क्या एक पंक्ति में 10 सिर अगले टॉस की संभावना को एक पूंछ बढ़ाते हैं?

Question

मैं मानता हूं कि निम्नलिखित सत्य है: एक उचित सिक्के को ग्रहण करना, एक सिक्के को पटकने के दौरान एक पंक्ति में 10 सिर मिलना, अगले सिक्के के टॉस होने की संभावना को बढ़ाता नहीं है, चाहे कितनी भी संभावना और / या सांख्यिकीय शब्दजाल चारों ओर उछाला गया हो (सज़ा के बहाने)।

यह मानते हुए कि मामला है, मेरा सवाल यह है: मैं नरक को कैसे मनाता हूं जो कि मामला है?

वे स्मार्ट और शिक्षित हैं, लेकिन इस बात पर विचार नहीं करने के लिए दृढ़ हैं कि मैं इस (तर्क) के अधिकार में हो सकता हूं।

Comments

वे अपनी स्थिति के बारे में क्या तर्क देते हैं ? शायद आप इस तथ्य पर ध्यान आकर्षित कर सकते हैं कि एक सिक्का में मेमोरी नहीं है। (वैकल्पिक रूप से, आप उन्हें अगले टॉस पर

— लड़खड़ाते हुए

यह जुआरी के पतन के

— दान

यदि वे जो कह रहे हैं वह सच है, तो आपको हर सिक्के को फ्लिप करना होगा क्योंकि सिक्का यह जानने के लिए था कि यह "उचित सिक्का" है

— मिकी माउस

यहाँ कुंजी यह है कि यह असली सिक्का है या काल्पनिक है। आंकड़ों में, 10 सिर प्राप्त करने का मतलब कुछ भी नहीं है, और अगले एक की संभावना अभी भी 50/50 है। वास्तविक जीवन में, 10 शीर्षों को फ़्लिप करने से मुझे सिक्के की अधिक बारीकी से जांच करनी पड़ेगी।

— अनएक्सिमैंडर

इस प्रश्न को अपने मित्र को दें: मान लें कि हम दस लोगों को एक साथ दस सिक्के निकालते हैं जब तक कि सभी दस सिर न आ जाएं । वह पल जो होता है - जो आप एक घंटे से भी कम समय में कर सकते हैं - आपके पास ग्यारहवां व्यक्ति एक ग्यारहवाँ सिक्का है। अपने दोस्त से पूछें: क्या उस ग्यारहवें व्यक्ति को पूंछ के पलटने की अधिक संभावना है? यदि वे हां कहते हैं, तो उन्हें समझाएं कि जिन लोगों की सिक्का उछाल में हिस्सेदारी है - फुटबॉल टीमों, का कहना है - इस तकनीक का उपयोग अपने पक्ष में बाधाओं को बदलने के लिए न करें। यदि वे नहीं कहते हैं, तो उन्हें समझाएं कि दोनों परिदृश्यों के बीच क्या अंतर है।

— एरिक लिपर्ट

Answer 1

वे यह दावा करने की कोशिश कर रहे हैं कि [...] यदि 10 सिर हो गए हैं, तो अनुक्रम में अगला अधिक होने की संभावना है क्योंकि आंकड़े कहते हैं कि यह अंत में बाहर संतुलन होगा।

एक बहुत ही विशिष्ट अर्थ में केवल "संतुलन बाहर" है।

यदि यह एक उचित सिक्का है, तो यह अभी भी हर टॉस में 50-50 है। सिक्का अपने अतीत को नहीं जान सकता । यह पता नहीं चल सकता है कि सिर की अधिकता थी। यह अपने अतीत की भरपाई नहीं कर सकता। कभी भी । यह सिर्फ बेतरतीब ढंग से सिर के बल चला जाता है या सिर के लगातार मौके के साथ टिक जाता है।

यदि tosses ( पूंछ की संख्या है) में प्रमुखों की संख्या है, तो एक उचित सिक्के के लिए, 1 तक , क्योंकि जाता है .... लेकिन0. नहीं जाता है। वास्तव में, यह अनंत तक भी जाता है! एन = एन एच + एन टी एन टी एन एच / n टी एन एच + एन टी | एन एच - एन टी $n_H$$n=n_H+n_T$$n_T$$n_H/n_T$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

यही है, कुछ भी नहीं उन्हें और भी अधिक बनाने के लिए कार्य करता है। गिनती "बाहर संतुलन" की ओर नहीं है । औसतन, सिर और पूंछ की गिनती के बीच असंतुलन वास्तव में बढ़ता है!

