वितरण में अभिसरण और संभाव्यता में अभिसरण की सहज व्याख्या

Question

वितरण में परिवर्तित होने वाले एक यादृच्छिक चर में एक यादृच्छिक चर के बीच सहज अंतर क्या है ?

मैंने कई परिभाषाएँ और गणितीय समीकरण पढ़े हैं, लेकिन यह वास्तव में मदद नहीं करता है। (कृपया ध्यान रखें, मैं अर्थमिति का अध्ययन करने वाला स्नातक छात्र हूं।)

एक यादृच्छिक चर एक एकल संख्या में कैसे परिवर्तित हो सकता है, लेकिन एक वितरण में भी परिवर्तित हो सकता है?

Comments

" एक यादृच्छिक चर एक एकल संख्या में कैसे परिवर्तित हो सकता है लेकिन वितरण में भी परिवर्तित हो सकता है ?" - मुझे लगता है कि आप यह स्पष्ट करने से लाभान्वित होंगे कि क्या आपका भ्रम यह है कि सामान्य रूप से RVs एकल संख्या या संपूर्ण वितरण में परिवर्तित हो सकते हैं (एक बार रहस्य का कम पता चलता है कि "एकल संख्या" अनिवार्य रूप से एक विशेष प्रकार का वितरण है) या क्या आपका भ्रम है कि कैसे एक एकल आर.वी. अभिसरण के एक मोड के अनुसार एक निरंतर में परिवर्तित हो सकता है, लेकिन एक और मोड के अनुसार वितरण के लिए?

— सिल्वरफिश

@CloseToC की तरह मुझे आश्चर्य है कि यदि आप उन रजिस्टरों में आ गए हैं, जहाँ एक ओर आपको बताया गया है कि "asymptotically normal" है, लेकिन दूसरी ओर आपको बताया गया है कि यह true । बीटा$\hat \beta$$\beta$

— सिल्वरफिश

@Silverfish, मैं वास्तव में नहीं है!

— 18

Answer 1

यादृच्छिक संख्या एक स्थिरांक में कैसे परिवर्तित हो सकती है?

मान लीजिए कि आपके पास बॉक्स में बॉल हैं। आप उन्हें एक-एक करके चुन सकते हैं। आपके द्वारा गेंदों को चुनने के बाद , मैं आपसे पूछता हूं: बॉक्स में गेंदों का औसत वजन क्या है? आपका सबसे अच्छा उत्तर होगा । आपको लगता है कि ही यादृच्छिक मूल्य है? यह जो पर निर्भर करता है गेंदों आप पहली बार उठाया।एन कश्मीर ˉ एक्स कश्मीर = $N$$k$कश्मीर Σ कश्मीर मैं = 1 एक्समैं ˉ एक्स कश्मीर$\bar x_k=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^kx_i$$\bar x_k$$k$

अब, यदि आप गेंदों को खींचते रहते हैं, तो कुछ बिंदु पर बॉक्स में कोई गेंद नहीं , और आपको मिलेगा ।$\bar x_N\equiv\mu$

तो, जो हमें मिला है वह यादृच्छिक अनुक्रम जो निरंतर परिवर्तित होता है । इसलिए, संभाव्यता में अभिसरण के साथ अपने मुद्दे को समझने की कुंजी यह महसूस कर रही है कि हम यादृच्छिक चर के अनुक्रम के बारे में बात कर रहे हैं , जो एक निश्चित तरीके से निर्मित है ।ˉ एक्स 1,..., ˉ एक्स कश्मीर,..., ˉ एक्स एन, ˉ एक्स एन, ˉ एक्स एन,... ˉ एक्स एन=

$$\bar x_1,\dots,\bar x_k, \dots, \bar x_N ,\bar x_N, \bar x_N, \dots$$ $\bar x_N = \mu$

