एक अनुक्रम घटता है (बड़ी संख्या में pts प्लॉटिंग द्वारा समर्थित)

Question

पिछले महीने एसई पर मैंने जिन सवालों को पोस्ट किया है उनमें से कई इस विशेष समस्या को हल करने में मेरी मदद करने के लक्ष्य में हैं। सभी सवालों का जवाब दिया गया है, लेकिन मैं अभी भी एक समाधान के साथ नहीं आ सकता। इसलिए, मुझे लगा कि मुझे उस समस्या से पूछना चाहिए जिसे मैं सीधे हल करने की कोशिश कर रहा हूं।

चलो , जहां , , (पूर्णांक), और हर पर एक CDF है ।$X_n \sim F_n$$F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$$F_0 = x$$c\geq 2$$F_n$$(0,1)$

मैं यह साबित करना चाहता हूं कि सभी लिए के साथ घटता है (या किसी विशेष लिए भी )! मैं दिखा सकता हूं कि एक Dirac द्रव्यमान को लिए अद्वितीय समाधान में , । जब बढ़ाने के लिए CDFS की एक साजिश को देखकर 'उसी के लिए है , सभी CDFS पर पार । का मान के मूल्यों के लिए कम हो जाती है की तुलना में कम के मूल्यों के लिए और बढ़ जाती है तो अधिक से अधिक$\mathbb{E}X_n$$n$$c$$c$$F_n$$x_c = (1-(1-x)^c)^c)$$c=2$$x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$$n$$c$$x_n$$F(x)$$x$$x_n$$x$$x_n$(के रूप में बढ़ जाती है) में खड़ी रेखा को converging ।$n$$x_n$

नीचे लिए से लिए से लिए एक भूखंड है । यह निश्चित रूप से एक असतत साजिश है, लेकिन मेरे पास देखने की आसानी के लिए लाइनें शामिल हैं। इस प्लॉट को जेनरेट करने के लिए, मैंने Mathematica में NIntegrate का उपयोग किया, हालाँकि मुझे इसे 1-F ^ {- 1} _n पर करने की आवश्यकता थी , क्योंकि किसी कारण से Mathematica मूल फ़ंक्शन के लिए n के उच्च मूल्यों पर उत्तर नहीं दे सका । यंग प्रमेय के अनुसार, दो समान होना चाहिए, \ int_0 ^ 1F (x) \, dx = \ int_0 ^ 1 1-F ^ {- 1} (x) \, dx । मेरे मामले में, F ^ {- 1} _n (x) = 1- (1- (एफ ^ {- 1} _ {n-1}) ^ {\ frac {1} {c}}) ^ {\ _ frac {1} {c}} , F ^ {- 1} _n = x ।$\mathbb{E}X_n$$n = 1$$40$$c = 2$$7$$1-F^{-1}_n$$n$$\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$$F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$$F^{-1}_n = x$

जैसा कि आप देख सकते हैं, अपने निर्धारित बिंदु से एक मिनट की दूरी पर बहुत चलता है । जैसे ही बढ़ता है, निश्चित बिंदु घट जाता है (अंततः 0 पर जाएगा)।$EX_n$$x_c$$c$

इसलिए, यह निश्चित रूप से सत्य है कि सभी लिए के साथ घटता है । लेकिन मैं इसे साबित नहीं कर सकता। क्या कोई मेरी मदद कर सकता है? (फिर, मैं सिर्फ एक साथ कुछ हद तक खुश ) और, यदि आप नहीं कर सकते हैं, लेकिन आपके पास अंतर्दृष्टि है कि यह विशेष समस्या क्यों नहीं हो सकती है, तो कृपया उस जानकारी को भी साझा करें। $EX_n$$n$$c$$c$

Comments

क्या आपने पुनर्लेखन पर विचार किया है ताकि ? एक प्रेरक प्रमाण या एक विरोधाभास आसानी से सुलभ हो सकता है। $Zn = EX_n - EX_{n-1}$

— इटरेटर

@ सूचक: मैंने कोशिश की है (बहुत) लेकिन सफल नहीं हुआ।

— ऑक्टेवियाक्यू

हाँ। +1 और मेरी पिछली टिप्पणी को हटा दिया गया।

— फाइननव

@ जैंड: मुझे दुर्भाग्य से फिलहाल अपने सबूत के दावे को वापस लेना होगा। मुझे एक छेद मिला है जो मुझे अभी तक पैच करने में सक्षम है। क्षमा याचना। मुझे कुछ पोस्ट करने से पहले अधिक सावधान रहना चाहिए था। मैंने इसे कई अलग-अलग समयों पर जाँचा, लेकिन इस समस्या का समाधान तब तक नहीं मिला जब तक कि पिछली बार मैं इसके माध्यम से नहीं गया।

— कार्डिनल

@ जैंड: आपके पास मैथ पर एक समान (लेकिन थोड़ा अलग) सवाल है । क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि आप वास्तव में दोनों में रुचि रखते हैं या उनमें से सिर्फ एक और क्यों?

— कार्डिनल

Answer 1

इसका उत्तर एम आई पर पिएत्रो मेज़र ने यहाँ दिया है ।