यहां 1000 टोस के 100 सेट का परिणाम है, जिसमें हर चरण में हेड माइनस संख्या में पूंछ की संख्या में अंतर दिखाया गया है।

ग्रे निशान ( प्रतिनिधित्व करते हैं) एक बर्नौली यादृच्छिक चलना है। यदि आप प्रत्येक समय-चरण में एक इकाई चरण (अनियमित रूप से समान संभावना वाले) द्वारा y-अक्ष को ऊपर या नीचे ले जाने वाले कण के बारे में सोचते हैं, तो कण की स्थिति का वितरण समय के साथ 0 से दूर 'फैलाना' होगा। इसका अभी भी 0 अपेक्षित मूल्य है, लेकिन 0 से इसकी अपेक्षित दूरी समय कदमों की संख्या के वर्गमूल के रूप में बढ़ती है। [किसी के लिए ध्यान दें " क्या वह अपेक्षित पूर्ण अंतर या RMS अंतर के बारे में बात कर रहा है " - वास्तव में या तो: बड़े लिए पहला 80% दूसरा है।] एन $n_H-n_T$$n$$\sqrt{2/\pi}\approx$

ऊपर नीला वक्र और हरा वक्र । जैसा कि आप देखते हैं, कुल सिर और कुल पूंछ के बीच की विशिष्ट दूरी बढ़ती है। अगर 'समानता को बहाल करने' के लिए कुछ भी हो - तो समानता से विचलन के लिए 'बनाने' के लिए - वे आम तौर पर इस तरह आगे भी बढ़ने की प्रवृत्ति नहीं रखते। (यह इस बीजगणित दिखाने के लिए मुश्किल नहीं है, लेकिन मुझे लगता है कि अपने दोस्त को समझाने होगा शक महत्वपूर्ण बात यह है कि स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक राशि के विचरण है। प्रसरण की राशि जुड़ा हुआ अंतिम भाग को देखें - हर जब आप एक और सिक्का फ्लिप करते हैं, तो आप राशि के विचरण पर एक स्थिर राशि जोड़ते हैं ... इसलिए विचरण को साथ आनुपातिक रूप से बढ़ना चाहिए ±2$\pm \sqrt{n}$ <>n$\pm 2\sqrt{n}$ $<$$>$$n$। नतीजतन मानक विचलन साथ बढ़ जाता है । इस मामले में प्रत्येक चरण पर विचरण में जो स्थिरांक जुड़ जाता है वह 1 होता है, लेकिन यह तर्क के लिए महत्वपूर्ण नहीं है।)$\sqrt{n}$

तुल्य, के लिए जाना है कुल उछालों अनंत को जाता है के रूप में है, लेकिन केवल क्योंकि एक बहुत की तुलना में तेजी अनंत को जाता हैकर देता है।$\frac{|n_H-n_T|}{n_H+n_T}$$0$$n_H+n_T$$|n_H-n_T|$

इसका मतलब है कि अगर हम चाहते हैं कि संचयी गिनती विभाजित द्वारा$n$ प्रत्येक चरण में, उस में घटता - गिनती में ठेठ पूर्ण अंतर के आदेश की है , लेकिन में ठेठ पूर्ण अंतर अनुपात तो के आदेश का होना चाहिए ।$\sqrt{n}$$1/\sqrt{n}$

बस इतना ही चल रहा है। समानता से तेजी से बड़े * बेतरतीब विचलन अभी भी बड़े भाजक द्वारा " धोए गए " हैं।

* ठेठ निरपेक्ष आकार में वृद्धि

मार्जिन में थोड़ा एनीमेशन देखें, यहां

अगर आपका दोस्त अनकंफर्टेबल है, तो कुछ सिक्के टॉस करें। हर बार जब आप एक पंक्ति में तीन सिर कहते हैं, तो उसे अगले टॉस पर एक सिर के लिए एक संभावना नामांकित करने के लिए उसे (उसे 50% से कम) प्राप्त करें जो वह सोचता है कि उसके तर्क से उचित होना चाहिए। उनके लिए आप से संबंधित ऑड्स देने के लिए कहें (यानी, वह 1: 1 से थोड़ा अधिक भुगतान करने के लिए तैयार होना चाहिए, यदि आप सिर पर दांव लगाते हैं, क्योंकि वे जोर देते हैं कि पूंछ अधिक होने की संभावना है)। यह सबसे अच्छा है अगर इसे थोड़े से पैसे के लिए बहुत सारे दांव के रूप में स्थापित किया जाए। (आश्चर्यचकित न हों कि कोई बहाना है कि वे अपना आधा दांव क्यों नहीं लगा सकते - लेकिन यह कम से कम नाटकीय रूप से उस स्थिति को कम करने के लिए लगता है जिसके साथ स्थिति आयोजित की गई है।)

