सहसंबद्ध यादृच्छिक चर उत्पन्न करने का सूत्र कैसे काम करता है?

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यदि हमारे पास 2 सामान्य, असंबद्ध यादृच्छिक चर तो हम सूत्र के साथ 2 सहसंबद्ध यादृच्छिक चर बना सकते हैं $X_1, X_2$

$Y=\rho X_1+ \sqrt{1-\rho^2} X_2$

और फिर का साथ सहसंबंध । $Y$ $\rho$ $X_1$

क्या कोई समझा सकता है कि यह सूत्र कहाँ से आता है?

correlation normal-distribution covariance

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इस और संबंधित मुद्दों की एक व्यापक चर्चा मेरे जवाब में आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / a / 71303 पर दिखाई देती है । अन्य बातों के अलावा, यह स्पष्ट करता है कि (1) सामान्य धारणा अप्रासंगिक है और (2) यदि आप अतिरिक्त मान्यताओं बनाने की जरूरत है: के प्रसरण और की सह-संबंध के लिए क्रम में बराबर होना चाहिए साथ होने के लिए ।

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

X_{1}

$X_1$

ρ

$\rho$

— whuber

बहुत ही रोचक लिंक। मुझे यकीन नहीं है कि मुझे समझ में आ गया है कि सामान्यता से आपका क्या मतलब है। यदि या सामान्य नहीं है, और कैसर-डिकमैन एल्गोरिथम के माध्यम से के घनत्व को नियंत्रित करना कठिन हो जाता है। यह गैर-सामान्य सहसंबद्ध डेटा (उदाहरण के लिए, हेड्रिक, 2002; रूसि & केज़ेटो, 2008; वेल & मूरेली, 1983) उत्पन्न करने के लिए विशिष्ट एल्गोरिदम का पूरा कारण है। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि आपका लक्ष्य ~ सामान्य, ~ वर्दी उत्पन्न करना है। , = .5 के साथ। ~ समान परिणाम का उपयोग कर एक जो एक समान नहीं है ( एक सामान्य और समान का रैखिक संयोजन है) समाप्त होता है।

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

ρ

$\rho$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

Y

$Y$

— एंथनी

@ एंथनी प्रश्न केवल सहसंबंध के बारे में पूछता है , जो विशुद्ध रूप से पहले और दूसरे क्षणों का एक कार्य है। उत्तर वितरण के किसी भी अन्य गुण पर निर्भर नहीं करता है। आप जिस विषय पर चर्चा कर रहे हैं वह पूरी तरह से एक अलग विषय है।

— whuber

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मान लीजिए कि आप और एक रेखीय संयोजन को ऐसे खोजना चाहते हैं $X_1$ $X_2$

corr (α X_{1} + β X_{2}, X_{1}) = ρ

$\text{corr}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1) = \rho$

ध्यान दें कि यदि आप एक ही (गैर-शून्य) स्थिरांक से और दोनों को गुणा करते हैं , तो सहसंबंध नहीं बदलेगा। इस प्रकार, हम विचरण को संरक्षित करने के लिए एक शर्त जोड़ने जा रहे हैं: $\alpha$ $\beta$ $\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \text{var}(X_1)$

इसके बराबर है

ρ = \frac{cov (α X_{1} + β X_{2}, X_{1})}{\sqrt{var (α X_{1} + β X_{2}) var (X_{1})}} = \frac{α \overset{= var (X_{1})}{\overset{⏞}{cov (X_{1}, X_{1})}} + \overset{= 0}{\overset{⏞}{β cov (X_{2}, X_{1})}}}{\sqrt{var (α X_{1} + β X_{2}) var (X_{1})}} = α \sqrt{\frac{var (X_{1})}{α^{2} var (X_{1}) + β^{2} var (X_{2})}}

$\rho = \frac{\text{cov}(\alpha X_1 + \beta X_2, X_1)}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \frac{\alpha \overbrace{\text{cov}(X_1, X_1)}^{=\text{var}(X_1)} + \overbrace{\beta \text{cov}(X_2, X_1)}^{=0}}{\sqrt{\text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) \text{var}(X_1)}} = \alpha \sqrt{\frac{\text{var}(X_1)}{\alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2)}}$

