न्यूनतम जोखिम वर्गीकरण के लिए गणना सीमा?

मान लीजिए दो कक्षा और में एक विशेषता और इसका वितरण और । यदि हमारे पास लागत पूर्व मैट्रिक्स के लिए बराबर : $C_1$ $C_2$ $x$ $\cal{N} (0, 0.5)$ $\cal{N} (1, 0.5)$ $P(C_1)=P(C_2)=0.5$

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

क्यों, न्यूनतम जोखिम (लागत) क्लासिफायर के लिए सीमा है? $x_0 < 0.5$

यह मेरा उदाहरण है कि मुझे गलतफहमी हुई है, (यानी, यह सीमा कैसे पूरी हुई?)

संपादित 1: मुझे लगता है कि संभावना अनुपात की दहलीज के लिए हम P (C1) / P (C2) का उपयोग कर सकते हैं।

संपादित करें 2: मैं डोडा बुक से पैटर्न पर थ्रेसहोल्ड के बारे में कुछ पाठ जोड़ता हूं। यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

— user153695
स्रोत

एक लागत मैट्रिक्स के लिए

L = [\begin{matrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} prediction \begin{matrix} c_{1} & c_{2} \end{matrix} truth

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \;\text{prediction} \\ \hspace{-1.9cm} \begin{matrix} c_1 & c_2 \end{matrix} \\ \hspace{-1.9cm}\text{truth}$

वर्ग की भविष्यवाणी की हानि जब सच्चाई वर्ग है है , और वर्ग की भविष्यवाणी की लागत जब सच्चाई वर्ग है है । सही भविष्यवाणियों की कोई कीमत नहीं है, । तब कक्षा भविष्यवाणी करने के लिए सशर्त जोखिम तब है $c_1$ $c_2$ $L_{12} = 0.5$ $c_2$ $c_1$ $L_{21} = 1$ $L_{11} = L_{22} = 0$ $R$ $k$

\begin{aligned} R (c_{1} | x) & = L_{11} Pr (c_{1} | x) + L_{12} Pr (c_{2} | x) = L_{12} Pr (c_{2} | x) \\ R (c_{2} | x) & = L_{22} Pr (c_{2} | x) + L_{21} Pr (c_{1} | x) = L_{21} Pr (c_{1} | x) \end{aligned}

$\begin{align} R(c_1|x) &= L_{11} \Pr (c_1|x) + L_{12} \Pr (c_2|x) = L_{12} \Pr (c_2|x) \\ R(c_2|x) &= L_{22} \Pr (c_2|x) + L_{21} \Pr (c_1|x) = L_{21} \Pr (c_1|x) \end{align}$ लिए संदर्भ 15 पृष्ठ पर इन नोटों को देखें ।

यदि आप ऐसा करने की गलती से लागत अनुमान तो जोखिम / हानि को कम करने के लिए (यह गलत भविष्यवाणी का नुकसान, संभावना है कि भविष्यवाणी गलत है )। विकल्प की गलत भविष्यवाणी करने की लागत से छोटा, $c_1$ $L_{12} \Pr (c_2|x)$

\begin{aligned} L_{12} Pr (c_{2} | x) & < L_{21} Pr (c_{1} | x) \\ L_{12} Pr (x | c_{2}) Pr (c_{2}) & < L_{21} Pr (x | c_{1}) Pr (c_{1}) \\ \frac{L_{12} Pr (c_{2})}{L_{21} Pr (c_{1})} & < \frac{Pr (x | c_{1})}{Pr (x | c_{2})} \end{aligned}

$\begin{align} L_{12} \Pr (c_2|x) &< L_{21} \Pr (c_1|x) \\ L_{12} \Pr (x|c_2) \Pr (c_2) &< L_{21} \Pr (x|c_1) \Pr (c_1) \\ \frac{L_{12} \Pr (c_2)}{L_{21} \Pr (c_1)} &< \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)} \end{align}$ जहां दूसरी पंक्ति बेयस के नियम का उपयोग करती है । पूर्व समान संभावनाओं को देखते हुए आपको

Pr (c_{2} | x) \propto Pr (x | c_{2}) Pr (c_{2})