[हालाँकि, यह सारी चर्चा सिक्के के निष्पक्ष होने पर पूर्वनिर्धारित है। यदि सिक्का उचित नहीं था (50-50), तो चर्चा का एक अलग संस्करण - अपेक्षित अनुपात-अंतर से विचलन के आसपास की आवश्यकता होगी। 10 tosses में 10 सिर होने से आपको p = 0.5 की धारणा पर संदेह हो सकता है। एक अच्छी तरह से उछाला गया सिक्का निष्पक्ष - भारित या नहीं के करीब होना चाहिए - लेकिन वास्तव में अभी भी छोटे लेकिन शोषक पूर्वाग्रह प्रदर्शित करता है , खासकर अगर इसका शोषण करने वाला व्यक्ति फारसी डायकोनिस जैसा कोई है। दूसरी ओर, सिक्कों को एक चेहरे पर अधिक वजन के कारण पूर्वाग्रह के लिए अतिसंवेदनशील हो सकता है।]

Comments

शर्त प्रमाण के लिए, शायद 1p / 1cent सिक्कों में 2 £ / $ (जो भी आप उपयोग करते हैं) प्राप्त करें। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पिछले दांव की संभावना के आधार पर उसके अनुरोधित बाधाओं के साथ सट्टेबाजी करें, जब तक कि आप में से किसी के पास सभी के पैसे नहीं हों। एक बार जब आप 100 बार उसका पैसा ले लेते हैं, तो उसके लिए बहस करना कठिन होता है।

— जॉन स्टोरी

शर्त विचार के लिए +1। पैसा खोना एक ठोस तर्क की तरह लगता है ...

— एर्गल सेगल-हालीवी

आपके अंतिम कथन ([]) के संबंध में बस एक छोटी सी टिप्पणी। एंड्रयू जेलमैन के अनुसार, एक अनुचित सिक्के जैसी कोई चीज नहीं है ।

— हेनरिक

@ हेनरिक, मैं पहले से ही अपनी पोस्ट में उस लेख से लिंक करता हूं। आप उस वाक्य के दूसरे लिंक को जांचना पसंद कर सकते हैं जिसमें मैं इसे लिंक करता हूं। आपको यह काफी शिक्षाप्रद लग सकता है। जबकि सिक्के (बहुत विशेष अर्थ में गेलमैन का इरादा है) "निष्पक्ष" हो सकते हैं, एक अन्य अर्थ में (मेरे स्मरण के लिए, एक भावना जो डायकोनिस प्रदर्शनों में बार-बार शोषण करने में सक्षम है - एक कुशल जादूगर होने के साथ-साथ एक सांख्यिकीविद् भी) इसे उछालना निष्पक्ष से काफी कुछ हो सकता है।

— Glen_b

प्यारा जवाब। पारित करने के लिए ध्यान देने वाली बात यह है कि toses में अधिकतम अपेक्षित "रन" । 100 tosses में एक पंक्ति में 10 सही है, 1000 tosses के लिए हमें एक पंक्ति में 30 से अधिक की उम्मीद करनी चाहिए$n$$\sqrt n$

— Dale M

Answer 2

भ्रम इसलिए है क्योंकि वह शुरू से संभावना को देख रहा है बिना यह देखे कि और क्या हुआ है।

आइए चीजों को सरल करें:

पहला फ्लिप:

T

अब एक टी का मौका 50% था, इसलिए 0.5।

मौका है कि अगले फ्लिप फिर 0.5 हो जाएगा

TT 0.5
TF 0.5

हालांकि, पहले फ्लिप के बारे में क्या? अगर हम इसमें शामिल हैं:

TT 0.25
TF 0.25

शेष 50% एफ के साथ शुरू हो रहा है, और फिर से टी और एफ के बीच एक समान विभाजन है।

इसे एक पंक्ति में दस टेल तक विस्तारित करने के लिए - संभावना है कि आप पहले से ही 1/1024 है।

