स्वतंत्र वितरण का अनुपात सामान्य वितरण क्या देता है?

Question

दो स्वतंत्र सामान्य वितरणों का अनुपात कैची वितरण देता है। टी-वितरण एक सामान्य वितरण है जिसे एक स्वतंत्र ची-स्क्वर्ट वितरण द्वारा विभाजित किया गया है। दो स्वतंत्र ची-चुकता वितरण का अनुपात एफ-वितरण देता है।

मैं स्वतंत्र निरंतर वितरणों के अनुपात की तलाश कर रहा हूं जो सामान्य रूप से वितरित माध्य और विचरण साथ यादृच्छिक चर देता है ?σ $\mu$$\sigma^2$

संभव जवाबों का एक अनंत सेट है। क्या आप मुझे इनमें से कुछ संभावित उत्तर दे सकते हैं? मैं विशेष रूप से सराहना करूंगा यदि दो स्वतंत्र वितरणों की गणना की जाती है जो अनुपात समान हैं या कम से कम समान रूप से भिन्न होते हैं।

Comments

जबकि अनुपात विघटन पर विकिपीडिया लेख उस मामले के उदाहरण प्रदान नहीं करता है जिसके लिए आप चाहते हैं, यह एक दिलचस्प रीड है।

— अवराम

एक विशेष मामला $X$ एक मानक सामान्य है, और $Y$ स्वतंत्र रूप से $\pm1$ प्रत्येक के साथ प्रायिकता $\frac12$ , तो $X$ , $Y$ और $\frac{X}{Y}$ का एक ही मतलब और भिन्नता है और $\frac{X}{Y}$ है। सामान्य रुप से वितरित।

— हेनरी

" दो स्वतंत्र ची-चुकता वितरण का अनुपात एफ-वितरण देता है " --- ठीक है, काफी नहीं। यह बीटा-प्राइम वितरण देता है। F पाने के लिए आपको प्रत्येक ch-square को उसके df द्वारा स्केल करना होगा।

— Glen_b -Reinstate Monica

बहुत सी चीजें मुझे इस बात से आश्वस्त नहीं करती हैं कि आपकी सभी शर्तों को पूरा करना जरूरी है।

— Glen_b -Reinstate Monica

उदाहरण के रूप में सामान्य चर विधि (उदाहरण के लिए बॉक्स-मुलर) की पीढ़ी को लेना (जो मंडली विधि का उपयोग करता है) मैं कहूंगा कि समान वितरण के कोई अनुपात नहीं हैं जो एक सामान्य वितरण देते हैं (समान वितरण के लिए कहा जाता है)

— निकोस /

Answer 1

बता दें कि जहां का मतलब और साथ समान संभावना वाला एक समान वितरण है। आज्ञा दें जहां । मान लें परस्पर स्वतंत्र हैं, तो और से स्वतंत्र है । इसलिए हमारे पास है ई2σ2जेड=±1Y2=1/$Y_1 = Z \sqrt{E}$$E$$2 \sigma^2$$Z = \pm 1$ बी~बीटा(0.5,0.5)(जेड,ई,बी)वाई1Y2Y1/वाई2~सामान्य(0,σ2$Y_2 = 1 / \sqrt{B}$$B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$$(Z, E, B)$$Y_1$$Y_2$$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

1. Y $Y_1$ के स्वतंत्र ;$Y_2$
2. दोनों निरंतर; ऐसा है कि
3. $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$ ।

मुझे पता नहीं चला है कि कैसे एक । यह देखना मुश्किल है कि यह कैसे करना है क्योंकि समस्या और को खोजने के लिए कम हो जाती है जो स्वतंत्र हैं जैसे कि जो काफी है स्वतंत्र और लिए बनाने से थोड़ा कठिन है ।एक बी ए - बी $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$$A$$B$एक/बी~सामान्य(0,1)एक

$$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$$ $A/B \sim \text{Normal}(0,1)$$A$$B$

Comments

अगर यह सच है, यह भयानक है।

— नील जी

@ नील ये सच है; मेरे बीटा और घातीय का उत्पाद आकार 1/2 के साथ एक गामा है (क्योंकि आप बीटा का निर्माण कैसे कर सकते हैं और गामा का उपयोग करके एक स्वतंत्र गामा है)। फिर उस का वर्गमूल इस तथ्य का उपयोग करके आधा-सामान्य है कि एक सामान्य का वर्ग ची-वर्ग है।

