सेम मीन, डिफरेंट वेरियस

मान लीजिए कि आपके पास आठ धावक दौड़ रहे हैं; उनके व्यक्तिगत रन समय का वितरण सामान्य है और प्रत्येक का मतलब $11$ सेकंड है, कहते हैं। धावक एक का मानक विचलन सबसे छोटा, दो दूसरा सबसे छोटा, तीसरा सबसे छोटा, आदि, और आठ सबसे बड़ा है। दो सवाल मुझे भ्रमित कर रहे हैं: (1) पहली बार धड़कन की संभावना क्या है, और (2) दौड़ जीतने के लिए सबसे अधिक संभावना कौन है?

मेरे जवाब हैं $1/2$ और $8$ , क्रमशः। वे एक ही मतलब, संभावना है कि का हिस्सा के बाद से $\bar x_1-\bar x_8\lt 0$ बस है $1/2$ नहीं,? मैं दूसरे भाग को कठोरता से कैसे प्रदर्शित कर सकता हूं, और जीतने की एक सटीक संभावना की गणना की जा सकती है? अग्रिम में धन्यवाद।

— जॉर्ज टेडर
स्रोत

@Silverfish पहले की तुलना में (रैंडम वेरिएबल

) अंतिम (

स्वतंत्र मानकर), हमें केवल

पर विचार करने की आवश्यकता है । यह शून्य माध्य के साथ एक सममित निरंतर वितरण है। संभावना है कि पहले की धड़कन आखिरी मौका है कि

है, जो (समरूपता और निरंतरता से) के बराबर होती है

X_{1}

$X_1$

X_{n}

$X_n$

X_{1}

$X_1$

Z = X_{1} - X_{n}

$Z=X_1-X_n$

Z < 0

$Z\lt 0$

का दावा किया है। हालांकि अंतिम में दौड़ जीतने की अधिक संभावना है, कोई विरोधाभास नहीं है: ज्यादातर समय जब पहली धड़कन होती है, तोकोई औरवास्तव में दौड़ जीत जाएगा।

1 / 2

$1/2$

— whuber

@whuber धन्यवाद, मैं जो कुछ भी करना चाहता था - मैं भ्रम को रोकने के लिए निकाल दूंगा। 1/2 का आंकड़ा सही है, लेकिन उनके माध्य समय

तुलना करने का उत्तर गलत है और आबादी के साधनों के साथ भ्रम को आमंत्रित करता प्रतीत होता है। जैसा कि आप लिखते हैं, यह

में अंतर होना चाहिए ।

\bar{x_{i}}

$\bar{x_i}$

X_{i}

$X_i$

— सिल्वरफिश

@Silver यह मानने के खतरे को उजागर करता है कि हम हमेशा जानते हैं कि किसी के संकेतन का क्या मतलब है, सिर्फ इसलिए कि यह परिचित है। मैं (overlines "पर प्रदर्शित होने के साथ कि इस मुद्दे पर भुला

'और'

क्योंकि अभीष्ट अर्थ स्पष्ट पर्याप्त था") और सूचित किया कि उनमें से कोई भी संभवतः का प्रतिनिधित्व कर सकता है कुछ भी मतलब: इस संदर्भ में वे राशि के लिए खड़े करने के लिए यादृच्छिक चर खुद (जो मैंने

और

लिखा था )।

x_{1}

$x_1$

x_{8}

$x_8$

X_{1}

$X_1$

X_{n}

$X_n$

— whuber

हालांकि एक सटीक संभावना (साथ छोड़कर विशेष परिस्थितियों में नहीं की जा सकती ), यह संख्यानुसार उच्च सटीकता के लिए जल्दी से गणना की जा सकती। इस सीमा के बावजूद, यह कड़ाई से साबित किया जा सकता है कि सबसे बड़े मानक विचलन वाले धावक के पास जीतने का सबसे बड़ा मौका है। आंकड़ा स्थिति को दर्शाता है और दिखाता है कि यह परिणाम सहज रूप से स्पष्ट क्यों है: $n \le 2$

