एक लंबा आयताकार मैट्रिक्स द्वारा एक यादृच्छिक चर का रैखिक परिवर्तन

मान लें कि हमारे पास एक यादृच्छिक वेक्टर , जो वितरण घनत्व से संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन । यदि हम इसे प्राप्त करने के लिए इसे पूर्ण-श्रेणी मैट्रिक्स से बदलते हैं , तो का घनत्व द्वारा दिया जाता है। $\vec{X} \in \mathbb{R}^n$ $f_\vec{X}(\vec{x})$ $n \times n$ $A$ $\vec{Y} = A\vec{X}$ $\vec{Y}$

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{| det A |} f_{\vec{X}} (A^{- 1} \vec{y}) .

$f_{\vec{Y}}(\vec{y}) = \frac{1}{\left|\det A\right|}f_{\vec{X}}(A^{-1}\vec{y}).$

अब कहते हैं कि हम बदलना $\vec{X}$ बजाय एक से $m \times n$ मैट्रिक्स $B$ , के साथ $m > n$ , दे रही है $\vec{Z} = B\vec{X}$ । स्पष्ट रूप से $Z \in \mathbb{R}^m$ , लेकिन यह "एक $n$ -dimensional उप-स्थान $G \subset \mathbb{R}^m$ । का सशर्त घनत्व क्या है $\vec{Z}$ , यह देखते हुए कि हम जानते हैं कि यह $G$ ?

मेरी पहली वृत्ति के छद्म-विलोम का उपयोग करना था $B$ । यदि , $B = U S V^T$ का एकवचन मान अपघटन है , तो छद्म व्युत्क्रम है, जहां का निर्माण द्विवार्षिक मैट्रिक्स की गैर-शून्य प्रविष्टियों को सम्मिलित करके किया जाता है । मैंने अनुमान लगाया कि यह जहां by अर्थ है गैर-शून्य एकवचन मानों का गुणनफल। $B$ $B^+ = V S^+ U^T$ $S^+$ $S$

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{1}{| \overset{+}{det} S |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}),

$f_\vec{Z}(\vec{z}) = \frac{1}{\left|\det^+ S\right|} f_\vec{X}(B^+ \vec{z}),$

\overset{+}{det} S

$\det^+ S$

इस तर्क के लिए घनत्व के साथ सहमत हैं एक विलक्षण सामान्य (ज्ञान पर वातानुकूलित है कि उपयुक्त उपस्पेस पर चर जीवन) दिया यहाँ और उल्लेख यहाँ भी और में इस CrossValidated पोस्ट ।

लेकिन यह सही नहीं है! सामान्यीकरण स्थिरांक बंद है। A (ट्रिवियल) प्रतिधारण निम्नलिखित मामले पर विचार करके दिया जाता है: $X \sim \mathcal{N(0, 1)}$ , let

\vec{Y} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) X = (\begin{matrix} X \\ X \end{matrix}) .

$\vec{Y} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} X = \begin{pmatrix}X \\ X\end{pmatrix}.$ यहां ऊपर से मैट्रिक्स

B

$B$ सिर्फ वेक्टर है। इसका छद्म उलटा

B^{+} = (\begin{matrix} 1 / 2 & 1 / 2 \end{matrix})

$B^+ = \begin{pmatrix}1/2 & 1/2\end{pmatrix}$ और

\overset{+}{det} B = \sqrt{2}

$\det^+ B = \sqrt{2}$ । ऊपर से तर्क

f_{\vec{Y}} (\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2 π} \sqrt{2}} \exp (- \frac{1}{2} {\vec{y}}^{T} (B^{+})^{T} B^{+} \vec{y}),

$f_\vec{Y}(\vec{y}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\vec{y}^T (B^+)^T B^+ \vec{y}\right),$ लेकिन यह वास्तव में एकीकृत करता है (लाइन

y = x

$y = x$ )

\frac{1}{\sqrt{2}}

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ । मुझे लगता है कि इस मामले में आप बस अपने किए गए

की प्रविष्टियों में से एक को छोड़

\vec{Y}

$\vec{Y}$ सकते हैं, लेकिन जब

B

$B$ बहुत बड़ी हो तो ड्रॉप करने के लिए प्रविष्टियों के सेट की पहचान करना कष्टप्रद है। छद्म उलटा तर्क कार्य क्यों नहीं करता है? क्या "लंबा" मैट्रिक्स द्वारा यादृच्छिक चर के सेट के रैखिक परिवर्तन के घनत्व समारोह के लिए एक सामान्य सूत्र है? किसी भी संदर्भ की बहुत सराहना की जाएगी।

— सज्जन
स्रोत

उन लोगों के लिए जो भविष्य में इस पर चल सकते हैं ... त्रुटि का स्रोत वास्तव में एकीकरण से उपजा है। ऊपर के उदाहरण में, लाइन पर एकीकरण होता है । इसलिए यह आवश्यक है कि लाइन को "पैरामीरिज़" करें और इंटीग्रल लेते समय पैराब्रिज़ेशन के जैकबियन पर विचार करें, क्योंकि -axis में प्रत्येक इकाई चरण लाइन पर लंबाई चरणों से मेल खाती है । मैं जिस का उपयोग कर रहा था, वह द्वारा दिया गया था , दूसरे शब्दों में मान द्वारा की दोनों समान प्रविष्टियों को निर्दिष्ट करता है । इसमें जैकबियन , जो बड़े करीने से रद्द करता है $y = x$ $x$ $\sqrt{2}$ $x \mapsto (x, x)$ $\vec{y}$ $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ (वास्तव में एक ही याकूब से आ रहा है) हर में।

उदाहरण कृत्रिम रूप से सरल था - सामान्य परिवर्तन , किसी के पास आउटपुट के लिए एक और पैरामीरिजेशन हो सकता है जो समस्या के संदर्भ में स्वाभाविक है। चूंकि पैरामीरीज़ेशन को रूप में एक ही उप-क्षेत्र को कवर करने की आवश्यकता होती है , और यह उप-क्षेत्र एक हाइपरप्लेन है, पैरामीटर के रैखिक होने की संभावना है। पैरामीरिजेशन के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व को बुलाते हुए , आवश्यकता बस इतनी है कि इसमें के समान स्तंभ स्थान है (समान हाइपरप्लेन को कवर करें)। फिर अंतिम घनत्व हो जाता है $B$ $G$ $B$ $m \times n$ $L$ $B$

f_{\vec{Z}} (\vec{z}) = \frac{| \overset{+}{det} L |}{| \overset{+}{det} B |} f_{\vec{X}} (B^{+} \vec{z}) .

$f_{\vec{Z}}(\vec{z}) = \frac{\left|\det^+ L\right|}{\left|\det^+ B\right|}f_{\vec{X}}(B^+ \vec{z}).$

सामान्य तौर पर, यह सेटअप एक प्रकार का अजीब है, और मुझे लगता है कि सही काम करना की पंक्तियों का एक अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट ढूंढना है , और बाकी पंक्तियों को हटा दें (साथ ही परिवर्तित चर के संगत घटकों के साथ) ) एक वर्ग मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए । फिर समस्या पूर्ण-रैंक केस तक कम हो जाती है (मान लें कि में पूर्ण स्तंभ रैंक है)। $B$ $\vec{z}$ $\hat B$ $n \times n$ $B$

— सज्जन
स्रोत