पूर्व-निर्दिष्ट स्पार्सिटी पैटर्न के साथ सममित सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स उत्पन्न करें

मैं एक पूर्व-निर्दिष्ट स्पार्सिटी संरचना ( नोड्स पर एक ग्राफ द्वारा निर्दिष्ट) के साथ सहसंबंध मैट्रिक्स (सममित psd) उत्पन्न करने की कोशिश कर रहा हूं । ग्राफ़ में जो नोड्स जुड़े हुए हैं, उनमें सहसंबंध , बाकी सभी 0 हैं और विकर्ण सभी 1 है। $p\times p$ $p$ $\rho \sim U(0,1)$

मैंने कई बार इस मैट्रिक्स को बनाने की कोशिश की है लेकिन केवल शायद ही कभी एक वैध सहसंबंध मैट्रिक्स मिलता है।

वहाँ एक रास्ता है कि मैं एक सहसंबंध मैट्रिक्स whp आश्वासन दे सकता हूँ? ध्यान दें कि मैं केवल सकारात्मक सहसंबंध रख सकता हूं इसलिए आदि एक विकल्प नहीं है। $\rho \sim U(-1,1)$

कोई भी मदद बहुत ही सराहनीय होगी!

— ब्लेड रनर
स्रोत

शायद R में पैकेज मैट्रिक्स के निकट फ़ंक्शन मदद कर सकता है।

— niandra82

आप के लिए तय की गई विरलता का आपका माप क्या है? क्या आपका डेटा बाइनरी या नॉनगेटिव होना चाहिए?

— ttnphns

@ niandra82: nearPD अच्छा नहीं है क्योंकि यह मैट्रिक्स की विरलता को नष्ट कर देगा।

— ब्लेड रनर

सामान्य तौर पर इस प्रश्न में वर्णित कोई मैट्रिक्स वितरण नहीं हैं। उदाहरण के लिए, तीन गुणांक साथ मामले । यदि और , तो यदि और केवल यदि मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित है। लेकिन फिर आपके पास और दोनों नहीं हो सकते ।

3 \times 3

$3\times 3$

ρ, σ, τ

$\rho,\sigma,\tau$

τ = 0

$\tau=0$

ρ > 0, σ > 0

$\rho\gt 0, \sigma\gt 0$

ρ^{2} + σ^{2} < 1

$\rho^2+\sigma^2\lt 1$

ρ \sim U (0, 1)

$\rho\sim U(0,1)$

σ \sim U (0, 1)

$\sigma\sim U(0,1)$

— whuber

फिर पहले सहसंबंध मैट्रिक्स क्यों नहीं बनाया गया। फिर उस मैट्रिक्स के लिए एक सिमिट्रिक इंडेक्स बनाएं जहां आप इंडेक्स किए गए तत्वों को 0. के लिए बाध्य करते हैं। स्पार्सिटी को इंडेक्स के आकार द्वारा निर्दिष्ट किया जाएगा और आप आर जैसे नमूने में एक फ़ंक्शन के माध्यम से असभ्यता को अनियंत्रित कर सकते हैं। कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कितने विकर्ण तत्वों को 0 पर मजबूर करते हैं, matix अभी भी pd होगा

— Zachary Blumenfeld

जवाबों:

बंद करें लेकिन @Rodrigo de Azevedo के लिए कोई सिगार नहीं।

समाधान अधिकतम मान, , और न्यूनतम मान (nonnegative होने के अधीन), , of का पता लगाने के लिए semidefinite प्रोग्रामिंग का उपयोग करने के लिए है ताकि निर्धारित स्पार्सिटी पैटर्न का सहसंबंध मैट्रिक्स सकारात्मक हो। semidefinite (psd)। सभी मान जैसे कि , psd matrices (पाठक के लिए व्यायाम) का उत्पादन करेंगे $\rho_{max}$ $\rho_{min}$ $\rho$ $\rho$ $\rho_{max}\le \rho \le \rho_{max}$

इसलिए, आपको या तो का वितरण चुनना होगा जो केवल में मान ले सकता है , या आपको स्वीकृति / अस्वीकृति का उपयोग करना चाहिए और किसी भी उत्पन्न मूल्यों को अस्वीकार करना चाहिए जो उत्पादन नहीं करते हैं एक psd मैट्रिक्स। $\rho$ $[\rho_{max},\rho_{max}]$ $\rho$

MATLAB के तहत YALMIP का उपयोग करके 4 से 4 मैट्रिक्स के लिए उदाहरण

sdpvar rho % declare rho to be a scalar variable
% find maximum value of rho (by minimizing -rho) subject to prescribed matrix being psd.
optimize([1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,-rho) 
% find minimum value of rho subject to prescribed matrix being psd and rho being >= 0.
optimize([[1 0 rho 0;0 1 rho 0;rho rho 1 rho;0 0 rho 1] >= 0,rho >= 0],rho)

