पर्याप्तता या अपर्याप्तता

Question

एक यादृच्छिक नमूने पर विचार करें $\{X_1,X_2,X_3\}$ कहाँ पे $X_i$ ईद हैं $Bernoulli(p)$ यादृच्छिक चर जहां $p\in(0,1)$। अगर जांच $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ के लिए एक पर्याप्त आँकड़ा है $p$।

सबसे पहले, हम वितरण को कैसे पा सकते हैं $(X_1+2X_2+X_3)$? या इसे तोड़ दिया जाना चाहिए$X_1+X_2+X_2+X_3$ और फिर इस का पालन करेंगे $Bin(4,p)$? मुझे लगता है कि नहीं क्योंकि सभी चर यहाँ स्वतंत्र नहीं हैं ध्यान दें।

वैकल्पिक रूप से, अगर मैं संयुक्त pmf के विचार से कारक स्थिति को नियोजित करता हूं $(X_1,X_2,X_3)$ फिर $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ कहाँ पे $t(x)=x_1+2x_2+x_3$।

यह दर्शाता है कि $T$ काफी नहीं है।

लेकिन क्या होगा अगर मैं परिभाषा का पालन करना चाहता हूं और आवेदन करना चाहता हूं $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ यह जाँचने के लिए कि क्या यह अनुपात स्वतंत्र है $p$? फिर मुझे इसके वितरण की जानकारी होनी चाहिए$g$। फिर क्या है, का वितरण है$T(X)=X_1+2X_2+X_3$?

Comments

संकेत: आपको इसका पूर्ण वितरण जानने की आवश्यकता नहीं है $T(X)$। उदाहरण के लिए, मामले पर विचार करें$T(X)=2$: सशर्त संभाव्यता वितरण क्या है $(X|T(X)=2)$?

— व्हिबर

अगर $T(X)=2$ फिर $(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$। इसलिए$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$ जो पर निर्भर है $p$, सही बात?

— लैंडन कार्टर

यह सही विचार है - लेकिन मैं यह नहीं देखता कि आप दो संभावनाओं को क्यों जोड़ रहे हैं। नहीं है$X$एक वेक्टर ? (यदि आप चाहें, तो आप पूर्ण वितरण को खोजने के लिए उसी तरह की गणना का उपयोग कर सकते हैं$T(X)$ (यह केवल मूल्यों को प्राप्त कर सकता है $0,1,2,3,4$), लेकिन यह नहीं रह गया है आवश्यक है, यह है))?

— whuber

हाँ सही। धन्यवाद! इसलिए एक बार जब हम दिखाते हैं कि यह अनुपात स्वतंत्र नहीं है$p$कम से कम एक बार नमूने के लिए, फिर हम कर रहे हैं! धन्यवाद। और खुश नई साल :)

— लैंडन कार्टर

हाँ $X$ एक वेक्टर है, लेकिन अधिक महत्वपूर्ण बात $X=(X_1,X_2,X_3)$ और संभावना $P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$। अगर मैं गलत हूं कृपया मुझे सही।

— लैंडन कार्टर

Answer 1

मेरे पास "व्हीबर" के साथ एक चर्चा थी और शायद मुझे कोई नमूना बिंदु देखने के लिए एक (सही?) संकेत मिला: मूल्यांकन $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ उस नमूने बिंदु पर $x$ और जांचें कि क्या यह अनुपात इस मामले में पैरामीटर से स्वतंत्र है $p$।

तो ले लो $x=(1,0,1)$ फिर $T(1,0,1)=2$। इसलिए हम मूल्यांकन करते हैं$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$।अभी,

$$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$$ Iid संपत्ति के कारण, $$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$$ भी $$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$$

इसलिये

$$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$$ जो स्पष्ट रूप से निर्भर है $p$, और इसीलिए $T$ पर्याप्त आँकड़ा नहीं है।