अधिकतम दो सहसंबद्ध सामान्य चर का वितरण

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मान लें कि मेरे पास दो मानक सामान्य यादृच्छिक चर $X_1$ और $X_2$ जो संयुक्त रूप से सहसंबंध गुणांक साथ सामान्य हैं $r$ ।

$\max(X_1, X_2)$

correlation normal-distribution extreme-value

— प्रतिशोध
स्रोत

संबंधित: आंकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / questions / 173064/… ।

— स्टबबोर्नटॉम

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के अनुसार Nadarajah और Kotz, 2008 , दो गाऊसी यादृच्छिक चर की अधिकतम / मिन की सटीक वितरण , की पीडीएफ प्रतीत होता है $X = \max(X_1, X_2)$

f (x) = 2 \cdot ϕ (x) \cdot Φ (\frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^{2}}} x),

$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$

जहाँ PDF है और मानक सामान्य वितरण का CDF है। $\phi$ $\Phi$

$\hskip2in$ यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

— लुकास
स्रोत

यह क्या दिखता है अगर (बिल्कुल कोई सहसंबंध नहीं)? मुझे इसे देखने में परेशानी हो रही है।

r = 0

$r = 0$

— मिच

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मैंने वितरण की कल्पना करते हुए एक आंकड़ा जोड़ा। यह एक निचोड़ा हुआ गाऊसी की तरह दिखता है जो दाईं ओर थोड़ा तिरछा होता है।

— लुकास

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मान लें कि मानक अंतर और सहसंबंध लिए लिए सामान्य पीडीएफ है । अधिकतम का CDF परिभाषा के अनुसार है, $f_\rho$ $(X,Y)$ $\rho$

Pr (max (X, Y) \leq z) = Pr (X \leq z, Y \leq z) = \int_{- \infty}^{z} \int_{- \infty}^{z} f_{ρ} (x, y) d y d x .

$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$

द्विभाजित सामान्य पीडीएफ विकर्ण के चारों ओर सममित (प्रतिबिंब के माध्यम से) है। इस प्रकार, से तक बढ़ने से मूल अर्ध-अनंत वर्ग के बराबर संभाव्यता के दो स्ट्रिप्स हैं: इनफिनिटिमली मोटी ऊपरी एक है जबकि यह परिलक्षित प्रतिरूप, दाएँ हाथ की पट्टी, । $z$ $z+dz$ $(-\infty, z]\times (z, z+dz]$ $(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

आकृति

दाएं हाथ की पट्टी की संभावना घनत्व पर घनत्व है $X$ $z$ की कुल स्थिति जो पट्टी में है, । का सशर्त वितरण हमेशा सामान्य होता है, इसलिए इस कुल सशर्त संभावना को खोजने के लिए हमें केवल माध्य और विचरण की आवश्यकता होती है। पर का सशर्त माध्य प्रतिगमन भविष्यवाणी और सशर्त विचरण "अस्पष्टीकृत" प्रसरण । $Y$ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$ $Y$ $Y$ $X$ $\rho X$ $\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

अब जब कि हम जानते हैं कि सशर्त मतलब और विचरण, की सशर्त CDF दिया मानकीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता और लागू करने के मानक सामान्य CDF : $Y$ $X$ $Y$ $\Phi$

Pr (Y \leq y | X) = Φ (\frac{y - ρ X}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) .

$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$

पर इस का मूल्यांकन और और के घनत्व से गुणा पर (एक मानक सामान्य पीडीएफ ) दूसरे की प्रायिकता घनत्व देता है (दाएँ हाथ के) पट्टी $y=z$ $X=z$ $X$ $z$ $\phi$

ϕ (z) Φ (\frac{z - ρ z}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) = ϕ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$

इक्वी-प्रोपेबल अपर स्ट्रिप के लिए इस अकाउंट को डब करना, जैसा कि अधिकतम का पीडीएफ देता है

\frac{d}{d z} Pr (max (X, Y) \leq z) = 2 ϕ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$

संक्षिप्त

मैंने उनके मूल को दर्शाने के लिए कारकों को रंग दिया है: दो सममित स्ट्रिप्स के लिए ; infinitesimal स्ट्रिप चौड़ाई के लिए ; और पट्टी लंबाई के लिए । उत्तरार्द्ध का तर्क, , का एक मानकीकृत संस्करण है $\color{blue}2$ $\color{black}{\phi(z)}$ $\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$ $\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$ $Y=z$ पर सशर्त । $X=z$

— व्हीबर
स्रोत

क्या इसे दिए गए सहसंबंध मैट्रिक्स के साथ दो से अधिक सामान्य सामान्य चर तक बढ़ाया जा सकता है?

— ए। डोंडा

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@ ए डोंडा हां - लेकिन अभिव्यक्ति अधिक जटिल हो जाती है। प्रत्येक नए आयाम के साथ एक बार फिर एकीकृत करने की आवश्यकता होती है।

— whuber