बहुपद का विषम वितरण

Question

मैं डी परिणामों पर बहुराष्ट्रीय वितरण के सीमित वितरण की तलाश कर रहा हूं। IE, निम्नलिखित का वितरण

$$\lim_{n\to \infty} n^{-\frac{1}{2}} \mathbf{X_n}$$

जहाँ $\mathbf{X_n}$ एक वेक्टर वैल्यू रैंडम वैरिएबल है जिसमें घनत्व के साथ $f_n(\mathbf{x})$ for $\mathbf{x}$ ऐसा है कि $\sum_i x_i=n$ , $x_i\in \mathbb{Z}, x_i\ge 0$ और अन्य सभी $\mathbf{x}$ , जहां

$$f_{n}(\mathbf{x})=n!\prod_{i=1}^d\frac{p_i^{x_i}}{x_i!}$$

मुझे लैरी वासरमैन के "ऑल स्टैटिस्टिक्स" प्रमेय 14.6, पृष्ठ 237 में एक रूप मिला, लेकिन वितरण को सीमित करने के लिए यह एक विलक्षण सहसंयोजक मैट्रिक्स के साथ नॉर्मल देता है, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि इसे कैसे सामान्य किया जाए। आप रैंडम वेक्टर को (d-1) को-डायमेंशनल स्पेस को कोविरेस मैट्रिक्स को फुल-रैंक बनाने के लिए प्रोजेक्ट कर सकते हैं, लेकिन क्या उपयोग करने के लिए प्रोजेक्शन?

अपडेट ११/५

रे कोपमैन में विलक्षण गॉसियन की समस्या का एक अच्छा सारांश है। मूल रूप से, एकवचन सहसंयोजक मैट्रिक्स चर के बीच सही सहसंबंध का प्रतिनिधित्व करता है, जो गॉसियन के साथ प्रतिनिधित्व करना संभव नहीं है। हालांकि, कोई सशर्त घनत्व के लिए एक गौसियन वितरण प्राप्त कर सकता है, इस तथ्य पर वातानुकूलित है कि यादृच्छिक वेक्टर का मूल्य मान्य है (घटक ऊपर के मामले में n तक जोड़ते $n$हैं)।

सशर्त गाऊसी के लिए अंतर यह है कि व्युत्क्रम को छद्म व्युत्क्रम के साथ बदल दिया जाता है, और सामान्यीकरण कारक "सभी eigenvalues ​​के उत्पाद" के बजाय "गैर-शून्य eigenvalues ​​के उत्पाद" का उपयोग करता है। इयान फ्रिस कुछ विवरणों के साथ लिंक देता है ।

वहाँ भी eigenvalues का जिक्र किए बिना सशर्त गाऊसी को सामान्य कारक व्यक्त करने के लिए एक रास्ता है, यहाँ 'एक व्युत्पत्ति है

Comments

इस मामले में वितरण को सीमित करने का क्या मतलब है?

— रॉबी मैककिलियम

यानी, सेंट्रल लिमिट थ्योरम से आपको जो मिलता है, उसे मैं अपडेट कर

— दूंगा

आप जिस बात का जिक्र कर रहे हैं, वह बहुराष्ट्रीय की अधिकतम संभावना अनुमानक का विषम वितरण है । साथ ही, पहला समीकरण n ^ {- 1} होना चाहिए, n ^ {- 1/2} नहीं।

— साइमन बायरन

उपरोक्त संकेतन में, d = 2 के लिए, X_n, n सिक्का फेंके जाने के बाद प्रमुखों की संख्या है, इसलिए यह X_n / sqrt (n) है जो सामान्य के पास जाता है, X_n / n, no?

— यारोस्लाव बुलटोव

हाँ तुम सही हो। मैं सिर्फ अपने आप को भ्रमित कर रहा था।

— शमौन बयार

Answer 1

सहसंयोजक अभी भी गैर-नकारात्मक निश्चित है (इसलिए यह एक वैध बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण है ), लेकिन सकारात्मक निश्चित नहीं : इसका मतलब यह है कि यादृच्छिक वेक्टर का एक तत्व दूसरों का एक रैखिक संयोजन है।

नतीजतन, इस वितरण से कोई भी ड्रा हमेशा उप-समूह पर रहेगा । एक परिणाम के रूप में, इसका मतलब यह है कि घनत्व फ़ंक्शन को परिभाषित करना संभव नहीं है (जैसा कि वितरण उप-केंद्र पर केंद्रित है: जिस तरह से एक अविभाज्य सामान्य उस पर ध्यान केंद्रित करेगा यदि विचरण शून्य है)।$R^d$