मान लें कि दोनों यादृच्छिक चर का एक ही रूप है (यह एक महत्वपूर्ण धारणा है!) ( ), हम प्राप्त करते हैं $\text{var}(X_1) = \text{var}(X_2)$

ρ \sqrt{α^{2} + β^{2}} = α

$\rho \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \alpha$

इस समीकरण के कई समाधान हैं, इसलिए विचरण-संरक्षण की स्थिति को याद करने का समय है:

var (X_{1}) = var (α X_{1} + β X_{2}) = α^{2} var (X_{1}) + β^{2} var (X_{2}) \Rightarrow α^{2} + β^{2} = 1

$\text{var}(X_1) = \text{var}(\alpha X_1 + \beta X_2) = \alpha^2 \text{var}(X_1) + \beta^2 \text{var}(X_2) \Rightarrow \alpha^2 + \beta^2 = 1$

और यही हमें आगे ले जाता है

α = ρ β = \pm \sqrt{1 - ρ^{2}}

$\alpha = \rho \\ \beta = \pm \sqrt{1-\rho^2}$

युपीडी । दूसरे प्रश्न के बारे में: हाँ, इसे श्वेतकरण के रूप में जाना जाता है ।

— आर्टेम सोबोलेव
स्रोत

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समीकरण चोल्स्की अपघटन का एक सरल द्विभाजित रूप है । इस सरलीकृत समीकरण को कभी-कभी कैसर-डिकमैन एल्गोरिथ्म (कैसर एंड डिकमैन, 1962) कहा जाता है।

ध्यान दें कि और पास इस एल्गोरिथ्म के ठीक से काम करने के लिए एक ही होना चाहिए। इसके अलावा, एल्गोरिथ्म आमतौर पर सामान्य चर के साथ प्रयोग किया जाता है। यदि या सामान्य नहीं हैं, तो के समान वितरण स्वरूप नहीं हो सकता है । $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $Y$ $X_2$

संदर्भ:

कैसर, एचएफ, और डिकमैन, के (1962)। नमूना और जनसंख्या स्कोर मैट्रिक्स और नमूना संबंध सहसंबंध मैट्रिक्स से एक मनमाना जनसंख्या सहसंबंध मैट्रिक्स। साइकोमेट्रिका, 27 (2), 179-182।

— एंथोनी
स्रोत

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मुझे लगता है कि आपको मानकीकृत सामान्य चर की जरूरत नहीं है, बस एक ही विचरण पर्याप्त होना चाहिए।

— आर्टेम सोबोलेव

2

नहीं, का वितरण मिश्रण वितरण नहीं है जैसा कि आप दावा करते हैं।

Y

$Y$

— दिलीप सरवटे

बिंदु ने लिया, @ दिलीप सरवटे। यदि या - है, तो दो चर का एक रैखिक संयोजन बन जाता है , जिसके परिणामस्वरूप वांछित वितरण नहीं हो सकता है। उत्पन्न गैर-सामान्य सहसंबद्ध डेटा के लिए यह विशेष एल्गोरिदम (कैसर-डिकमैन के बजाय) का कारण है।

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

Y

$Y$

— एंथनी

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सहसंबंध गुणांक दो श्रृंखलाओं के बीच यदि वे वैक्टर ( डेटा बिंदु वेक्टर के आयाम) के साथ व्यवहार किए जाते हैं । उपरोक्त सूत्र बस एक वेक्टर का अपघटन अपने , घटकों ( संबंध में ) के साथ । if , तो । $\cos$ $n^{th}$ $n^{th}$ $\cos\theta$ $sin\theta$ $X_1,X_2$
$\rho = cos \theta$ $\sqrt{1-{\rho}^2}=\pm sin \theta$

क्योंकि यदि असंबंधित हैं, तो उनके बीच का कोण समकोण है (यानी, उन्हें ऑर्थोगोनल माना जा सकता है, यद्यपि गैर-सामान्यीकृत, आधार वैक्टर)। $X_1, X_2$

— दिमित्री रुबानोविच
स्रोत

2

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T E X

$\TeX$

— whuber