इसके बाद, आइए यूनिफ़ॉर्म रैंडम नंबर , जहाँ । आइए यादृच्छिक क्रम , जहां । , एक यादृच्छिक मूल्य है, क्योंकि इसके सभी नियमों यादृच्छिक मान रहे हैं। हम भविष्यवाणी नहीं कर सकते कि क्या जा रहा है। हालांकि, यह पता चला है कि हम दावा कर सकते हैं कि की संभावना वितरण मानक सामान्य तरह अधिक से अधिक देगा । इस तरह वितरण वितरित होता है।ई 1 , ई 2 , ... ई मैं ∈ [ 0 , 1 ] ξ 1 , ξ 2 , ... ξ कश्मीर = $e_1,e_2,\dots$$e_i\in [0,1]$$\xi_1,\xi_2,\dots$√कश्मीर12 Σकश्मीरमैं=1(ईमैं-12 )ξकश्मीरξकश्मीरξकश्मीरएन(0,1$\xi_k=\frac{1}{\sqrt{\frac{k}{12}}}\sum_{i=1}^k \left(e_i- \frac{1}{2} \right)$$\xi_k$$\xi_k$$\xi_k$$\mathcal{N}(0,1)$

Comments

N तक पहुँचने के बाद आपके पहले उदाहरण में यादृच्छिक चर का क्रम क्या है? सीमा का मूल्यांकन कैसे किया जाता है?

— एकवैल २४'१५

यह सिर्फ एक अंतर्ज्ञान है। अनंत बॉक्स की कल्पना करें, इसलिए, आपका अनुमानक जनसंख्या माध्य परिवर्तित हो जाता है । ∞ x ˉ$\bar x_\infty$$\mu$

— अक्कल

Answer 2

यह स्पष्ट नहीं है कि इस प्रश्न के एक पाठक को किसी भी चीज़ के अभिसरण के बारे में कितना अंतर हो सकता है, अकेले यादृच्छिक चर दें, इसलिए मैं लिखूंगा जैसे कि उत्तर "बहुत कम" है। कुछ ऐसा जो मदद कर सकता है: यह सोचने के बजाय कि " एक यादृच्छिक चर कैसे परिवर्तित हो सकता है", यह पूछें कि यादृच्छिक चर का अनुक्रम कैसे परिवर्तित कर सकता है। दूसरे शब्दों में, यह केवल एक चर नहीं है, लेकिन एक (अनंत रूप से लंबा!) चर की सूची है, और बाद में सूची में लोगों के पास हो रहा है ... कुछ और। शायद एक ही संख्या, शायद एक संपूर्ण वितरण। एक अंतर्ज्ञान विकसित करने के लिए, हमें "करीब और करीब" का मतलब निकालने की आवश्यकता है। कारण वहाँ यादृच्छिक चर के लिए अभिसरण के कई तरीके हैं कि कई प्रकार के होते हैं "

पहले वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के अभिसरण को पुन: व्यवस्थित करते हैं। में हम उपयोग कर सकते हैं इयूक्लिडियन दूरीमापने के लिए करीब के लिए है । पर विचार करें । फिर अनुक्रम शुरू होता है और मेरा दावा है कि परिवर्तित होता है । स्पष्ट रूप से करीब हो रहा है , लेकिन यह भी सच है कि करीब हो रहा हैआर | x - y | x y x n = n + $\mathbb{R}$ $|x-y|$$x$$y$n =1+1एन एक्स1$x_n = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$x 2 ,x 3 , … 2 , $x_1, \, x_2, \, x_3, \dots$२ ,४३ ,५4 ,65 ,…xn1xn1xn0.90.50.910.90.050.9x20=1.050.0510.05$2, \frac{3}{2}, \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \frac{6}{5}, \dots$$x_n$$1$$x_n$$1$$x_n$$0.9$। उदाहरण के लिए, तीसरे शब्द के बाद, अनुक्रम में शब्द से या उससे कम की दूरी हैं । क्या मायने रखता है कि वे मनमाने ढंग से करीब हो रहे हैं , लेकिन नहीं । अनुक्रम में कोई भी शब्द कभी भी के भीतर नहीं आते हैं , अकेले रहने दें जो बाद की शर्तों के लिए करीब हैं। इसके विपरीत तो से है , और बाद की सभी शर्तें के भीतर हैं , जैसा कि नीचे दिखाया गया है।$0.5$$0.9$$1$$0.9$$0.05$$0.9$$x_{20}=1.05$$0.05$$1$$0.05$$1$

