रैंडम वॉक का विचलन क्यों बढ़ता है?

Question

यादृच्छिक की पैदल दूरी पर है कि के रूप में परिभाषित किया गया है $Y_{t} = Y_{t-1} + e_t$ , जहां $e_t$ सफेद शोर है। यह दर्शाता है कि वर्तमान स्थिति पिछली स्थिति + अप्रकाशित शब्द का योग है।

आप साबित कर सकते हैं कि इसका मतलब समारोह $\mu_t = 0$ , के बाद से $E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ ... +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +... +E(e_t) = 0 + 0 + ... + 0$

लेकिन ऐसा क्यों है कि समय के साथ विचरण में वृद्धि होती है?

क्या इसके साथ ऐसा करने के लिए कुछ "शुद्ध" यादृच्छिक नहीं है, क्योंकि नई स्थिति पिछले एक के साथ बहुत सहसंबद्ध है?

संपादित करें:

अब मुझे रैंडम वॉक के एक बड़े नमूने की कल्पना करके और भी अच्छी समझ है, और यहाँ हम आसानी से देख सकते हैं कि समग्र रूपांतर समय के साथ बढ़ता है ,

और माध्य शून्य के आसपास अपेक्षित है।

हो सकता है कि यह सब के बाद तुच्छ था, क्योंकि समय श्रृंखला के बहुत शुरुआती चरणों में (समय = 10 की तुलना करें, 100 के साथ) यादृच्छिक वॉकर के पास अभी तक उतना तलाशने के लिए समय नहीं है।

Comments

$Y_t$$t$

@ जो अधिक समझ में आता है! बेशक, मुझे इसे सभी संभावित क्षेत्रों में से एक उदाहरण मानना ​​चाहिए। और फिर हां, आप ग्राफ को देखकर यह देख सकते हैं कि समय के साथ-साथ सभी क्षेत्रों का समग्र रूपांतर बढ़ जाता है। यह सही है?

— Isbister

हाँ य़ह सही हैं। यह एक अच्छा तरीका है कि गणित के प्रयोग से @Glen_b ने अपने उत्तर में क्या लिखा है। मैंने पाया है कि यह यादृच्छिक चलता के कई अनुप्रयोगों से परिचित होने में मदद करता है: शास्त्रीय ब्राउनियन गति अनुप्रयोग के अलावा, वे प्रसार, विकल्प मूल्य निर्धारण, माप त्रुटियों के संचय, और बहुत कुछ का वर्णन करते हैं। इनमें से एक को लें, जैसे कि प्रसार। स्थिर पानी के पूल में गिरने वाली स्याही की एक बूंद की कल्पना करें। यद्यपि इसकी स्थिति तय हो गई है, यह समय बीतने के साथ फैलता है: यह है कि हम वास्तव में बढ़ते हुए विचरण के साथ लगातार शून्य का मतलब कैसे देख सकते हैं ।

— whuber

@whuber बहुत बहुत धन्यवाद, मैं अब इसे पूरी तरह से समझता हूं!

— इस्बिस्टर

Answer 1

संक्षेप में, क्योंकि यह अगले वेतन वृद्धि के परिवर्तन को हम जहाँ अब हम हैं, उस परिवर्तनशीलता में जोड़ते रहते हैं।

$\text{Var}(Y_{t}) = \text{Var}(e_1+ e_2+ ... +e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \text{Var}(e_1) + \text{Var}(e_2) +... +\text{Var}(e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \sigma^2 + \sigma^2 + ... + \sigma^2=t\sigma^2\,,$

$t\sigma^2$$t$

---

प्रत्येक समय बिंदु पर शून्य शून्य है; यदि आपने श्रृंखला को कई बार सिम्युलेटेड किया है और एक निश्चित समय के लिए श्रृंखला भर में औसत है, तो यह 0 के पास कुछ के लिए औसत होगा

$\quad^{\text{Figure: 500 simulated random walks with sample mean in white and }}$
$\quad^{ \pm \text{ one standard deviation in red. Standard deviation increases with } \sqrt{t}\,.}$