$\Pr (c_2|x) \propto \Pr (x|c_2) \Pr (c_2)$

Pr (c_{1}) = Pr (c_{2}) = 0.5

$\Pr (c_1) = \Pr (c_2) = 0.5$

\frac{1}{2} < \frac{Pr (x | c_{1})}{Pr (x | c_{2})}

$\frac{1}{2} < \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)}$

इसलिए आप एक अवलोकन को वर्गीकृत करना चुनते हैं क्योंकि इस सीमा से अधिक होने की संभावना है। अब यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि क्या आप संभावना अनुपात के संदर्भ में या विशेषता संदर्भ में "सर्वश्रेष्ठ सीमा" जानना चाहते हैं । लागत फ़ंक्शन के अनुसार उत्तर बदलता है। गौसियन का उपयोग असमानता में और , के साथ करना $c_1$ $x$ $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ $\mu_1 = 0$ $\mu_2 = 1$

\begin{aligned} \frac{1}{2} & < \frac{\frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp [- \frac{1}{2 σ^{2}} (x - μ_{1})^{2}]}{\frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp [- \frac{1}{2 σ^{2}} (x - μ_{2})^{2}]} \\ \log (\frac{1}{2}) & < \log (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ}) - \frac{1}{2 σ^{2}} (x - 0)^{2} - [\log (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ}) - \frac{1}{2 σ^{2}} (x - 1)^{2}] \\ \log (\frac{1}{2}) & < - \frac{x^{2}}{2 σ^{2}} + \frac{x^{2}}{2 σ^{2}} - \frac{2 x}{2 σ^{2}} + \frac{1}{2 σ^{2}} \\ \frac{x}{σ^{2}} & < \frac{1}{2 σ^{2}} - \log (\frac{1}{2}) \\ x & < \frac{1}{2} - \log (\frac{1}{2}) σ^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{2} &< \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_1)^2 \right]}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_2)^2 \right]} \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-0)^2 - \left[ \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-1)^2 \right] \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< -\frac{x^2}{2\sigma^2} + \frac{x^2}{2\sigma^2} - \frac{2x}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^2} \\ \frac{x}{\sigma^2} &< \frac{1}{2\sigma^2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \\ x &< \frac{1}{2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \sigma^2 \end{align}$ इसलिए संदर्भ में एक भविष्यवाणी सीमा

x

$x$ जैसा कि आप खोजते हैं केवल तभी प्राप्त किया जा सकता है जब झूठी भविष्यवाणियों से होने वाले नुकसान समान हों, अर्थात क्योंकि केवल तभी आप और आपको ।

L_{12} = L_{21}

$L_{12} = L_{21}$

\log (\frac{L_{12}}{L_{21}}) = \log (1) = 0

$\log \left( \frac{L_{12}}{L_{21}} \right) = \log (1) = 0$

x_{0} < \frac{1}{2}

$x_0 < \frac{1}{2}$

— एंडी
स्रोत

अच्छा जवाब, लेकिन मुझे भ्रमित! अगर आप या चुनना चाहते हैं , तो कौन सा सही है?

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

— 14:15 बजे user153695

निर्णय सीमा तो आप ठीक से नहीं बता सकते कि क्या अवलोकन कक्षा एक या दो में होना चाहिए (क्योंकि यह सीमा पर ठीक है)। इसलिए यह चुनना कि क्या कक्षा 1 में होना चाहिए अगर या आप पर निर्भर है। बड़े पर्याप्त नमूनों के साथ यह बहुत कम टिप्पणियों के लिए होना चाहिए इसलिए मार्जिन पर यह आपके परिणाम के लिए बहुत मायने रखेगा।

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

i

$i$

x_{0} \leq 0.5

$x_0 \leq 0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0 < 0.5$

— एंडी

मेरी सारी समस्या है कि यह करने के लिए इनाम मेरे प्रोफेसर thtat सेट करें। गणना की गई और स्वीकार न करें कृपया मेरे प्रश्न को संपादित करें देखें, मैं पतली सीमा होनी चाहिए ।

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

— user153695

शायद 0.5-ln :)

— user153695

@ जब तक धन्यवाद, मैं पूरी तरह से याद किया है कि इसलिए मैं एक पूरी तरह से गलत अंत से शुरू कर दिया।

— एंडी