मैं सख्त हो सकता है और मांग की शर्तों को के भीतर मिलता है और रह सकता है , और इस उदाहरण में मुझे लगता है कि यह और उसके बाद के नियमों के लिए सही है । इसके अलावा मैं क्लोजनेस की कोई निश्चित सीमा चुन सकता था , कोई फर्क नहीं पड़ता कि कितना सख्त ( , यानी शब्द वास्तव में जा रहा है ), और अंततः स्थिति एक निश्चित अवधि (प्रतीकात्मक परे सभी शर्तों के लिए संतुष्ट किया जाएगा: के लिए , जहां का मूल्य कैसे सख्त एक पर निर्भर करता है0.001 1 एन = 1000 ε ε = 0 1 | x n - x | < Ε n > एन एन ε एक्स एन = 1 + पाप ( एन $0.001$$1$$N=1000$$\epsilon$$\epsilon = 0$$1$$|x_n - x| \lt \epsilon$$n \gt N$$N$$\epsilon$मैंने चुना)। अधिक परिष्कृत उदाहरणों के लिए, ध्यान दें कि मुझे पहली बार शर्त पूरी करने में कोई दिलचस्पी नहीं है - अगली शर्त शर्त का पालन नहीं कर सकती है, और यह ठीक है, इसलिए जब तक कि मैं अनुक्रम के साथ एक शब्द आगे पा सकता हूं स्थिति उत्पन्न होने पर और रहता है सब बाद में शब्दों के लिए मुलाकात की। मैं इसके लिए उदाहरण देता हूं , जो भी परिवर्तित होता है , साथ फिर से छायांकित होता है।एन 1ϵ=$x_n = 1 + \frac{\sin(n)}{n}$$1$$\epsilon=0.05$

अब और यादृच्छिक चर अनुक्रम पर विचार करें । यह , , साथ RVs का एक क्रम है । हम किस अर्थ में कह सकते हैं कि यह ही करीब है?एक्स ~ यू ( 0 , 1 ) एक्स एन = ( 1 + $X \sim U(0,1)$n )एक्सएक्स1=2एक्सएक्स2=$X_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right) X$$X_1 = 2X$2 एक्सएक्स3=$X_2 = \frac{3}{2} X$3 एक्स$X_3 = \frac{4}{3} X$$X$

चूंकि और डिस्ट्रीब्यूशन हैं, सिर्फ सिंगल नंबर नहीं, कंडीशन अब एक घटना है : एक निश्चित और यह हो सकता है या नहीं भी हो सकता है । इसे मिलने की संभावना को देखते हुए संभाव्यता में अभिसरण को जन्म देता है । के लिए हम चाहते हैं पूरक संभावना - सहज, संभावना है कि कुछ अलग है (कम से कम द्वारा ) के लिए - करने के लिए पर्याप्त रूप से बड़े के लिए, मनमाने ढंग से छोटा हो जानाएक्स एन एक्स | एक्स एन - एक्स | < Ε n ε एक्स एन पी → एक्स पी ( | एक्स एन - एक्स | ≥ ε ) एक्स एन ε एक्स एन ε पी ( | एक्स 1 - एक्स | ≥ ε ) पी ( | एक्स 2 - एक्स | ≥ ε ) पी ( | $X_n$$X$$|X_n - X| \lt \epsilon$$n$$\epsilon$$X_n \overset{p}{\to} X$$P(|X_n - X| \ge \epsilon)$$X_n$$\epsilon$$X$$n$ । निश्चित यह संभावनाओं के एक पूरे अनुक्रम को जन्म देता है , , , , और यदि संभावनाओं का यह क्रम शून्य में परिवर्तित हो जाता है (जैसा कि हमारे उदाहरण में होता है) तो हम कहते हैं कि को प्रायिकता में परिवर्तित करता है । ध्यान दें कि प्रायिकता सीमाएँ प्रायः होती हैं: उदाहरण के लिए अर्थमिति में, हम नमूना आकार बढ़ाते हुए देखते हैं । लेकिन यहाँ$\epsilon$$P(|X_1 - X| \ge \epsilon)$$P(|X_2 - X| \ge \epsilon)$3 - एक्स | ≥ ε ) ... एक्स एन एक्स PLIM ( β ) = β n PLIM ( एक्स एन ) = एक्स ~ यू ( 0 , 1 ) एक्स एन एक्स एक्स एन एक्स ε $P(|X_3 - X| \ge \epsilon)$$\dots$$X_n$$X$$\text{plim}(\hat \beta) = \beta$$n$$\text{plim}(X_n) = X \sim U(0,1)$। प्रभावी रूप से, संभाव्यता में अभिसरण का अर्थ है कि यह संभव नहीं है कि और एक विशेष अहसास पर बहुत भिन्न होंगे - और मैं और की संभावना को से अधिक होने के अलावा छोटा कर सकता हूं, जैसा कि मुझे पसंद है, इसलिए जब तक मैं एक हूं पर्याप्त रूप से बड़े ।$X_n$$X$$X_n$$X$$\epsilon$$n$

