A d\mathbb{P}$$F\in\mathscr{F_t}$$F=B$$P(B)=P(A\cap B)$$B\subset A$(संभावित शून्य के एक सेट को छोड़कर)। हालाँकि, हम यह भी जानते हैं (जैसा कि आपने तर्क में लिखा है) कि यानी , इसलिए एकमात्र संभावित निष्कर्ष यह है कि (संभवतः शून्य के एक सेट को छोड़कर)।$E[E[1_A | \mathscr{F_t}]] = E[1_B]$$P(A)=P(B)$$A=B$

के लिए , , तो सशर्त उम्मीदों के लिए टावर कानून का तात्पर्य है कि । लेकिन , इसलिए । तो लिए सभी सशर्त अपेक्षाएं समान हैं ( )। के लिए , अगर तो हम अभी भी होगा । दूसरी ओर, अगर हम वापस एक समय जहां पर जाने के में नहीं है , तो मुझे नहीं लगता कि कुछ के बारे में कहा जा सकता हैरों > टी एफ टी ⊂ एफ एस ई [ 1 ए | एफ टी ] = ई [ ई [ १ ए | एफ टी ] | एफ एस ] ई [ 1 ए | एफ टी ] = 1 ए ई [ 1 ए | F s ] = 1 A s > t 1 A s < $s\gt t$$\mathscr{F_t}\subset\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=E[E[1_A | \mathscr{F_t}] | \mathscr{F_s}]$$E[1_A | \mathscr{F_t}]=1_A$$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$s>t$$1_A$$s<t$ए ∈ एफ एस ई [ 1 ए | एफ एस ] = 1 ए ए एफ एस ई [ 1 ए | एफ एस ] एक = { ω 2 } ∈ एफ 2 ∖ एफ 1 ई [ 1 ए | फ ० ] = $A\in\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]=1_A$$A$$\mathscr{F_s}$$E[1_A | \mathscr{F_s}]$सामान्य रूप में । एक ठोस उदाहरण के लिए, इस पेपर को देखें , चित्र 1. , उदाहरण के लिए, सशर्त अपेक्षाओं का क्रम देता है , , , ।$A=\{\omega_2\}\in\mathscr{F_2}\setminus\mathscr{F_1}$8 1Ωई[1ए| एफ1]=$E[1_A | \mathscr{F_0}]=\frac{1}{8} 1_\Omega$2 1{ω1,ω2}ई[1ए| एफ2]=1{ω2}ई[1ए| F3]=1{ω2$E[1_A | \mathscr{F_1}]=\frac{1}{2}1_{\{\omega_1,\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_2}]=1_{\{\omega_2\}}$$E[1_A | \mathscr{F_3}]=1_{\{\omega_2\}}$

Comments

धन्यवाद एस। आप कैसे जानते हैं 1 ? 2 ? साथ ही सवाल एडिट करने का। किसी भी असुविधा के लिए खेद है। मैं संपादित करने के लिए आपकी कुछ अंतर्दृष्टि का उपयोग करने जा रहा हूंपी ( बी ) = पी ( ए ∪ बी ) → बी ⊆ एक ई [ 1 ए | एफ टी ] = 1 $P(B) = P(A \cup B) \to B \subseteq A$$E[1_A | \mathscr{F}_t] = 1_A$

— BCLC

मुझे प्राकृतिक भाषा में संक्षेप में बताने का प्रयास करें; एक निस्पंदन परिणाम अंतरिक्ष के एक तेजी से महीन उपखंड से मेल खाता है, और घटना की सशर्त अपेक्षा (निस्पंदन के wrt उत्तरोत्तर तत्वों ("के रूप में अधिक जानकारी उपलब्ध हो जाती है)) घटना के आसपास अधिक चरम पर हो जाता है (सूचना की प्रारंभिक स्थिति में यह सिर्फ समान वितरण है)। रोक समय प्रक्रिया का स्टोचस्टिक स्तर सेट सतह है (कागज में, परिणाम चर द्विआधारी है, और मान चुना गया था)। एक एफ 0$A$$\mathscr{F}_0$$0$

— ओकरामज़

@ocramz और S. Catterall, संपादन किया। यह कैसा है pls? ^ - ^

— बीसीएलसी

इस चित्र में, यदि हम ईवेंट को माप रहे हैं , लेकिन नमूना प्रक्रिया एक कॉन्फ़िगरेशन में समाप्त होती है जो से संबंधित नहीं है , तो प्रभावी रूप से "अनजाने" (माप ) हो जाता है। क्या यह वर्णन सही है? इसके अलावा, लगातार समय पर सशर्त अपेक्षाएं मुझे पुनरावृत्त बेयर्स प्रक्रिया की याद कैसे दिलाती हैं, क्या इन अवधारणाओं के बीच कोई संबंध है? @S। Catterallएक ω मैं एक एक $A$$\omega_i$$A$$A$$0$

— ocramz

आपकी पहली टिप्पणी में प्रश्नों के उत्तर में: यदि तब, क्योंकि और का एक असंतुष्ट संघ है, पास होना चाहिए , जिसका अर्थ है कि जैसा कि अब, उसी तरह, हम करके यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि रूप मेंपी ( बी ) = पी ( ए ∩ बी ) बी ए ∩ बी ए सी ∩ बी पी ( ए सी ∩ बी ) = 0 बी ⊂ एक पी ( ए ) = पी ( बी ) एक = बी ∈ एफ $P(B) = P(A \cap B)$$B$$A\cap B$$A^c\cap B$$P(A^c\cap B)=0$$B\subset A$$P(A)=P(B)$$A=B\in \mathscr{F_t}$

— एस। काटरल ने मोनिका