अगले एक टी या एफ है कि संभावना 50% है।

तो 11 पूंछ की शुरुआत से मौका 2048 में 1 है। संभावना है कि पहले से ही पूंछ को 10 बार फ़्लिप किया है कि अगले फ्लिप भी एक पूंछ होगी हालांकि अभी भी 50% है।

वे एक और टी के मौके पर 10 टी के 1024 ओडीएल में 1 की अनैच्छिकता को लागू करने की कोशिश कर रहे हैं, जब वास्तव में ऐसा पहले ही हो चुका है, इसलिए इसकी संभावना अब महत्वपूर्ण नहीं है।

एक पंक्ति में 11 पूंछ एक सिर के बाद 10 से अधिक पूंछों की तुलना में कम या अधिक होने की संभावना नहीं है।

संभावना है कि 11 flips सभी पूंछों की संभावना नहीं है, लेकिन चूंकि यह पहले से ही हो चुका है, इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता है!

Comments

मुझे लगता है कि यह वास्तव में बिंदु उत्तर के लिए सबसे अधिक है। मुझे लगता है कि समस्या का हिस्सा यह है कि लोग यह मानने में पीडि़त हैं कि अगले सिक्के के लिए हमेशा 50% होने की संभावना है, जो स्पष्ट रूप से सच है। मुझे लगता है कि यह स्पष्ट है कि जब लोग इस पर अविश्वास करते हैं, तो वे स्पष्ट रूप से एक पंक्ति में 10 प्राप्त करने की संभावना के बारे में बात कर रहे हैं, न कि केवल 1. इस बात को स्वीकार करते हुए कि निश्चित रूप से एक पंक्ति में 10 सिर प्राप्त करने की संभावना कम है यह 1 फ्लिप में 1 सिर पाने के लिए बहुत 'बहस' खत्म हो जाएगा।

— किक

Answer 3

ऑड्स अभी भी 50-50 हैं कि अगला फ्लिप टेल होगा।

बहुत ही सरल व्याख्या: इस क्रम में 10 सिर + 1 पूंछ के फड़कने की संभावना बहुत कम है। लेकिन जब तक आप 10 सिर फड़फड़ाएंगे, तब तक आप पहले से ही अधिकांश बाधाओं को हरा चुके हैं ... आपके पास अगले सिक्के फ्लिप के साथ अनुक्रम को पूरा करने का 50-50 मौका है।

Answer 4

आपको उन्हें यह समझाने की कोशिश करनी चाहिए कि यदि पिछले परिणाम आगामी टॉस को प्रभावित करने वाले थे, तो न केवल अंतिम 10 टोज़ को ध्यान में रखा जाना चाहिए, बल्कि सिक्का जीवन में हर पिछले टॉस पर भी ध्यान देना चाहिए।

मुझे लगता है कि यह अधिक तार्किक दृष्टिकोण है।

Comments

इस। जुआरी समस्या को समझाने के लिए सामान्य ज्ञान सबसे अच्छा तरीका है, क्योंकि सामान्य ज्ञान इसका कारण है। इस उत्तर की तरह कुछ के साथ अपने खंडन शुरू करें, और वे जल्दी से इस निष्कर्ष पर पहुंचेंगे कि वे अपने दम पर गलत हैं। फिर वे सही तर्क के लिए पूरी तरह से ग्रहणशील होंगे।

— ताल्लुन्नरू

सिर्फ वह सिक्का क्यों? हर सिक्का क्यों नहीं उछाला जाता?

— कॉलमडे

Answer 5

यह वास्तव में उत्तर नहीं है - आपकी समस्या मनोवैज्ञानिक है, गणितीय नहीं। लेकिन इससे मदद मिल सकती है।

sometimes$2^{10} \approx 10^3$

Answer 6

$1/2$

$x_n$$11, 12, \dots, n+10.$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} x_n/n =1/2$$ $$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{10+x_n}{n+10}= 1/2$$ $$\frac{10+500000}{1000010} \approx 0.5$$ इसलिए, सीमा में, पहले 10 पूंछ बिल्कुल भी मायने नहीं रखती हैं, इसका प्रभाव बाद के सभी टॉस द्वारा "धोया गया" है। तो, सीमा परिणाम के लिए "बैलेंसिंग आउट" की आवश्यकता नहीं है। गणितीय रूप से, यह केवल इस तथ्य का उपयोग कर रहा है कि संख्याओं के किसी भी अनुक्रम की सीमा (यदि मौजूद है ...) किसी भी परिमित, प्रारंभिक खंड पर निर्भर नहीं करती है ! इसलिए हम मनमाने ढंग से सीमा को प्रभावित किए बिना पहले दस (या पहले सौ) टॉस के लिए परिणाम निर्दिष्ट कर सकते हैं। मुझे लगता है कि यह आपके जुआरी दोस्तों को समझाने का तरीका है (शायद अधिक संख्या और उदाहरण और कम बीजगणित के साथ ...) सबसे अच्छा तरीका हो सकता है।