एक अलग अर्थ जिसमें करीब हो जाता है, वह यह है कि उनके वितरण अधिक से अधिक समान दिखते हैं। मैं उनके सीडीएफ की तुलना करके इसे माप सकता हूं। विशेष रूप से, कुछ , जिस पर निरंतर है (हमारे उदाहरण में इसलिए इसका CDF हर जगह जारी है और कोई भी करेगा) और मूल्यांकन करेगा X_n के अनुक्रम की वहाँ है। यह संभावनाओं का एक और अनुक्रम पैदा करता है, , , , और यह क्रम परिवर्तित हो जाता है । सीडीएफ का मूल्यांकन किया गयाएक्स एन एक्स एक्स एफ एक्स ( एक्स ) = पी ( एक्स ≤ एक्स ) एक्स ~ यू ( 0 , 1 ) एक्स एक्स एन पी ( एक्स 1 ≤ एक्स ) पी ( एक्स 2 ≤ एक्स ) पी ( एक्स 3 ≤ एक्स ) ... पी ( एक्स ≤ एक्स ) एक्स एक्स एन एक्स एक्स $X_n$$X$$x$$F_X(x) = P(X \leq x)$$X \sim U(0,1)$$x$$X_n$$P(X_1 \leq x)$$P(X_2 \leq x)$$P(X_3 \leq x)$$\dots$$P(X \leq x)$$x$ से प्रत्येक के लिए मनमाने ढंग से की CDF के करीब हो गया है पर मूल्यांकन किया जाता । यदि यह परिणाम सही है, भले ही हमने कौन सा उठाया है, तो वितरण में को परिवर्तित करता है । यह पता चला यह यहां होता है, और हम करने के लिए संभावना में अभिसरण के बाद से आश्चर्यचकित नहीं होना चाहिए के वितरण में अभिसरण का तात्पर्य । ध्यान दें कि यह मामला नहीं हो सकता है कि एक विशेष गैर-पतित वितरण की संभावना में परिवर्तित होता है, लेकिन एक निरंतर वितरण में परिवर्तित होता है।$X_n$$X$$x$$x$एक्स एन एक्स एक्स एक्स एक्स एन$X_n$$X$ $X$$X$$X_n$ (जो मूल प्रश्न में भ्रम की स्थिति थी। लेकिन बाद में स्पष्टीकरण पर ध्यान दें।)