हालांकि, जैसा कि रॉबी मैककिलियम द्वारा सुझाया गया है, इस मामले में आप यादृच्छिक वेक्टर के अंतिम तत्व को छोड़ सकते हैं। इस कम हो चुके वेक्टर का सहसंयोजक मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स होगा, जिसमें अंतिम कॉलम और पंक्ति को गिरा दिया जाएगा, जो अब सकारात्मक निश्चित होगा, और इसका घनत्व होगा (यह चाल अन्य मामलों में काम करेगी, लेकिन आपको सावधान रहना होगा कि कौन सा तत्व है आप ड्रॉप करते हैं, और आपको एक से अधिक ड्रॉप करने की आवश्यकता हो सकती है)।

Comments

क्या थोड़ा असंतोषजनक है चुनाव की स्वतंत्रता है, एक वैध घनत्व प्राप्त करने के लिए मुझे ए एक्स के वितरण के लिए पूछना होगा जहां ए कुछ डी -1 रैंक (डी) एक्स (डी -1) मैट्रिक्स है। क्या परिमित n के लिए CLT सन्निकटन की त्रुटि A के सभी विकल्पों के बराबर होगी? यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है

— यारोस्लाव बुलटोव

हां, त्रुटि हमेशा समान होनी चाहिए। ध्यान रखें कि वेक्टर का अंतिम तत्व कार्यात्मक रूप से अन्य (डी -1) तत्वों पर निर्भर करता है (दोनों परिमित नमूना और स्पर्शोन्मुख मामलों में)।

— साइमन बायरन

ऐसा नहीं है कि `अंतिम 'तत्व निर्भर है, यारोस्लाव की समस्या यह है कि वह यह नहीं पसंद करता है कि किस तत्व को चुनना है। मैं आपके द्वारा दिए गए उत्तर से सहमत हूं, लेकिन मुझे यह भी लगता है कि यहां थोड़ा और अधिक विचार और देखभाल की आवश्यकता है।

— रॉबी मैककिलम

@ यारोस्लाव: शायद यह अंदाजा लगाना अच्छा होगा कि आपके मन में यहां क्या अनुप्रयोग है, क्योंकि इस स्तर पर आपके प्रश्न के बहुत सारे उत्तर हैं।

— रॉबी मैककिलम

रॉबी - आवेदन मुझे ध्यान में था यहाँ है mathoverflow.net/questions/37582/… गॉसी के मूल रूप से अभिन्न सीएलटी द्वारा सुझाए गए द्विपद गुणांक के योगों के लिए बहुत अच्छा सन्निकटन देते हैं (छोटे एन के लिए, सीधे गामा प्रतिनिधित्व को एकीकृत करने से भी बेहतर!)। इसलिए मैं देख रहा था कि क्या मैं बहुराष्ट्रीय गुणांक के अनुमानित योगों के समान कुछ कर सकता हूं, जिसे मुझे विभिन्न फिटरों के लिए गैर-स्पर्शोन्मुख त्रुटि सीमाएं प्राप्त करने की आवश्यकता है (जैसे, अधिकतम संभावना)

— यारो बुलैटोव

Answer 2

यहाँ विलक्षण सहसंयोजक के साथ कोई अंतर्निहित समस्या नहीं है। आपका स्पर्शोन्मुख वितरण एकवचन सामान्य है। Http://fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/tutorials/mvahtmlnode34.html देखें जो एकवचन के घनत्व को सामान्य देता है।

Comments

तकनीकी रूप से, समस्या यह है कि एकवचन सहसंयोजक मैट्रिक्स का मतलब है कि चर के कुछ सबसेट पूरी तरह से सहसंबद्ध हैं, इसलिए संभावना घनत्व कुछ क्षेत्रों में ठीक 0 होना चाहिए, लेकिन यह गौसियन के साथ संभव नहीं है। एक समाधान इसके बजाय सशर्त घनत्व को देखना है, इस तथ्य पर वातानुकूलित है कि यादृच्छिक चर संभव क्षेत्र में है। ऐसा लगता है कि वे लिंक में क्या कर रहे हैं। "जी-उलटा" शब्द कभी नहीं सुना, मैं यह अनुमान लगा रहा हूं कि यह पेनरोज-मूर छद्म उलटा है?

— यारोस्लाव बुलटोव

हालांकि यह सच है कि एक पारंपरिक डी-डायमेंशनल गॉसियन को सभी पर समर्थन है , एकवचन गॉसियन नहीं करता है। जी-उलटा सामान्यीकृत व्युत्क्रम है, और हां, मेरा मानना ​​है कि पेनरोज-मूर परिभाषा यहां काम करती है। मुझे लगता है कि एकवचन सहसंयोजकों के लिए एक CLT है, जैसा कि अपेक्षित था, एकवचन CLT के वितरण में अभिसरण, हालांकि मुझे अभी रेफरी नहीं मिल सकता है। $\Re^d$

— इयान फिसके 2

Answer 3

यह मुझे ऐसा लगता है जैसे वास्समैन के सहसंयोजक मैट्रिक्स विलक्षण है, देखने के लिए, इसे एक वेक्टर द्वारा गुणा करें , अर्थात की लंबाई ।[ 1 , 1 , 1 , … , 1 ] ,$d$$[1,1,1,\dots,1]^\prime$$d$

