उत्तल सही पूंछ प्रभुत्व का आदेश देता है?

10

दो निरंतर वितरणों को देखते हुए और , यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि क्या उनके बीच उत्तल प्रभुत्व का संबंध है: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(0) F_{X} <_{c} F_{Y}

$(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

इसका आशय है

(1) F_{Y}^{- 1} (q) \leq F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1]

$(1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1]$

धारण (या) यदि कुछ और परिकल्पना की आवश्यकता हो तो धारण करना है? $(1)$

उत्तल प्रभुत्व की परिभाषा।

यदि दो निरंतर वितरण और संतुष्ट करें: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(2) F_{Y}^{- 1} F_{X} (x) is convex in x

$(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x$

[०] तब हम लिखते हैं:

F_{X} <_{c} F_{Y}

$F_X <_c F_Y$

और कहते हैं कि की तुलना में अधिक सही विषम है । चूँकि और संभाव्यता वितरण हैं, का तात्पर्य यह भी है कि का व्युत्पन्न रूप से गैर-घटता और गैर-ऋणात्मक [1] है, जो उत्तल है [2], कि और एक-दूसरे को दो बार पार करते हैं [2] और [[2], : $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $F_X$ $F_Y$ $(2)$ $F_Y^{-1}F_X(x)$ $F_Y^{-1}F_X(x)-x$ $F_X$ $F_{aY+b}$ $\forall a>0,b\in\mathbb{R}$ $\forall p\in[0,0.5]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} \geq \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)} .

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}\geq\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}.$

[०] ज़्वेट, डब्ल्यूआर वैन (१ ९ ६४)। रैंडम वेरिएबल के उत्तल रूपांतरण। (1964)। एटरडम: मैथमेटिश सेंट्रम।
[१] ओजा, एच। (१ ९ ,१)। यूनिवेरिएट वितरणों के स्थान, पैमाने, स्कूनेस और कुर्टोसिस पर। सांख्यिकी के स्कैंडिनेवियाई जर्नल। वॉल्यूम। 8, पीपी। 154--168
[२] आरए ग्रैनवेल्ड और जी। (1984)। तिरछापन और कुर्तोसिस को मापना। सांख्यिकीविद्। 33: 391-399।

probability probability-inequalities distributions

— user603
स्रोत

1

मुझे लगता है कि अंतिम असमानता में कुछ त्रुटि है - अगर यह धारण करता है , तो समरूपता समानता , जो बदले में सममितीय बनाम ।

\forall p \in [0, 1]

$\forall p \in [0,1]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} = \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)}

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}=\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}$

X

$X$

Y

$Y$

— जुहो कोक्कल

1

ध्यान दें कि [2] के समीकरण (6) के बाद ।

α \in (0, \frac{1}{2})

$\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

— जुहो कोक्कल

तुम सही हो। मेरी गलती। मैं अब इसे ठीक करता हूं।

— user603

2

सामान्य तौर पर यह सच नहीं है। उदाहरण के लिए और । $\mu=\frac{3}{8} \delta_{-1}(x)+\frac{1}{4}\delta_0(x)+\frac38 \delta_1(x)$ $\nu=\frac12\delta_{-\frac12}(x)+\frac12\delta_{\frac12}(x)$

आप तुरंत उस । हालाँकि । हालाँकि यह सच है कि एक निश्चित से, सभी । $\nu\leq_{cx}\mu$ $F_\mu^{-1}(0.6)=0<\frac12 =F_\nu^{-1}(0.6)$ $\bar{q}$ $F_\mu^{-1}(q)<F_\nu^{-1}(q)$ $q>\bar q$

— user123456
स्रोत

क्या आप इस उत्तर में कुछ स्पष्टीकरण जोड़ सकते हैं? यह हमारे मानकों के लिए थोड़ा छोटा है!

— kjetil b halvorsen

4

ठीक है, मुझे लगता है कि इसे हल किया जा सकता है ऐसा (टिप्पणियों का स्वागत है):

दर्शाने और के वितरण और और उस को याद करते हुए $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $X$ $Y$

F_{X} <_{c} F_{Y}

$\mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

तात्पर्य (ओजा, 1981) that ऐसा है कि: $\exists z^*\in\mathbb{R}$

F_{Y} (z) < F_{X} (z), \forall z > z^{*} .

$F_Y(z)<F_X(z),\forall z>z^*.$

चूँकि शिफ्टिंग उत्तल क्रम को प्रभावित नहीं करती है, हम बिना किसी नुकसान के मान सकते हैं कि को स्थानांतरित कर दिया गया है: $X$

z^{*} ⩽ min (F_{X}^{- 1} (0.5), F_{Y}^{- 1} (0.5))

$z^*\leqslant\min(F^{-1}_X(0.5),F^{-1}_Y(0.5))$

ताकि

F_{Y}^{- 1} (q) ⩽ F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1] .

$F_Y^{-1}(q) \leqslant F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1].$

तो, ऐसा लगता है कि हाँ , ऑर्डरिंग ऑफ मतलब है ऊपर का राइट टेल प्रभुत्व (या सटीक वर्जन का ) $\mathcal{F}_X<_c \mathcal{F}_Y$ $F_Y(y)$ $F_X(x)$ $F_{X+b}(x),\;b\in\mathbb{R}$ $F_X(x)$

— user603
स्रोत