पांच धावकों के समय के लिए संभाव्यता घनत्व दिखाए गए हैं। सभी एक सामान्य माध्यम के बारे में निरंतर और सममित हैं। (सभी समय सकारात्मक हैं यह सुनिश्चित करने के लिए स्केल्ड बीटा घनत्व का उपयोग किया गया था।) एक घनत्व, गहरे नीले रंग में खींचा गया है, बहुत अधिक फैल गया है। इसकी बाईं पूंछ में दिखाई देने वाला भाग ऐसे समय का प्रतिनिधित्व करता है जो कोई अन्य धावक आमतौर पर मेल नहीं खा सकता है। क्योंकि वह बाईं पूंछ, अपने अपेक्षाकृत बड़े क्षेत्र के साथ, प्रशंसनीय संभावना का प्रतिनिधित्व करती है, इस घनत्व वाले धावक के पास दौड़ जीतने की सबसे बड़ी संभावना है। (वे भी आखिरी में आने का सबसे बड़ा मौका है!) $\mu$

ये परिणाम केवल सामान्य वितरण से अधिक के लिए सिद्ध होते हैं: यहां प्रस्तुत तरीके समरूपता वाले वितरण के लिए समान रूप से लागू होते हैं और निरंतर । (यह उन लोगों के लिए हितकारी होगा, जो सामान्य रूप से मॉडल का उपयोग करते हुए वस्तुओं को चलाते समय करते हैं।) जब इन मान्यताओं का उल्लंघन किया जाता है, तो संभव है कि सबसे बड़े मानक विचलन वाले धावक के पास जीतने का सबसे बड़ा मौका न हो (मैं काउंटरटेक्म्पल्स का निर्माण छोड़ देता हूं) पाठकों की दिलचस्पी), लेकिन हम अभी भी इस धारणा के तहत साबित कर सकते हैं कि सबसे बड़ी एसडी के साथ धावक के पास जीतने का सबसे अच्छा मौका होगा बशर्ते कि एसडी पर्याप्त रूप से बड़ा हो।

आंकड़ा यह भी बताता है कि मानक विचलन (तथाकथित "अर्धविराम") के एक तरफा एनालॉग्स पर विचार करके समान परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं, जो केवल एक तरफ वितरण के फैलाव को मापते हैं। बाईं ओर बड़े फैलाव के साथ एक धावक (बेहतर समय की ओर) को जीतने का एक बड़ा मौका होना चाहिए, बाक़ी वितरण में क्या होता है, इसकी परवाह किए बिना। ये विचार हमें इस बात की सराहना करने में मदद करते हैं कि सर्वश्रेष्ठ होने का गुण कैसे है (एक समूह में) की संपत्ति अन्य गुणों जैसे कि औसत से भिन्न होती है।

चलिए रनर समय का प्रतिनिधित्व करने वाले यादृच्छिक चर हैं। प्रश्न मानता है कि वे स्वतंत्र हैं और आम तौर पर सामान्य माध्य साथ वितरित किए जाते हैं । (हालांकि यह वस्तुतः एक असंभव मॉडल है, क्योंकि यह नकारात्मक समय के लिए सकारात्मक संभावनाएं प्रस्तुत करता है, यह अभी भी वास्तविकता के लिए एक उचित अनुमान हो सकता है बशर्ते मानक विचलन से काफी छोटा हो ।) $X_1, \ldots, X_n$ $\mu$ $\mu$

निम्नलिखित तर्क को पूरा करने के लिए, स्वतंत्रता के दमन को बनाए रखें, लेकिन अन्यथा मान लें कि का वितरण द्वारा दिया गया है और ये वितरण संबंधी कानून कुछ भी हो सकते हैं । सुविधा के लिए, यह भी मान लें कि वितरण घनत्व साथ निरंतर है । बाद में, आवश्यकतानुसार, हम अतिरिक्त मान्यताओं को लागू कर सकते हैं बशर्ते कि वे सामान्य वितरण के मामले में शामिल हों। $X_i$ $F_i$ $F_n$ $f_n$

