बोरेल-कैंटेली लेम्मा से संबंधित एक प्रश्न

ध्यान दें:

बोरेल-केंटेली लेम्मा का कहना है कि

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

फिर,

अगर

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

Borel-Cantelli Lemma का उपयोग करके

मैं वह दिखाना चाहता हूं

पहले तो,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ मौजूद है

और दूसरी बात,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

कृपया मुझे इन दो भागों को दिखाने में मदद करें। धन्यवाद।

— B11b
स्रोत

नहीं, बोरेल-केंटेली लेम्मा (सभी) ऐसा नहीं कहते हैं, कम से कम, आगे की धारणाओं के बिना नहीं।

— कार्डिनल

@ कार्डिनल अच्छी तरह से, मैं इन दो बयानों को कैसे दिखा सकता हूं? कृपया आप इसे मुझे समझा सकते हैं? मेरे पास कोई पर्याप्त विचार नहीं है। मुझे खुशी होगी अगर आप एक

— स्पष्ट

एक और "आगे की धारणा" जोड़ा गया।

— झेन

माइनर नोट: जैसा कि यहाँ बताया गया है , उदाहरण के लिए, हम लेम्मा के दूसरे भाग में की केवल जोड़ीदार स्वतंत्रता के साथ प्राप्त कर सकते हैं

A_{n}

$A_n$

— jld

कोई भी कथन सत्य नहीं है।

को एक सिक्के के फ्लिप में प्रमुखों का मौका दें , संभावना जब विषम हो और जब सम हो। फिर: $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

हालाँकि, स्पष्ट रूप से मौजूद नहीं है। आप जो सबसे अच्छा निष्कर्ष निकाल सकते हैं, वह है । $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— एलेक्स आर।
स्रोत