Comments

हां, प्रत्येक त्रुटि शब्द स्वतंत्र है हां। और यकीन है कि यह कागज पर समझ में आता है। लेकिन मैं अभी भी एक अच्छा आंत महसूस करने के लिए नहीं मिलता है "कैसे विचरण को रैखिक रूप से बढ़ा सकते हैं" लेकिन इसका मतलब शून्य रहता है? यह बहुत अजीब लगता है, लगभग एक विरोधाभास की तरह। कैसे एक कम गणितीय स्पष्टीकरण के बारे में जो मेरे सवालों का जवाब देता है?

— Isbister

timpal0l - समय के प्रत्येक बिंदु पर, आप एक और शब्द जोड़ रहे हैं जो किसी भी माध्यम को स्थानांतरित नहीं करता है लेकिन "शोर" (मतलब के बारे में विचरण) में जोड़ता है। तो माध्य समान रहता है लेकिन विचरण बढ़ जाता है (वितरण "फैलता है" बाद के समय में अधिक)। यह दोनों सहज ज्ञान युक्त है और यह भी सामान्य अर्थ है कि गणित क्या दर्शाता है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

चित्र के लिए धन्यवाद, A.Webb । बहुत अच्छा।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 2

यहां इसकी कल्पना करने का एक तरीका है। चीजों को सरल बनाने के लिए, आइए अपने सफेद शोर बदलें$e_i$$e_i$

$$e_i = \left\{ \begin{array}{c} 1 \ \text{with} \ Pr = .5 \\ -1 \ \text{with} \ Pr = .5 \end{array} \right.$$

यह सिर्फ विज़ुअलाइज़ेशन को सरल करता है, स्विच के बारे में वास्तव में कुछ भी मौलिक नहीं है सिवाय हमारी कल्पना के तनाव को कम करने के।

अब, मान लीजिए कि आपने सिक्कों की फ़्लिप की एक सेना इकट्ठा कर ली है। उनके निर्देश आपके निर्देश पर हैं, उनके सिक्के को पलटें, और उनके सभी पिछले परिणामों के योग के साथ-साथ उनके परिणाम क्या हैं, इसका एक कार्यशील मिलान रखें। प्रत्येक व्यक्ति फ्लिपर यादृच्छिक चलना का एक उदाहरण है

$$W = e_1 + e_2 + \cdots$$

और अपनी सेना के सभी पर एकत्रित होने से आपको अपेक्षित व्यवहार करना चाहिए।

flip 1$W$$1$$-1$$2$

flip 2$W$$HH$$TT$$W$$2$$-2$$4$

...

flip n$W$$HH \cdots H$$TT \cdots T$$n$$n$$2n$

तो यहाँ आप इस विचार प्रयोग से क्या देख सकते हैं:

• वॉक की उम्मीद शून्य है, क्योंकि वॉक में प्रत्येक चरण संतुलित है।
• वॉक की कुल सीमा वॉक की लंबाई के साथ रैखिक रूप से बढ़ती है।

अंतर्ज्ञान को पुनर्प्राप्त करने के लिए हमें मानक विचलन को त्यागना पड़ा और सहज उपाय, सीमा में उपयोग करना पड़ा।

Comments

मानक विचलन रैखिक रूप से नहीं बढ़ता है, इसलिए अंतिम टिप्पणी संदिग्ध है।

— जुहो कोक्कल

हां, मैं किसी भी सुझाव को हल करने के लिए कहने के लिए कुछ सोचने की कोशिश कर रहा हूं? मुझे लगता है कि सभी केंद्रीय सीमा प्रमेय के लिए अपील कर रहे हैं जो बहुत सहज नहीं हैं।

— मैथ्यू ड्र्यू

@JuhoKokkala मैं आपकी आलोचना से सहमत हूं, इसलिए मैंने अंतिम टिप्पणी को हटा दिया।

— मैथ्यू ड्र्यू

Answer 3

क्या इसके साथ ऐसा करने के लिए कुछ "शुद्ध" यादृच्छिक नहीं है, क्योंकि नई स्थिति पिछले एक के साथ बहुत सहसंबद्ध है?