एक अलग उदाहरण के लिए, । अब हमारे पास RVs, , , , और यह स्पष्ट है कि संभावना वितरण पर एक स्पाइक के लिए पतित है । अब पतित वितरण पर विचार करें , जिससे मेरा मतलब । यह देखना आसान है कि किसी भी , अनुक्रम शून्य में ताकि संभाव्यता में में परिवर्तित हो जाए । परिणामस्वरूप,वाई एन ∼ यू ( 1 , एन + 1n )वाई1~यू(1,2)वाई2~यू(1,$Y_n \sim U(1, \frac{n+1}{n})$$Y_1 \sim U(1,2)$2 )वाई3~यू(1,$Y_2 \sim U(1,\frac{3}{2})$3 )...y=1Y=1पी(Y=1)=1ε>0पी(|वाईएन-वाई|≥ε)वाईएनवाईवाईएनवाईएफवाई(y)वाईवाई=1yपी(Y1≤y)P(Y2≤y$Y_3 \sim U(1,\frac{4}{3})$$\dots$$y=1$$Y=1$$P(Y=1)=1$$\epsilon \gt 0$$P(|Y_n - Y| \ge \epsilon)$$Y_n$$Y$$Y_n$वितरण में को भी अभिसरण करना चाहिए , जिसे हम CDF पर विचार करके पुष्टि कर सकते हैं। चूंकि CDF की असंतत है पर हम CDFS कि मूल्य पर मूल्यांकन किया जाता पर विचार की जरूरत नहीं है, लेकिन CDFS किसी अन्य पर मूल्यांकन किया जाता के लिए हम देख सकते हैं कि अनुक्रम , , , को converges जिसके लिए शून्य है और के लिए एक । इस बार, क्योंकि आरवी के अनुक्रम एक निरंतरता के लिए संभाव्यता में परिवर्तित हो गए, यह एक निरंतर वितरण में भी परिवर्तित हो गया।$Y$$F_Y(y)$$Y$$y=1$$y$$P(Y_1 \leq y)$$P(Y_2 \leq y)$पी ( Y 3 ≤ y ) ... पी ( Y ≤ y ) y < 1 y > $P(Y_3 \leq y)$$\dots$$P(Y \leq y)$$y \lt 1$$y \gt 1$

कुछ अंतिम स्पष्टीकरण:

• हालाँकि वितरण में संभाव्यता में अभिसरण का तात्पर्य है, यह संलयन सामान्य रूप से गलत है। सिर्फ इसलिए कि दो चरों का समान वितरण होता है, इसका मतलब यह नहीं है कि उन्हें एक दूसरे के करीब होने की संभावना है। एक तुच्छ उदाहरण के लिए, और । तब और दोनों का समान वितरण होता है (प्रत्येक का 50% शून्य या एक होने का मौका) और अनुक्रम अर्थात अनुक्रम जा रहा है जो वितरण में को पूर्ण रूप से परिवर्तित करता है ( ) अनुक्रम में किसी भी स्थिति में सीडीएफ, के सीडीएफ के समान है )। लेकिन औरएक्स ~ Bernouilli ( 0.5 ) वाई = 1 - एक्स एक्स वाई एक्स एन = एक्स एक्स , एक्स , एक्स , एक्स , ... वाई वाई वाई एक्स पी ( | एक्स एन - वाई | ≥ 0.5 ) = 1 एक्स एन$X\sim\text{Bernouilli}(0.5)$$Y=1-X$$X$$Y$$X_n=X$$X,X,X,X,\dots$$Y$$Y$$Y$$X$हमेशा एक अलग होते हैं, इसलिए इसलिए शून्य पर नहीं होता है, इसलिए प्रायिकता में में परिवर्तित नहीं होता है । हालांकि, अगर किसी स्थिरांक के वितरण में अभिसरण होता है , तो इसका तात्पर्य उस स्थिरांक में संभाव्यता में अभिसरण से है (सहज रूप से, क्रम में आगे यह उस स्थिरांक से बहुत दूर होने की संभावना नहीं होगी)।$P(|X_n - Y| \ge 0.5)=1$$X_n$$Y$
• जैसा कि मेरे उदाहरण स्पष्ट करते हैं, संभाव्यता में अभिसरण एक स्थिर हो सकता है लेकिन होना नहीं है; वितरण में अभिसरण भी एक स्थिर हो सकता है। यह संभव नहीं है कि संभाव्यता को एक स्थिर में परिवर्तित किया जा सके लेकिन एक विशेष गैर-अध: पतन वितरण या इसके विपरीत वितरण में अभिसरण किया जा सके।
• आप एक उदाहरण है जहां, उदाहरण के लिए, आप एक दृश्य कहा गया था देखा है यह संभव है कन्वर्ज्ड एक और अनुक्रम ? आप महसूस नहीं कर सकते थे कि यह एक अनुक्रम था, लेकिन अगर यह एक वितरण है जो पर भी निर्भर करता है तो यह होगा । यह हो सकता है कि दोनों क्रम एक स्थिर (पतित वितरण) में परिवर्तित हों। आपके प्रश्न से पता चलता है कि आप सोच रहे हैं कि RVs का एक विशेष क्रम कैसे निरंतर और वितरण दोनों को परिवर्तित कर सकता है; मुझे आश्चर्य है कि यह ऐसा परिदृश्य है जिसका आप वर्णन कर रहे हैं।एक्स एन वाई एन$X_n$ $Y_n$$n$
• मेरी वर्तमान व्याख्या बहुत "सहज" नहीं है - मैं अंतर्ज्ञान को चित्रमय बनाने का इरादा कर रहा था, लेकिन आरवी के लिए ग्राफ को जोड़ने के लिए अभी तक समय नहीं मिला है।