परिणाम: अधिकतम rho = 0.57735, न्यूनतम rho = 0. यह आसानी से स्पष्ट है कि rho के न्यूनतम मूल्य होगा rho के लिए कोई नहीं होने के नाते और निर्धारित मैट्रिक्स psd, आयाम या स्पार्सिटी पैटर्न की परवाह किए बिना। इसलिए, के न्यूनतम nonnegative मान को खोजने के लिए semidefinite ऑप्टिमाइज़ेशन चलाना अनावश्यक है । $\rho$

— मार्क एल। स्टोन
स्रोत

यह प्रश्न की एक दिलचस्प व्याख्या है: यह मानता है कि सभी गैर-अक्षीय विकर्ण गुणांक समान हैं (जिससे समस्या को सरल रूप से सरल किया जा सकता है)। यह स्पष्ट नहीं है कि यह इच्छित व्याख्या थी, या क्या सभी गैर-अक्षीय विकर्ण गुणांक एक समान वितरण से स्वतंत्र अहसास होना चाहिए ।

— whuber

यही व्याख्या मैंने की है। अब जब आप इसका उल्लेख करते हैं, तो मैं एक अलग व्याख्या को संभव होते हुए देख सकता था। कम से कम मेरी व्याख्या में एक काफी अच्छी तरह से परिभाषित समस्या के परिणामस्वरूप है। मुझे लगता है कि एक समस्या तैयार की जा सकती है, जिसके समाधान पर मैंने शोध नहीं किया है, ρ का अधिकतम मूल्य ज्ञात करने के लिए, ताकि सहसंबंध मैट्रिक्स के एक त्रिभुज के सभी गैर-शून्य ऑफ-विकर्ण तत्वों को अनिवार्य रूप से न के बराबर गैर-भावुक मानों से भरा जा सके। उस मूल्य, और जरूरी पूरी तरह से आबादी मैट्रिक्स psd हो।

— मार्क एल। स्टोन

एक सहसंबंध मैट्रिक्स सममित, सकारात्मक अर्धविराम और है $1$ इसके मुख्य विकर्ण पर है। एक एक मिल सकता है $n \times n$ सहसंयोजन मैट्रिक्स निम्नलिखित अर्ध-निर्धारित कार्यक्रम (एसडीपी) को हल करके जहां उद्देश्य फ़ंक्शन मनमाना है, कहते हैं, शून्य फ़ंक्शन

\begin{array}{ll} छोटा करना & ⟨ {हे}_{n}, एक्स ⟩ \\ का विषय है & {एक्स}_{1 1} = {एक्स}_{22} = \dots = {एक्स}_{n n} = 1 \\ एक्स ⪰ {हे}_{n} \end{array}

$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$

यदि किसी के पास अतिरिक्त बाधाएं हैं, जैसे कि स्पार्सिटी बाधाएं

{एक्स}_{मैं जे} = 0 सबके लिए (मैं, जे) \in जेड \subset [n] \times [n]

$x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]$

और गैर-नकारात्मकता बाधाओं, $\mathrm X \geq \mathrm O_n$ , तो एक निम्नलिखित एसडीपी को हल करता है

\begin{array}{ll} छोटा करना & ⟨ {हे}_{n}, एक्स ⟩ \\ का विषय है & {एक्स}_{1 1} = {एक्स}_{22} = \dots = {एक्स}_{n n} = 1 \\ {एक्स}_{मैं जे} = 0 सबके लिए (मैं, जे) \in जेड \subset [n] \times [n] \\ एक्स \geq {हे}_{n} \\ एक्स ⪰ {हे}_{n} \end{array}

$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \mathrm \langle \mathrm O_n, \mathrm X \rangle\\ \text{subject to} & x_{11} = x_{22} = \cdots = x_{nn} = 1\\ & x_{ij} = 0 \text{ for all } (i,j) \in \mathcal Z \subset [n] \times [n]\\ & \mathrm X \geq \mathrm O_n\\ & \mathrm X \succeq \mathrm O_n\end{array}$

ए $3 \times 3$ उदाहरण

मान लीजिए हम चाहते हैं $x_{13} = 0$ तथा $x_{12}, x_{23} \geq 0$ । यहां MATLAB + CVX स्क्रिप्ट है,

cvx_begin sdp

    variable X(3,3) symmetric

    minimize( trace(zeros(3,3)*X) )
    subject to

        % put ones on the main diagonal
        X(1,1)==1
        X(2,2)==1
        X(3,3)==1