ऐसा प्रतीत होता है कि "शुद्ध" से आपका मतलब स्वतंत्र है । रैंडम वॉक में केवल स्टेप्स ही रैंडम और एक-दूसरे से स्वतंत्र होते हैं। जैसा कि आपने उल्लेख किया है, "पद" यादृच्छिक हैं लेकिन सहसंबद्ध हैं , अर्थात स्वतंत्र नहीं हैं ।

$E[Y_t]=0$$Y_t$$Y_t$

$Y_t=Y_0+\sum_{i=0}^t\varepsilon_t$

$Y_t-Y_{t-1}=\mu+\varepsilon_t$$Y_t$$\mu t$

Answer 4

चलो एक सहज व्याख्या के लिए एक अलग उदाहरण लेते हैं: डार्टबोर्ड पर डार्ट्स फेंकना। हमारे पास एक खिलाड़ी है, जो बुल्सआई के लिए लक्ष्य बनाने की कोशिश करता है, जिसे हम एक समन्वय कहते हैं जिसे 0. कहा जाता है। खिलाड़ी कुछ बार फेंकता है, और वास्तव में, उसके फेंकता का मतलब 0 है, लेकिन वह वास्तव में अच्छा नहीं है, इसलिए विचरण 20 सेमी है।

हम खिलाड़ी को एक नया डार्ट फेंकने के लिए कहते हैं। क्या आपको यह उम्मीद है कि यह बुल्सआई को मार देगा?

हालांकि, इसका मतलब बिल्कुल बकवास है, जब हम एक फेंक का नमूना लेते हैं, तो यह काफी संभावना नहीं है कि बुल्सआई हो।

$t$

हालांकि, अगर हम बहुत सारे नमूने लेते हैं, तो हम देखेंगे कि यह लगभग 0. केंद्र करता है। ठीक वैसे ही जैसे हमारे डार्ट्स खिलाड़ी ने लगभग बुल्सआई (बड़े संस्करण) को नहीं मारा होगा, लेकिन यदि वह बहुत सारे डार्ट्स फेंकता है, तो वह उन्हें केंद्रित कर देगा। बुल्सआई के आसपास (मतलब)।

अगर हम इस उदाहरण को रैंडम वॉक पर बढ़ाते हैं, तो हम देख सकते हैं कि समय के साथ विचरण बढ़ता है, भले ही इसका मतलब 0. पर रहता हो। रैंडम वॉक के मामले में, यह अजीब लगता है कि माध्य 0 पर रहता है, भले ही आपको सहज ज्ञान हो। यह लगभग कभी भी मूल पर समाप्त नहीं होता है। हालांकि, वही हमारे डार्टर के लिए जाता है: हम देख सकते हैं कि कोई भी डार्ट बढ़ते हुए विचरण के साथ लगभग कभी भी बुल्सआई को हिट नहीं करेगा, और फिर भी डार्ट्स बुल्सआई के चारों ओर एक अच्छा बादल बनाएंगे - मतलब वही रहता है: 0।

Comments

यह प्रश्न की घटना का वर्णन नहीं करता है, जो प्रसार में अस्थायी वृद्धि की चिंता करता है । यह वृद्धि नमूनों की संख्या का कार्य नहीं है। यह आंतरिक है।

— whuber

$t$

Answer 5

यहाँ अंतर्ज्ञान प्राप्त करने का एक और तरीका है कि समय के साथ विचरण बढ़ जाता है।

$.1\%$$1.2\%$$X$$365X$

$.1\%$$\pm .05\%$$1.2\%$$\pm .6\%$

ठीक है, अगर हम सहज रूप से रेंज के रूप में विचरण के बारे में सोचते हैं, तो यह सहज ज्ञान युक्त बनाता है कि विचरण उसी शैली में बढ़ता है जैसे समय के माध्यम से वापसी, यह रैखिक रूप से है।