ची-वर्ग चर के अनंत संग्रह के आदेश के आंकड़े (जैसे, न्यूनतम)?

Question

यह मेरा पहला अवसर है, इसलिए कृपया मुझे बताएं कि क्या मैं किसी भी तरह से अपने प्रश्न को स्पष्ट कर सकता हूं (incl। स्वरूपण, टैग, आदि)। (और उम्मीद है कि मैं बाद में संपादित कर सकता हूं!) मैंने संदर्भ खोजने की कोशिश की, और प्रेरण का उपयोग करके खुद को हल करने की कोशिश की, लेकिन दोनों में विफल रहा।

मैं एक वितरण स्वतंत्र के एक गणनीय अनंत सेट के एक आदेश आँकड़ों की कम करने के लिए लगता है कि आसान बनाने के लिए कोशिश कर रहा हूँ $\chi^2$ स्वतंत्रता के विभिन्न डिग्री के साथ यादृच्छिक परिवर्तनीय; विशेष रूप से, क्या का वितरण है $m$ स्वतंत्र के बीच वां सबसे छोटा मान $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\chi^2_8,\ldots$ ?

मैं विशेष मामले में रुचि होगी $m=1$ : क्या (स्वतंत्र) की न्यूनतम का वितरण है $\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$ ?

न्यूनतम के मामले में, मैं एक अनंत उत्पाद के रूप में संचयी वितरण समारोह (सीडीएफ) लिखने में सक्षम था, लेकिन आगे इसे सरल नहीं कर सकता। मैं तथ्य यह है कि के CDF इस्तेमाल किया है एफ 2 मीटर ( एक्स ) = γ ( मीटर , एक्स / 2 ) / Γ ( मीटर ) = γ ( मीटर , एक्स / 2 ) / ( मीटर - 1 ) ! = 1 - ई - $\chi^2_{2m}$ (एम=1 के साथ, यह उम्मीद के साथ एक घातीय वितरण के साथ तुल्यता के बारे में नीचे दूसरी टिप्पणी की पुष्टि करता है।) न्यूनतम सीडीएफ को तबएफ एम आई एन (एक्स)=1-(1-एफ2(एक्स) केरूप में लिखा जा सकता है।))(1-एफ4

$$F_{2m}(x)=\gamma(m,x/2)/\Gamma(m)=\gamma(m,x/2)/(m-1)!=1-e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}x^k/(2^k k!).$$ $m=1$ $$F_{min}(x) = 1-(1-F_2(x))(1-F_4(x))\ldots = 1-\prod_{m=1}^\infty (1-F_{2m}(x))$$ उत्पाद में पहले कार्यकाल सिर्फई-एक्स/2, और "पिछले" शब्द हैई-एक्स/2Σ∞ कश्मीर = 0 एक्सकश्मीर/(2कश्मीरकश्मीर!)=1। लेकिन मुझे नहीं पता कि कैसे (यदि संभव हो?) इसे वहां से सरल बनाया जाए। या शायद एक पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण बेहतर है। $$= 1- \prod_{m=1}^\infty \left(e^{-x/2}\sum_{k=0}^{m-1}\frac{x^k}{2^k k!}\right).$$ $e^{-x/2}$$e^{-x/2}\sum_{k=0}^\infty x^k/(2^k k!)=1$

$\chi^2_2$$\chi^2_4$

$x_i=1$$i$$\chi^2$$\Gamma$$2\kappa$

Comments

क्या यह आपके प्रश्न का उत्तर देता है?

— mpiktas 10

$\chi^2_2$$\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

$X_k$$\lambda/2$$k=1,2,\ldots$$1-F_{min}(\lambda)$$X_k \le k$

$T_1, T_2, \ldots$$\mathrm{Exp}(1/2)$$N(t) := \sup\{n: \sum_{i=1}^n T_i \leq t\}$$1/2$$U_1 = T_1$$U_2 = T_2 + T_3$$U_3 = T_4 + T_5 + T_6$$U_i\sim\chi_{2i}^2$$\mathbb{P}(U_i \geq t) = \mathbb{P}( N(t) \leq i)$

— कार्डिनल

@ कार्डिनल ऑफ कोर्स: यह देखने का एक अच्छा तरीका है। Poissons और Gammas के बीच के रिश्ते में जिज्ञासा नहीं है; यह घटना के विवरण में ही निहित है!