        % put a zero in the northeast and southwest corners
        X(1,3)==0

        % impose nonnegativity
        X(1,2)>=0
        X(2,3)>=0

        % impose positive semidefiniteness
        X >= 0

cvx_end

स्क्रिप्ट चल रही है,

Calling sedumi: 8 variables, 6 equality constraints
------------------------------------------------------------
SeDuMi 1.21 by AdvOL, 2005-2008 and Jos F. Sturm, 1998-2003.
Alg = 2: xz-corrector, Adaptive Step-Differentiation, theta = 0.250, beta = 0.500
eqs m = 6, order n = 6, dim = 12, blocks = 2
nnz(A) = 8 + 0, nnz(ADA) = 36, nnz(L) = 21
 it :     b*y       gap    delta  rate   t/tP*  t/tD*   feas cg cg  prec
  0 :            3.00E+000 0.000
  1 : -1.18E-001 6.45E-001 0.000 0.2150 0.9000 0.9000   1.86  1  1  1.2E+000
  2 : -6.89E-004 2.25E-002 0.000 0.0349 0.9900 0.9900   1.52  1  1  3.5E-001
  3 : -6.48E-009 9.72E-007 0.097 0.0000 1.0000 1.0000   1.01  1  1  3.8E-006
  4 : -3.05E-010 2.15E-009 0.000 0.0022 0.9990 0.9990   1.00  1  1  1.5E-007
  5 : -2.93E-016 5.06E-015 0.000 0.0000 1.0000 1.0000   1.00  1  1  3.2E-013

iter seconds digits       c*x               b*y
  5      0.3   5.8  0.0000000000e+000 -2.9302886987e-016
|Ax-b| =  1.7e-015, [Ay-c]_+ =  6.1E-016, |x|= 2.0e+000, |y|= 1.5e-015

Detailed timing (sec)
   Pre          IPM          Post
1.563E-001    2.500E-001    1.094E-001    
Max-norms: ||b||=1, ||c|| = 0,
Cholesky |add|=0, |skip| = 0, ||L.L|| = 1.
------------------------------------------------------------
Status: Solved
Optimal value (cvx_optval): +0

आइए देखें कि सीवीएक्स का क्या समाधान मिला,

>> X

X =

    1.0000    0.4143         0
    0.4143    1.0000    0.4143
         0    0.4143    1.0000

क्या यह मैट्रिक्स सकारात्मक अर्धचालक है? सकारात्मक रूप से निश्चित?

>> rank(X)

ans =

     3

>> eigs(X)

ans =

    1.5860
    1.0000
    0.4140

यह आशा के अनुरूप सकारात्मक निश्चित है। हम नॉनजेरो (लीनियर) ऑब्जेक्टिव फंक्शन को चुनकर पॉजिटिव सेमीडायरेक्ट कॉर्लेशन मैट्रिसेस पा सकते हैं।

— रोड्रिगो डी अजेवेडो
स्रोत

क्योंकि इस साइट पर "जनरेट" का अर्थ "यादृच्छिक वितरण से आकर्षित करना" समझा जाएगा, क्या आप बता सकते हैं कि आपका कोड यादृच्छिक सहसंबंध मैट्रीक कैसे बनाता है और इंगित करता है कि वे किस वितरण का पालन करते हैं?

— whuber

@whuber ओपी असंभव के लिए पूछ रहा है। आपने 1 जनवरी 2015 को उस पर टिप्पणी की थी। यदि आप यादृच्छिक सहसंबंध मैट्रिक्स उत्पन्न करना चाहते हैं, तो एक यादृच्छिक वर्ग मैट्रिक्स उत्पन्न करें और उपर्युक्त semidefinite कार्यक्रम में इसका उपयोग करें। या, किसी रैंडम वैरिएबल के अहसास को उत्पन्न करता है जो क्यूब पर एकसमान होता है

[- 1, 1]^{(\binom{n}{2})}

$[-1,1]^{\binom{n}{2}}$ उन्हें (सहसंबंध) मेट्रिक्स के ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियों में डाल दिया

1

$1$ मुख्य विकर्ण पर है, और उन लोगों को त्यागें जो सकारात्मक नहीं हैं। अगर वहाँ nonnegativity बाधाएं हैं, तो समान रूप से क्यूब का नमूना लें

[0, 1]^{(\binom{n}{2})}

$[0,1]^{\binom{n}{2}}$

— रॉड्रिगो डे अजेवेदो

@whuber यहाँ 3 डी दीर्घवृत्त [png] है, जो के सेट पर मैप करता है

3 \times 3

$3 \times 3$ सहसंबंध परिपक्वता। ओपी चाहता है कि नॉनऑगेटिव ऑक्टेंट के साथ इलिप्टोप्स को काटें, फिर फॉर्म के विमानों के साथ इसे इंटरसेप्ट करें

x_{i j} = 0

$x_{ij} = 0$ । यदि मैट्रिक्स है

≻ 0

$\succ 0$ , तो यह दीर्घवृत्त के आंतरिक भाग में होना चाहिए । गैर- जाल उद्देश्य कार्यों के साथ एसडीपी का उपयोग करके, कोई दीर्घवृत्त की सतह का नमूना ले सकता है । जैसा कि दीर्घवृत्त उत्तल होता है, सतह बिंदुओं के उत्तल संयोजन भी सहसंबंधी मैट्रिसेस के मानचित्र होंगे।

— रॉड्रिगो डी अजेवेडो

यह स्थिति का वर्णन करने का एक शानदार तरीका है।

— whuber

आप इस बारे में सही हैं कि रिश्तेदार वॉल्यूम कैसे सिकुड़ते हैं। यही कारण है कि यह एक कठिन समस्या है।

— whuber