विकिपीडिया वैसे भी एक ही सहसंयोजक मैट्रिक्स देता है। यदि हम खुद को सिर्फ एक द्विपद वितरण तक सीमित रखते हैं तो मानक केंद्रीय सीमा प्रमेय हमें बताता है कि द्विपद वितरण (उपयुक्त स्केलिंग के बाद) सामान्य में परिवर्तित हो जाता है क्योंकि बड़ा हो जाता है ( विकिपीडिया को फिर से देखें )। इसी तरह के विचारों को लागू करने में आपको यह दिखाने में सक्षम होना चाहिए कि बहुउद्देशीय सामान्य में वितरण के लिए एक उचित रूप से छोटा म्यूलोमियल है, जो कि प्रत्येक सीमांत वितरण सिर्फ एक द्विपद है और सामान्य वितरण में परिवर्तित होता है, और उनके बीच का विचलन ज्ञात होता है।$n$

इसलिए, मुझे पूरा विश्वास है कि आप पाएंगे कि का वितरण जीरो माध्य और कोवरिएनस साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य में परिवर्तित होता है, जहां सहसंयोजक है प्रश्न और में बहुपद का मैट्रिक्स संभावनाओं का वेक्टर है ।

$$\frac{X_n - np}{\sqrt{n}}$$ सीपी[पी१,…,पीडी $$\frac{C}{n}$$ $C$$p$$[p_1,\dots,p_d]$

Comments

लेकिन प्रश्न में बहुराष्ट्रीय का सहसंयोजक मैट्रिक्स विलक्षण है, आपने इसे स्वयं दिखाया ...

— यारोस्लाव बुलटोव

ओह, मैं आपकी समस्या देख रहा हूं! तत्वों में से एक, का कहना है कि वें पूरी तरह से दूसरों पर निर्भर है। संभवत: यदि आप अंतिम पंक्ति और कॉलम को काटते हैं तो आपको मिलेगा कि सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं, लेकिन मुझे इसके बारे में सोचना होगा। निश्चित रूप से यह कहीं न कहीं पहले से ही हल है! $d$$C$$[p_1,p_2,\dots,p_{d-1}]$

— रॉबी मैककिलियम

एक सुझाव जो मुझे मिला वह यह है कि अभी भी एक गौसियन का उपयोग करना है, लेकिन व्युत्क्रम के बजाय छद्म-व्युत्क्रम का उपयोग करें और निर्धारक के स्थान पर "गैर-शून्य eigenvalues ​​का उत्पाद"। D = 2 के लिए यह सही घनत्व रूप देता प्रतीत होता है, लेकिन सामान्यीकरण कारक बंद है

— यारोस्लाव बुलटोव

Answer 4

क्या ऐसा नहीं है किसभी के लिए जहाँ , बहु-सहसंयोजक मैट्रिक्स है, जिसके साथ -th रो और कॉलम हटाया जाता है? चूंकि यह मामला है, मुझे समझ में नहीं आता है कि "पसंद की स्वतंत्रता" से आपका क्या मतलब है क्योंकि कोई भी "पसंद" समकक्ष है।$|S_{-i}|=|S_{-j}|$$i,j$$S_{-i}$$i$

Comments

वे मैट्रीस समान नहीं हैं, यहाँ सहसंयोजक मैट्रिक्स yaroslavvb.com/upload/multinomial-covariance-matrix.png

— यारोस्लाव बुलटोव

हां, यह वास्तव में सहसंयोजक मैट्रिक्स है। गौसियन के लिए किसी भी ith कॉलम और पंक्ति परिणाम को समान सामान्यीकरण अवधि में छोड़ना मेरी बात थी। शायद मुझे कुछ स्पष्ट याद आ रहा है?

— jvdillon

आह ... निर्धारक संकेत पर ध्यान नहीं दिया। हम्म ... वे मेरे द्वारा किए गए कुछ उदाहरणों के बराबर प्रतीत होते हैं, क्या इसका कोई सरल प्रमाण है? Eigenvalues ​​हालांकि समान नहीं हैं। प्रश्न के लिए प्रेरणा यह पता लगाना था कि क्या केंद्रीय सीमा प्रमेय आपको परिमित लिए एक ही सन्निकटन त्रुटि देता है, चाहे बहुराष्ट्रीय कंपनियों की परवाह किए बिना। घटक जिसे आप छोड़ते हैं$n$

— यारोस्लाव बुलटोव

संभवतः खुद को समझाने का सबसे आसान तरीका यह है कि और प्लग इन करें जो के लिए । पी मैं$p_i=1-\sum_{j\ne i}p_j$$p_i$$S$

— jvdillon

BTW, मैं इस विचार के अपने आवेदन की तरह है - इसलिए जवाब में मेरी रुचि।

— jvdillon