Answer 3

मेरे दिमाग में, मौजूदा उत्तर सभी उपयोगी बिंदुओं को व्यक्त करते हैं, लेकिन वे अभिसरण के दो तरीकों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर स्पष्ट नहीं करते हैं।

Let , , और यादृच्छिक परिवर्तनीय हो। अंतर्ज्ञान के लिए, कल्पना करें कि को कुछ यादृच्छिक प्रयोग द्वारा उनके मूल्यों को सौंपा गया है , जो प्रत्येक लिए थोड़ा सा बदलता है , यादृच्छिक चर का एक अनंत अनुक्रम देता है, और मान लीजिए कि किसी अन्य यादृच्छिक प्रयोग द्वारा अपना मान नियत करता है।एक्स एन एन = 1 , 2 , … वाई एक्स एन एन $X_n$$n=1,2,\dots$$Y$$X_n$$n$$Y$

यदि पास है, तो हमारे पास परिभाषा है, कि और की संभावना एक-दूसरे से अलग-अलग होने से, कुछ मनमाने ढंग से छोटी राशि के रूप में शून्य तक पहुंच जाता के रूप में छोटी राशि, आपके लिए छोटी राशि के लिए पसंद। ढीले से , के अनुक्रम में बहुत दूर , हम आश्वस्त हैं कि और एक-दूसरे के बहुत करीब मान लेंगे।एक्स एन पी → वाई वाई एक्स एन एन → ∞ एक्स एन एक्स एन$X_n\overset{p}{\to}Y$$Y$$X_n$$n\to\infty$$X_n$$X_n$$Y$

दूसरी ओर, यदि हमारे पास केवल वितरण में अभिसरण और संभाव्यता में अभिसरण नहीं है, तो हम जानते हैं कि बड़े , लगभग , लगभग । ध्यान दें कि यह कुछ भी नहीं कहता है कि और के मान एक-दूसरे के कितने करीब हैं। उदाहरण के लिए, यदि , और इस प्रकार को भी बड़े लिए इस तरह से वितरित किया जाता है , तो यह सहज रूप से और के मूल्यों की संभावना प्रतीत होती हैn पी ( एक्स n ≤ एक्स ) पी ( Y ≤ एक्स ) एक्स एक्स एन वाई वाई ~ एन ( 0 , 10 10 ) एक्स एन एन एक्स एन वाई एन ( 0 , 10 10$n$$P(X_n\leq x)$$P(Y\leq x)$$x$$X_n$$Y$$Y\sim N(0, 10^{10})$$X_n$$n$$X_n$$Y$किसी भी अवलोकन में काफी भिन्नता होगी। आखिरकार, यदि वितरण में अभिसरण के अलावा उन पर कोई प्रतिबंध नहीं है, तो वे सभी व्यावहारिक कारणों से स्वतंत्र चर हो सकते हैं।$N(0,10^{10})$

(कुछ मामलों में यह और तुलना करने के लिए भी समझ में नहीं आता है , हो सकता है कि वे समान संभावना वाले स्थान पर भी परिभाषित न हों। यह एक अधिक तकनीकी नोट है, हालांकि।)एक्स एन$X_n$$Y$

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(+1) आपको अलग-अलग करने के लिए की भी आवश्यकता नहीं है - मैं इस पर अपने उत्तर में कुछ विस्तार जोड़ने जा रहा था, लेकिन लंबाई के आधार पर इसके खिलाफ फैसला किया। लेकिन मुझे लगता है कि यह एक बिंदु बनाने लायक है। $X_n$

— सिल्वरफिश

Answer 4

मुझे समझ में नहीं आता है कि एक यादृच्छिक चर एक एकल संख्या में कैसे परिवर्तित हो सकता है लेकिन वितरण में भी परिवर्तित हो सकता है?