किसी भी और infinitesimal , मौका है कि अंतिम धावक के अंतराल में समय है और सबसे तेज़ धावक सभी प्रासंगिक संभावनाओं को गुणा करके प्राप्त किया जाता है (क्योंकि सभी बार स्वतंत्र हैं): $y$ $dy$ $(y-dy, y]$

Pr (X_{n} \in (y - d y, y], X_{1} > y, \dots, X_{n - 1} > y) = f_{n} (y) d y (1 - F_{1} (y)) \dots (1 - F_{n - 1} (y)) .

$\Pr(X_n \in (y-dy, y], X_1 \gt y, \ldots, X_{n-1} \gt y) = f_n(y)dy(1-F_{1}(y))\cdots(1-F_{n-1}(y)).$

इन सभी पारस्परिक रूप से अनन्य संभावनाओं से अधिक पैदावार

Pr (X_{n} \leq min (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n - 1})) = \int_{R} f_{n} (y) (1 - F_{1} (y)) \dots (1 - F_{n - 1} (y)) d y .

$\Pr(X_n \le \min(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})) = \int_{\mathbb R} f_n(y)(1-F_1(y))\cdots(1-F_{n-1}(y)) dy.$

सामान्य वितरण के लिए, इस इंटीग्रल का मूल्यांकन बंद रूप में नहीं किया जा सकता है जब : इसे संख्यात्मक मूल्यांकन की आवश्यकता होती है। $n\gt 2$

यह आंकड़ा 1: 2: 3: 4: 5 के अनुपात में मानक विचलन वाले प्रत्येक पांच धावकों के लिए अभिन्न भूखंड देता है। एसडी जितना बड़ा होता है, फ़ंक्शन को बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है - और इसका क्षेत्र उतना ही बड़ा हो जाता है। क्षेत्र लगभग 8: 14: 21: 26: 31% हैं। विशेष रूप से, सबसे बड़े एसडी वाले धावक के पास जीतने का 31% मौका होता है।

यद्यपि एक बंद रूप नहीं पाया जा सकता है, फिर भी हम ठोस निष्कर्ष निकाल सकते हैं और साबित कर सकते हैं कि सबसे बड़ा एसडी वाला धावक जीतने की संभावना है। , परिवर्तन कहते हैं, हमें अध्ययन करने की आवश्यकता है कि वितरण में से किसी एक के मानक विचलन के रूप में क्या होता है । जब यादृच्छिक चर द्वारा पुनः पैमाना है अपने मतलब के आसपास, अपने एसडी से गुणा किया जाता और के लिए बदल जाएगा $F_n$ $X_n$ $\sigma \gt 0$ $\sigma$ $f_n(y)dy$ $f_n(y/\sigma)dy/\sigma$ । चर का परिवर्तन करने से अभिन्न में रनर का मौका के लिए एक अभिव्यक्ति देता है के एक समारोह के रूप में, जीतने : $y=x\sigma$ $n$ $\sigma$

ϕ (σ) = \int_{R} f_{n} (y) (1 - F_{1} (y σ)) \dots (1 - F_{n - 1} (y σ)) d y .

