सामान्य वितरण में x का अपेक्षित मूल्य, GIVEN कि यह एक निश्चित मूल्य से कम है

बस अगर यह सामान्य रूप से वितरित किया गया है तो एक्स के अपेक्षित मूल्य को खोजने के लिए संभव है, यह देखते हुए कि निश्चित मूल्य से नीचे है (उदाहरण के लिए, औसत मूल्य से नीचे)।

normal-distribution conditional-probability expected-value

— चमेली
स्रोत

यह निश्चित रूप से संभव है। कम से कम आप brute force द्वारा गणना कर सकते हैं । या यदि आप और जानते हैं, तो आप एक सिमुलेशन का उपयोग करके इसका अनुमान लगा सकते हैं।

F (t)^{- 1} \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(t)^{-1} \int_{- \infty}^{x} t f(t) dt$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— dsaxton

@dsaxton उस सूत्र में कुछ टाइपो हैं, लेकिन हमें इसका विचार है। मैं इस बारे में उत्सुक हूं कि जब आप थ्रेसहोल्ड माध्य से बहुत नीचे हैं, तो आप वास्तव में सिमुलेशन को कैसे चलाएंगे।

— whuber

@ वाउचर हां, होना चाहिए । जब शून्य के करीब होता है, तो सिमुलेशन करना बहुत स्मार्ट नहीं होगा , लेकिन जैसा कि आपने बताया कि एक सटीक सूत्र वैसे भी है।

F (t)

$F(t)$

F (x)

$F(x)$

F (x)

$F(x)$

— dsaxton

@dsaxton ठीक है, काफी उचित है। मैं केवल यह उम्मीद कर रहा था कि आप सामान्य वितरण की पूंछ से अनुकरण के लिए किसी तरह के चतुर और सरल विचार को ध्यान में रखें।

— whuber

Math.SE में कमोबेश यही सवाल: math.stackexchange.com/questions/749664/aiture-iq-of-mensa

— JiK

जवाबों:

माध्य और प्रसरण साथ एक सामान्य रूप से वितरित चर में के समान वितरण है जहां एक मानक सामान्य चर है। आप सभी को बारे में जानना आवश्यक है $X$ $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma Z + \mu$ $Z$ $Z$

इसके संचयी वितरण समारोह को कहा जाता है , $\Phi$
इसकी प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन , और है $\phi(z) = \Phi^\prime(z)$
$\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$ ।

पहली दो गोलियां सिर्फ संकेतन और परिभाषाएं हैं: तीसरी सामान्य वितरण की एकमात्र विशेष संपत्ति है जिसकी हमें आवश्यकता होगी।

"निश्चित मान" को । से तक के परिवर्तन को परिभाषित करना, परिभाषित करना $T$ $X$ $Z$

t = (T - μ) / σ,

$t = (T-\mu)/\sigma,$

ताकि

Pr (X \leq T) = Pr (Z \leq t) = Φ (t) .

$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$

फिर, सशर्त अपेक्षा की परिभाषा के साथ शुरू करके हम इसे प्राप्त करने के लिए इसकी रैखिकता का फायदा उठा सकते हैं

\begin{aligned} E (X | X \leq T) & = E (σ Z + μ | Z \leq t) = σ E (Z | Z \leq t) + μ E (1 | Z \leq t) \\ = (σ \int_{- \infty}^{t} z ϕ (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} ϕ (z) d z) / Pr (Z \leq t) \\ = (- σ \int_{- \infty}^{t} ϕ^{'} (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} Φ^{'} (z) d z) / Φ (t) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$

पथरी के मौलिक सिद्धांत का दावा है कि किसी भी व्युत्पन्न का अभिन्न समापन बिंदु पर कार्य का मूल्यांकन करके पाया जाता है: । यह दोनों अभिन्न पर लागू होता है। चूँकि दोनों और को गायब होना चाहिए , हम प्राप्त करते हैं $\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$ $\Phi$ $\phi$ $-\infty$

E (X | X \leq T) = μ - σ \frac{ϕ (t)}{Φ (t)} .

$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$

इसका मूल मतलब माइनस इनवर्जन मिल्स रेशियो के समानुपाती शब्द है ।

जैसा कि हम उम्मीद करेंगे, लिए उलटा मिल्स अनुपात सकारात्मक होना चाहिए और (जिसका ग्राफ एक बिंदीदार लाल रेखा के साथ दिखाया गया है)। यह नीचे की ओर घटता है क्योंकि बड़ा हो जाता है, इसके लिए (या ) पर छंटनी लगभग कुछ भी नहीं बदलती है। जैसा कि बहुत नकारात्मक बढ़ता है, उलटा मिल्स अनुपात को पहुंचना चाहिए क्योंकि सामान्य वितरण की पूंछ इतनी तेजी से घटती है कि बाएं पूंछ में लगभग सभी संभावनाएं उसके दाहिने हाथ की ओर ( ) के पास केंद्रित होती हैं । $t$ $-t$ $0$ $t$ $Z=t$ $X=T$ $t$ $-t$ $t$

अंत में, जब माध्य पर है, जहां प्रतिलोम मिल अनुपात । इसका तात्पर्य के अपेक्षित मान से है , जो अपने माध्य (जो कि एक अर्ध-सामान्य वितरण का ऋणात्मक है) पर काट दिया जाता है , वह है मूल माध्य से नीचे इसका मानक विचलन। $T = \mu$ $t=0$ $\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$ $X$ $-\sqrt{2/\pi}$

— व्हीबर
स्रोत

सामान्य तौर पर, का वितरण फ़ंक्शन । $X$ $F(X)$

हमारे पास , आप विशेष मामलों को प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए , जो पैदावार । $x\in[c_1,c_2]$

\begin{array}{rcl} P (X \leq x | c_{1} \leq X \leq c_{2}) & = & \frac{P (X \leq x \cap c_{1} \leq X \leq c_{2})}{P (c_{1} \leq X \leq c_{2})} = \frac{P (c_{1} \leq X \leq x)}{P (c_{1} \leq X \leq c_{2})} \\ = & \frac{F (x) - F (c_{1})}{F (c_{2}) - F (c_{1})} \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$

c_{1} = - \infty

$c_1=-\infty$

F (c_{1}) = 0

$F(c_1)=0$

सशर्त CDFS का उपयोग करके आप सशर्त घनत्व प्राप्त कर सकते हैं (जैसे, के लिए ) है, जो सशर्त उम्मीदों के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। $f(x|X<0)=2\phi(x)$ $X\sim N(0,1)$

आपके उदाहरण में, भागों द्वारा एकीकरण जैसे @ व्हिबर के उत्तर में।

E (X | X < 0) = 2 \int_{- \infty}^{0} x ϕ (x) = - 2 ϕ (0),

$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$

— क्रिस्टोफ हांक
स्रोत

+1 (किसी तरह मैंने इसे तब याद किया जब यह पहली बार दिखाई दिया था)। पहला भाग ट्रंकेटेड वितरण कार्यों को प्राप्त करने का एक उत्कृष्ट खाता है और दूसरा दिखाता है कि उनके पीडीएफ की गणना कैसे की जाती है।

— whuber