दूसरा पहलू यह है : दस टॉल्स दस टेल्स के बाद, शायद किसी को संदेह होने लगे कि क्या सिक्का अच्छा है, स्वतंत्र, समान संभावना वाले टॉस की सरल, साधारण मॉडल से मेल खाती है। "टॉसर" (टॉसिंग करने वाला व्यक्ति) को किसी भी तरह से टॉस को नियंत्रित करने के लिए प्रशिक्षित नहीं किया गया है, और वास्तव में एक ईमानदार तरीके से टॉस कर रहा है, यह मानते हुए कि पूंछ की संभावना एक आधी होनी चाहिए ( देखें यह जेलमैन पेपर ।)

तो फिर वहाँ होना चाहिए, वैकल्पिक परिकल्पना में, सिक्का tosses के बीच कुछ निर्भरता! और, एक पंक्ति में दस पूंछ देखने के बाद, सबूत यह है कि निर्भरता एक सकारात्मक है, ताकि एक पूंछ संभावना बढ़ जाती है कि अगला सिक्का टॉस पूंछ होगा। लेकिन फिर, उस विश्लेषण के बाद, उचित निष्कर्ष यह है कि ग्यारहवें टॉस के पूंछ होने की संभावना बढ़ जाती है , कम नहीं होती है! तो उस मामले में निष्कर्ष, आपके जुआरी मित्रों के विपरीत है।

मुझे लगता है कि उनके निष्कर्ष को सही ठहराने के लिए आपको वास्तव में एक बहुत ही अजीब मॉडल की आवश्यकता होगी।

Answer 7

सिक्का फ्लिप्स को स्वतंत्र मानते हुए, यह एक सांख्यिकीविद् से दूसरे तक साबित करना बहुत आसान है। हालाँकि, आपके मित्र को यह विश्वास नहीं होता है कि सिक्का फ़्लिप स्वतंत्र है। स्वतंत्र के पर्यायवाची शब्दों के इर्द-गिर्द फेंकने के अलावा, (उदाहरण के लिए, सिक्का में "मेमोरी" नहीं है) आप उसे साबित नहीं कर सकते कि सिक्का फ़्लिप एक मात्र शब्द तर्क के साथ स्वतंत्र हैं। मैं आपके दावे को मुखर करने के लिए सिमुलेशन का उपयोग करने का सुझाव दूंगा, लेकिन ईमानदार होने के लिए, यदि आपका दोस्त विश्वास नहीं करता है कि सिक्का फ़्लिप स्वतंत्र है मुझे यकीन नहीं है कि वह सिमुलेशन परिणाम पर विश्वास करेगा।

Answer 8

पहले से दिए गए स्पष्टीकरण (@TimB और @James K द्वारा) में से कुछ को पुनर्स्थापित करने के लिए, एक बार जब आप 10 बार एक सिक्का फ़्लिप कर चुके हैं और 10 सिर मिल गए हैं, तो एक पंक्ति में 10 सिर प्राप्त करने की संभावना बिल्कुल 1.0 है! यह पहले से ही हुआ है, इसलिए ऐसा होने की संभावना अब तय हो गई है।

जब आप अपने अगले फ्लिप (0.5) पर सिर प्राप्त करने की संभावना से गुणा करते हैं, तो आप ठीक 0.5 प्राप्त करते हैं।

उस बिंदु पर भी बाधाओं के अलावा किसी अन्य चीज़ के साथ पूंछ पर सट्टेबाजी एक शर्त है।

Answer 9

मान लीजिए कि मैं आश्वस्त हूं कि सिक्का उचित है। यदि सिक्का उचित था तो एक पंक्ति में 10 सिर होने की संभावना तो, एक रूप में महत्व पर, मुझे को अस्वीकार करना चाहिए : सिक्का उचित है, और यह निष्कर्ष निकालता है कि : "कुछ गड़बड़ है" सत्य है। नहीं, मैं इस बात पर जोर नहीं दे सकता कि एक और सिर को देखने की संभावना अभी भी हैα=1%एच0एच1

$$p_{10}=\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=\frac{1}{1024}<0.1\%$$ $\alpha=1\%$$H_0$$H_a$$\frac{1}{2}$