— whuber

Answer 1

अनंत उत्पाद का शून्य शब्दों के शून्य का संघ होगा। 20 वें पद के लिए गणना करना सामान्य पैटर्न दिखाता है:

कॉम्प्लेक्स प्लेन में ज़ीरो का यह प्लॉट अलग-अलग प्रतीकों के माध्यम से उत्पाद में अलग-अलग शब्दों के योगदान को अलग करता है: प्रत्येक चरण में, स्पष्ट घटता को आगे बढ़ाया जाता है और एक नया वक्र आगे भी छोड़ा जाता है।

इस तस्वीर की जटिलता को दर्शाता है वहां मौजूद कोई पूर्ण-सूत्र समाधान इस तरह के gammas, thetas, hypergeometric कार्य, आदि, और साथ ही प्राथमिक कार्यों के रूप में उच्च विश्लेषण के प्रसिद्ध कार्य (के मामले में, के रूप में की तरह एक क्लासिक पाठ में सर्वेक्षण Whittaker और वाटसन )।

इस प्रकार, समस्या अधिक फलदायी रूप से थोड़ी भिन्न हो सकती है : आपको आदेश के आँकड़ों के वितरण के बारे में क्या जानने की आवश्यकता है? उनके चारित्रिक कार्यों का अनुमान है? निम्न क्रम के क्षण? क्वांटिल्स के लिए मतभेद? कुछ और?

Comments

उत्पाद के शून्य का महत्व क्यों है? मुझे लगता है कि मैं कुछ तुच्छ याद कर रहा हूँ।

— 20

$2i\pi n$$n$$\exp()$

@whuber (1/2), धन्यवाद! मुझे जटिल विमान में शून्य के विभिन्न पैटर्न वाले कार्यों के विभिन्न वर्गों के बारे में नहीं पता था; यह बहुत उपयोगी लगता है, और आपका ग्राफ मेरे सवाल का जवाब देता है (जैसा कि सामने आया)।

— डेविड एम कपलान

$m$$m$$m\to\infty$

Answer 2

$\chi^2_2,\chi^2_4,\chi^2_6,\ldots$

कुछ 6 साल देरी से आने के लिए क्षमा याचना। भले ही ओपी की संभावना अब अन्य समस्याओं पर चली गई हो, फिर भी प्रश्न ताज़ा बना हुआ है, और मुझे लगा कि मैं एक अलग दृष्टिकोण सुझा सकता हूं।

---

$(X_1, X_2, X_3, \dots)$$X_i \sim \text{Chisquared}(v_i)$$v_i= 2i$$f_i(x_i)$

$f_i(x_i)$$i = 1 \text{ to } 8$

$\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$

हर बार जब हम एक अतिरिक्त अवधि जोड़ते हैं, तो सीमांत अंतिम शब्द का pdf आगे और आगे दाईं ओर शिफ्ट हो जाता है, ताकि अधिक से अधिक शब्द जोड़ने का प्रभाव न केवल कम और कम प्रासंगिक हो जाए, बल्कि कुछ ही समय के बाद , लगभग नगण्य हो जाता है - न्यूनतम नमूने पर। इसका मतलब है, वास्तव में, कि केवल बहुत ही कम संख्या में शब्द वास्तव में मायने रखते हैं ... और अतिरिक्त शब्द (या शब्दों की अनंत संख्या की उपस्थिति) को जोड़ना नमूना न्यूनतम समस्या के लिए काफी हद तक अप्रासंगिक है।

परीक्षा

$\text{min}(X_1, X_2, X_3, \dots)$OrderStatNonIdentical$1^{\text{st}}$$j$$i$$v_i$

शब्दों की संख्या बढ़ने पर यह थोड़ा जटिल हो जाता है ... लेकिन मैंने 1 टर्म (पहली पंक्ति), 2 शब्द (दूसरी पंक्ति), 3 शब्द (3 वीं पंक्ति) और 4 शब्दों के लिए आउटपुट दिखाया है।

निम्नलिखित आरेख 1 शब्द (नीला), 2 शब्द (नारंगी), 3 शब्द और 10 शब्दों (लाल) के साथ न्यूनतम नमूने की पीडीएफ की तुलना करता है। ध्यान दें कि कैसे परिणाम केवल 10 शर्तों के साथ 10 शर्तों के समान हैं:

निम्नलिखित आरेख 5 पदों (नीला) और 10 शब्दों (नारंगी) की तुलना करते हैं - भूखंड समान हैं, वे एक-दूसरे को तिरछा करते हैं, और एक भी अंतर नहीं देख सकता है:

दूसरे शब्दों में, 5 से 10 तक शब्दों की संख्या बढ़ने से नमूने के वितरण पर लगभग कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

अर्ध-लॉजिस्टिक स्वीकृति

अंत में, नमूना मिनट की पीडीएफ का एक उत्कृष्ट सरल सन्निकटन पीडीएफ के साथ अर्ध-उपस्कर वितरण है:

$$g(x) = \frac{2 e^{-x}}{\left(e^{-x}+1\right)^2} \quad \text{ for } x>0$$

निम्नलिखित चित्र 10 शब्दों के साथ सटीक समाधान की तुलना करता है (जो 5 शब्दों या 20 शब्दों से अप्रभेद्य है) और आधा-तर्कवादी सन्निकटन (धराशायी):

20 शब्दों के बढ़ने से कोई फर्क नहीं पड़ता।