यदि आप अर्थमिति सीख रहे हैं, तो आप शायद इस बारे में एक प्रतिगमन मॉडल के संदर्भ में सोच रहे हैं। यह एक पतित वितरण को एक स्थिरांक में परिवर्तित करता है। लेकिन कुछ और एक गैर-पतित सीमित वितरण है।

Β nβएन β एनएन$\hat{\beta}_n$ converges संभावना को यदि आवश्यक हो तो मान्यताओं मिले हैं। इसका मतलब यह है कि एक बड़े पर्याप्त नमूना आकार चयन करके , अनुमानक उतना ही करीब होगा जितना हम सच्चे पैरामीटर को चाहते हैं, इसकी संभावना के रूप में हम जितना चाहें उतना दूर हो सकते हैं। आप के हिस्टोग्राम की साजिश रचने के बारे में सोच तो विभिन्न के लिए , यह अंततः सिर्फ एक कील पर केंद्रित हो जाएगा ।$\beta$$N$$\hat{\beta}_n$$n$$\beta$

किस अर्थ में वितरण में अभिसरण करता है? यह एक स्थिरांक में भी परिवर्तित होता है। सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर में नहीं। यदि आप के विचरण की गणना करते हैं, तो क्या आप देखते हैं कि यह साथ सिकुड़ता है । तो अंततः यह बड़े पर्याप्त में शून्य पर चला जाएगा , यही कारण है कि अनुमानक एक स्थिर पर जाता है। सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए अभिसरण क्या हैΒ n β एनएन$\hat{\beta}_n$$\hat{\beta}_n$$n$$n$

√n ( β n-β)एनएन(0,σ2) β$\sqrt{n}(\hat{\beta}_n - \beta)$ । यदि आप इसका विचरण करते हैं तो आप देखेंगे कि यह साथ सिकुड़ता नहीं है (और न ही बढ़ता है) । बहुत बड़े नमूनों में, यह मानक मान्यताओं के तहत लगभग । फिर हम इस अनुमान का उपयोग उस बड़े नमूने में के वितरण को अनुमानित करने के लिए कर सकते हैं ।$n$$N(0, \sigma^2)$$\hat{\beta}_n$

लेकिन आप सही हैं कि का वितरण भी एक स्थिर है।$\hat{\beta}_n$

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के रूप में "को देखकर इस पर देखो एक आवर्धक कांच के साथ", आवर्धन के साथ वृद्धि के साथ दर पर । ^ Β एन एन$\hat{\beta_n}$$n$$\sqrt{n}$

— kjetil b halvorsen

Answer 5

मुझे कुछ बहुत ही सरल उदाहरणों का उपयोग करते हुए, एक बहुत ही संक्षिप्त उत्तर देने की कोशिश करते हैं।

वितरण में परिवर्तन

चलो , सभी n के लिए, तो converges के लिए वितरण में। हालांकि, की प्राप्ति में समय के साथ नहीं बदलती है। अगर हमें के मूल्य की भविष्यवाणी , तो हमारी त्रुटि की उम्मीद समय के साथ नहीं बदलती है।एक्स एन ∼ एन ( 1)एन ,1)एक्सएनएक्स∼एन(0,1)एक्सएनएक्स$X_n \sim N\left(\frac{1}{n}, 1 \right)$$X_n$$X \sim N(0, 1)$$X_n$$X_n$

संभाव्यता में परिवर्तन

अब, यादृच्छिक वैरिएबल पर विचार करें जो कि संभावना साथ मान लेता है और अन्यथा। जैसा कि अनंत तक जाता है, हम अधिक से अधिक निश्चित हैं कि बराबर होगा । इसलिए, हम कहते हैं कि में संभाव्यता में होता है । ध्यान दें कि इसका अर्थ यह भी है कि वितरण में में परिवर्तित हो जाता है ।वाई एन 0 1 - $Y_n$$0$n 1nYn0Yn0Yn$1-\frac{1}{n}$$1$$n$$Y_n$$0$$Y_n$$0$$Y_n$$0$