मैं इसे बायेसियन दृष्टिकोण लागू करने और एक समान निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए आपके पास छोड़ दूँगा। आप सिर पूर्व संभाव्यता के साथ शुरुआत करेंगे , फिर इसे एक पंक्ति में 10 शीर्षों के अवलोकन के साथ अपडेट करेंगे, और आप देखेंगे कि कैसे प्रमुखों की संभावनाएं π>$p=\frac{1}{2}$$\pi>\frac{1}{2}$

UPDATE @oerkelens के उदाहरण की दो तरह से व्याख्या की जा सकती है।

• आपके मित्र ने THHTTHTTHT पर दांव लगाया, फिर 10 बार एक सिक्का उछाला और मिला: THHTTHTTHT। इस मामले में आप एक पंक्ति में 10 प्रमुखों के साथ आश्चर्यचकित होंगे, और एक सिक्के की निष्पक्षता पर संदेह करना शुरू कर देंगे। आपको यकीन नहीं है कि अगले टॉस में पूंछ की संभावना के बारे में क्या सोचना है, क्योंकि आपके दोस्त को लगता है कि वह जो चाहता है, वही पाने में सक्षम है, यह यादृच्छिक नहीं है।
• आपने 10 बार एक सिक्का फेंका, और कुछ संयोजन का अवलोकन किया, जो कि THHTTHTTHT हुआ, आपने देखा कि वहाँ 6 पूंछ और 4 सिर थे, जो कि , जो कि अचूक है। इसलिए, अगले टॉस में एक पूंछ की संभावना शायद , क्योंकि इसकी निष्पक्षता पर संदेह करने का कोई कारण नहीं है।$p=\frac{10!}{6!4!2^{10}}\sim 0.2$$\frac{1}{2}$

इसके अलावा, एक तर्क दे सकता है कि यद्यपि 0.001 एक छोटी संभावना है, यदि आप 10 सिक्कों को 100,000 बार टॉस करते हैं, तो आप कुछ 10-सिर संयोजनों को देखने के लिए बाध्य हैं। यह सच है, लेकिन इस मामले में आपके पास कुल 1 मिलियन सिक्के हैं, और आप अनुक्रम में कम से कम 10-सिर संयोजन की तलाश कर रहे हैं। कम से कम एक 10-सिर संयोजन देखने की लगातार संभावना निम्नानुसार गणना की गई है: तो, बार-बार समापन होगा एक सिक्के को 1 मिलियन बार उछालने और 10-सिर के संयोजन को देखने के लंबे महीनों के बाद, कि यह कोई बड़ी बात नहीं है, चीजें होती हैं। वह अगले सिर की संभावना के बारे में अपनी उम्मीदों पर कोई समायोजन नहीं करेगा, और इसे 0.5 पर छोड़ देगा

$$1-\left(\frac{1}{2^{10}}\right)^{100,000}\approx 1$$

कंप्यूटर लोगों के लिए यदि आपके दोस्त कंप्यूटर प्रोग्रामर हैं तो मैंने पाया कि उनके अंतर्ज्ञान के लिए अपील करने का सबसे आसान तरीका प्रोग्रामिंग के माध्यम से है। उन्हें सिक्का टॉस प्रयोग कार्यक्रम करने के लिए कहें। वे थोड़ा सोचेंगे फिर कुछ इस तरह से सामने आएंगे:

for i=1:11
   if rand()>0.5 
       c='H';
   else
       c='T';
   end
   fprintf('%s',c)
end
disp '.'

THTHTHTHHHT.

आप उनसे पूछिएगा

यहाँ एक पंक्ति में 10 प्रमुखों को संभालने के लिए आपका कोड कहाँ है? ऐसा प्रतीत होता है कि आपके कोड में पहले 10 लूपों में जो कुछ भी था, उसके बावजूद, 11 वें टॉस में सिर की 0.5 संभावना है।

हालांकि, यह मामला निष्पक्ष सिक्का टॉस के लिए अपील करता है। कोड एक उचित सिक्का टॉस के साथ बनाया गया है। हालांकि 10 सिरों के मामले में, यह अत्यधिक संभावना नहीं है कि सिक्का उचित है।

Comments

लेकिन ओपी अपने दोस्तों को विश्वास दिलाना चाहता है, और उन दोस्तों का मानना ​​है कि दूसरे सिर के लिए मौका 1/2 से छोटा है।

— oerkelens

यह कैसे आपके लिए सुविधाजनक है और वह अपने प्रश्न की व्याख्या करे। क्या आपने कभी एक निष्पक्ष सिक्के के साथ 10 सिर देखे हैं?