$\phi(\sigma) = \int_{\mathbb R} f_n(y)(1-F_1(y\sigma))\cdots(1-F_{n-1}(y\sigma)) dy.$

अब मान लीजिए कि माध्यिकाओं सब से वितरण बराबर हैं और सभी वितरण सममित और निरंतर हैं कि, घनत्व के साथ । (यह निश्चित रूप से सवाल की शर्तों के तहत मामला है, क्योंकि एक सामान्य मंझला इसका मतलब है।) चर के एक साधारण (स्थानीय) परिवर्तन से हम यह मान सकते हैं कि यह सामान्य माध्य ; समरूपता का अर्थ है और $n$ $f_i$ $0$ $f_n(y) = f_n(-y)$ $1 - F_j(-y) = F_j(y)$ सभी । इन रिश्तों अभिन्न अधिक गठबंधन करने के लिए हमें सक्षम अभिन्न से अधिक के साथ देने के लिए $y$ $(-\infty, 0]$ $(0,\infty)$

ϕ (σ) = \int_{0}^{\infty} f_{n} (y) (\prod_{j = 1}^{n - 1} (1 - F_{j} (y σ)) + \prod_{j = 1}^{n - 1} F_{j} (y σ)) d y .

$\phi(\sigma) = \int_0^{\infty} f_n(y)\left(\prod_{j=1}^{n-1}\left(1-F_j(y\sigma)\right)+\prod_{j=1}^{n-1}F_j(y\sigma)\right) dy.$

समारोह विभेदक है। इसका व्युत्पन्न, अभिन्न को विभेदित करके प्राप्त किया जाता है, जहां एक शब्द का रूप होता है $\phi$

y f_{n} (y) f_{i} (y σ) (\prod_{j \neq i}^{n - 1} F_{j} (y σ) - \prod_{j \neq i}^{n - 1} (1 - F_{j} (y σ)))

$y f_n(y) f_i(y\sigma)\left(\prod_{j\ne i}^{n-1}F_j(y\sigma) - \prod_{j\ne i}^{n-1}(1-F_j(y\sigma))\right)$

के लिए $i=1, 2, \ldots, n-1$ ।

मान्यताओं हम वितरण के बारे में किए आश्वस्त करने के लिए डिजाइन किए गए थे कि के लिए । इस प्रकार, के बाद से , बाईं उत्पाद में प्रत्येक शब्द से अधिक सही उत्पाद में अपनी इसी अवधि, उत्पादों के अंतर जिसका अर्थ गैर नकारात्मक है। अन्य कारकों स्पष्ट रूप से गैर नकारात्मक रहे हैं, क्योंकि घनत्व नकारात्मक नहीं हो और कर सकते हैं $F_j(x) \ge 1-F_j(x)$ $x\ge 0$ $x=y\sigma\ge 0$ $y f_n(y) f_i(y\sigma)$ । हम जानते हैं कि यह निष्कर्ष निकाल सकते के लिए , साबित करते हुए किसंभावना है कि खिलाड़ी के मानक विचलन के साथ जीत बढ़ जाती है । $y\ge 0$ $\phi^\prime(\sigma) \ge 0$ $\sigma \ge 0$ $n$ $X_n$

यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि रनर जीत जाएगा बशर्ते का मानक विचलन पर्याप्त रूप से बड़ा हो। यह काफी संतोषजनक नहीं है, क्योंकि एक बड़े एसडी के परिणामस्वरूप शारीरिक रूप से अवास्तविक मॉडल हो सकता है (जहां नकारात्मक जीतने के समय में सराहनीय संभावनाएं हैं)। लेकिन मान लें कि सभी वितरणों में उनके मानक विचलन के अलावा समान आकार हैं । इस मामले में, जब वे सभी एक ही एसडी होते हैं, तो स्वतंत्र और पहचान के साथ वितरित किया जाता है: किसी के पास किसी और की तुलना में जीतने की अधिक या कम संभावना नहीं हो सकती है, इसलिए सभी संभावनाएं समान हैं ( )। रनर सभी वितरण सेट करके प्रारंभ करें $n$ $X_n$ $X_i$ $1/n$ $n$ $n$ $n$

— व्हीबर
स्रोत

λ

$\lambda$

1 / λ

$1/\lambda$

आपके उत्तर के लिए बहुत धन्यवाद, सही समझ में आता है। इसलिए इस अर्थ में अकेले शिखर मूल्यों का ज्ञान महत्वपूर्ण है।

— फोनन