— अक्कल

मैं नहीं कर रहा हूँ, मैं पढ़ रहा हूँ :) सवाल में कहा गया है: क्या एक पंक्ति में 10 सिर अगले टॉस की संभावना को एक पूंछ बढ़ाते हैं? , जुआरी का पतन। आपका दृष्टिकोण दिलचस्प है, लेकिन इस बात का जवाब नहीं देता है कि एक निष्पक्ष सिक्के के मामले में संभावनाएं अभी भी 50/50 होगीं :) कभी भी 10 सिरों को एक निष्पक्ष सिक्के के साथ देखने पर विचार करते हैं, तो मैं आपसे पूछता हूं कि क्या आपने कभी निम्नलिखित देखा है श्रृंखला: THHTTHTTHT? क्योंकि वह यह है कि के रूप में hhhhhhhhhh देखकर के रूप में की संभावना नहीं। अजीब तरह से पर्याप्त, उस श्रृंखला के साथ प्रस्तुत किया गया, आपके सूत्र को यह भी तय करना चाहिए कि सिक्का अनुचित है।

— oerkelens

@oerkelens, मेरा उत्तर अपनी टिप्पणी, धन्यवाद करने के लिए अद्यतन

— Aksakal

Answer 10

आदर्श परिस्थितियों में उत्तर नहीं है। प्रत्येक थ्रो स्वतंत्र है जो पहले आया था। इसलिए अगर यह सही मायने में उचित सिक्का है तो कोई बात नहीं। लेकिन अगर आप इस बारे में अनिश्चित हैं कि सिक्का दोषपूर्ण है या नहीं (जो वास्तविक जीवन में हो सकता है), पूंछ का एक लंबा अनुक्रम किसी को विश्वास दिला सकता है कि यह अनुचित है।

Comments

नहीं नहीं नहीं! "अनुचित सिक्का" जैसी कोई चीज नहीं है। यह सिर्फ एक आँकड़ों की हैंडबुक आविष्कार है। देखें: stat.columbia.edu/~gelman/research/published/diceRev2.pdf

— टिम

@ क्या होगा यदि सिक्के के दोनों किनारे हों? अधिक गंभीरता से, मैं समझता हूं कि आप क्या कह रहे हैं। ऐसे कोई सिक्के नहीं हैं जो वास्तविक दिखते हैं लेकिन असंतुलित हैं। मैं नहीं जानता था कि।

— निकोलस बोर्बाकी

@ ठीक है, मैं गणित करता हूं, इसलिए मुझे वास्तव में परवाह नहीं है यदि अवधारणा यथार्थवादी है! मैं सिर्फ दिखावा करता हूं कि उदाहरण के लिए ऐसा एक सिक्का है। लेकिन भविष्य में, अगर मुझे कभी भी संभावना सिद्धांत को फिर से सिखाना है, तो मैं छात्रों को बताऊंगा कि वास्तविक रूप से ऐसे सिक्के मौजूद नहीं हैं।

— निकोलस बोर्बाकी

@ तैमूर IIRC, सभी व्यावहारिक इरादों और उद्देश्यों के लिए एक अनुचित सिक्के के रूप में ऐसी कोई बात नहीं है, हालांकि इसका मतलब यह नहीं है कि कोई भी सिक्का बिल्कुल निष्पक्ष है। यदि आपके पास एक अनन्त नमूना आकार है, तो आप मनमाने ढंग से छोटे "सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण" मतभेदों का पता लगा सकते हैं, और कोई वास्तविक दुनिया वस्तु कभी भी वैसा ही व्यवहार नहीं करती जैसा कि इसके सैद्धांतिक मॉडल से पता चलता है।

— डिक्रान मार्सुपियल 15

@ उस संदर्भ में यह नहीं कहा गया है कि 'अनुचित सिक्का' नहीं है, यह विशेष रूप से कहता है कि सिक्का उछालने के मामले में यह अनुचित नहीं है (और इसके साथ भी, यह एक व्यक्ति का उपयोग कर रहा है, गुरुत्वाकर्षण नहीं), और यह आनुभविक रूप से सिद्ध है विद्यार्थियों द्वारा सिक्कों की झड़ी लगाकर। अध्ययन ठीक से सिक्के की तुलना पासा से नहीं करता है, क्योंकि यह दावा करता है कि पासा को वजन किया जा सकता है, लेकिन उन्हें हाथ में पकड़ने की कोशिश नहीं की जाती है।

— उपयोगकर्ता-2147482637

Answer 11

यह उत्तर इस प्रकार के सभी प्रश्नों के लिए काम करेगा, जिसमें मोंटी हॉल की समस्या भी शामिल है। बस उनसे पूछें कि उन्हें क्या लगता है कि ऑड्स दस सिर के बाद एक पूंछ प्राप्त कर रहे हैं। उन्हें थोड़ा बेहतर (उनके लिए) खेलने की पेशकश करें लेकिन अभी भी 50-50 बाधाओं के तहत। किसी भी भाग्य के साथ वे एक कंप्यूटर को फ़्लिपिंग करने के लिए सहमत होंगे जिस स्थिति में आप जल्दी से अपनी जेब में पैसा डालेंगे। अन्यथा इसमें अधिक समय लगेगा लेकिन परिणाम (अनिवार्य रूप से) समान है।

Comments

+1। बेशक, पहले आप को धैर्य रखने के लिए पर्याप्त होना चाहिए जब तक कि एक पंक्ति में दस सिर ऊपर न आ जाए!

— whuber

हां, और कौन देखना चाहता है कि 2046 के औसत प्रवाह को देखने के लिए?

— सोखले

और इसीलिए मैंने कहा कि अगर वह खुशकिस्मत हैं तो वे कंप्यूटर की झलकों को स्वीकार करेंगे। बहरहाल, यह मप्र में आस्तिक के लिए नि: शुल्क धन है और गैर-आस्तिक के लिए एक सस्ता सबक है। मैं निश्चित रूप से कभी नहीं सुझाव दिया है कि सेशन आयोजन के इंतजार में उसकी सांस पकड़। इसके अलावा, 10 के बारे में कुछ भी जादुई नहीं है, उन्हें विश्वास करना होगा कि 9, 8, ... यहां तक ​​कि एक पंक्ति में 2 सिर बाधाओं को प्रभावित करते हैं। अब सिक्कों को पलटने का समय उचित प्रतीत होता है

— aginensky

Answer 12

आप उन्हें कैसे मनाएंगे? एक तरीका यह है कि वर्णित समस्या से परिणामों के वितरण को दिखाया जाए।

#1,000,000 observations
numObservations <- 1e+6
#11 coin tosses per sample
numCoinTosses <- 11

sampledCoinTosses <- matrix(sample(c(-1,1),numObservations*numCoinTosses,replace=TRUE),
                        nrow = numObservations, ncol = numCoinTosses)
sampledCoinTosses <- cbind(sampledCoinTosses,apply(sampledCoinTosses[,1:numCoinTosses - 1],1,sum))
#Where the sum of the first ten observations is 10, this corresponds to 10 heads.
tenHeadsObservations <- sampledCoinTosses[which(sampledCoinTosses[,numCoinTosses + 1] == 10),]
#By looking at the summary of the 11th coin toss we can see how close the average value is to 0
summary(tenHeadsObservations[,numCoinTosses])

Answer 13

$10$$0.5^{10}$

• $0.5^{10}$
• $0.5^{11}$

और दोनों के बीच का अंतर सिर्फ एक उचित सिक्के का टॉस है।

Comments

पहली गोली में, वास्तव में "घटना" क्या है जिसका आप उल्लेख करते हैं?

— whuber

यहां तक ​​कि "होने" के लिए, सॉरी ने टाइपो को देखा

— कपलमैन

$0.5^{10}$

0.5 ^ 10 * 1 ^ 1 मैं सिर्फ उस ब्रह्मांड में रहता हूं जहां हम केवल एक पंक्ति में कुल सिर की देखभाल करते हैं

— coulminer

मुझे समझ नहीं आ रहा है। दसवें सिर के बाद, अगले टॉस में सिर उतरने की 50% संभावना है, लेकिन आप कह रहे हैं कि वास्तव में थोड़ा कम संभावना है। क्या आप यही कह रहे हैं?

— Smig