— पुरुष

हमारे पास हाल ही में एक प्रश्न था जो दो चर के एक उत्पाद के लिए पूछ रहा है जो सामान्य रूप से वितरित है (मैं इसे वापस नहीं पा सकता हूं)। उस प्रश्न में बॉक्स-मुलर परिवर्तन से संबंधित एक टिप्पणी या उत्तर था जो दो परिवर्तित वर्दी वितरित चर के उत्पाद से एक सामान्य वितरण (या अधिक सटीक रूप से एक द्विभाजित सामान्य वितरण) की गणना करता है । यह उत्तर उससे बहुत संबंधित है, लेकिन बॉक्स-मुलर रूपांतरण में उन चर में से एक का उलटा लेता है। cc: @kjetilbhalvorsen

— Sextus Empiricus

Answer 2

मैं विशेष रूप से सराहना करूंगा यदि दो स्वतंत्र वितरणों की गणना की जाती है जो समान हैं 

नहीं है कोई संभावना है कि एक सामान्य चर के साथ दो स्वतंत्र चर का एक अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है एक ही वितरण या वितरण परिवार (जैसे एफ वितरण जो दो के अनुपात बढ़ाया है के रूप में $\chi^2$ वितरित चर या कॉची-वितरण है जो शून्य माध्य के साथ दो सामान्य वितरित चर का अनुपात)।

• मान लीजिए कि: किसी भी के लिए $A, B \sim F$ जहां $F$ एक ही वितरण या वितरण परिवार हमारे पास है

  $$X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• हमें $A$ और $B$ को भी बदलने में सक्षम होना चाहिए (यदि समान वितरण या वितरण परिवार के साथ एक सामान्य चर को दो स्वतंत्र चर के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है तो आदेश उलटा हो सकता है)

  $$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• लेकिन अगर $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ तो $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ सच (एक सामान्य वितरित चर का उल्टा होता है नहीं किया जा सकता नहीं एक और सामान्य वितरित चर)।

---

व्यापक निष्कर्ष: यदि किसी वितरण परिवार $\mathcal{F}_X$ में चर दूसरे वितरण परिवार $\mathcal{F}_Y$ में चर के अनुपात के रूप में लिखे जा सकते हैं, तो यह होना चाहिए कि परिवार $\mathcal{F}_X$ पारस्परिक (यानी किसी भी चर के लिए जिसका वितरण में है के तहत बंद कर दिया गया है। $\mathcal{F}_X$ यह पारस्परिक का वितरण भी किया जाएगा $\mathcal{F}_X$ )।

उदाहरण के लिए एक कॉची वितरित चर का व्युत्क्रम भी कॉची वितरित है। F- डिस्ट्रीब्यूटेड वैरिएबल का व्युत्क्रम F-वितरित भी है।

• यह This इफ ’यदि 'इफ’ नहीं है, तो उच्चारण सत्य नहीं है। जब $X$ और $1/X$ समान वितरण परिवार में होते हैं, तो समान वितरण परिवार से नामांकित और हर के साथ अनुपात वितरण के रूप में लिखा जाना हमेशा संभव नहीं हो सकता है।

  Counterexample: हम वितरण परिवारों की कल्पना कर सकते हैं जिनके लिए परिवार में किसी भी $X$ लिए एक ही परिवार में $1/X$ है, लेकिन हमारे पास $P(X=1)=0$ । यह इस तथ्य के साथ का खंडन किया जाता है कि जहां हर और नामजद करने ही वितरण हम होना आवश्यक है एक अनुपात में वितरण के लिए $P(X=1) \neq 0$ (और कुछ इसी तरह लाइन एक्स / Y साथ अभिन्न की तरह निरंतर वितरण के लिए व्यक्त किया जा सकता एक्स के एक स्कैल्पलॉट में = 1, वाई में कुछ गैर शून्य घनत्व है जब एक्स और वाई का समान वितरण होता है और स्वतंत्र होता है)।

Comments

इसे न देखें। मुझे लगता है कि सिर्फ इसलिए कि और बी / सी सामान्य हैं जो ए / डी नहीं बनाते हैं$A/D$$B/C$ सामान्य। $\frac{A/D}{B/C}$

— कार्ल

मुझे समझ में नहीं आता कि दूसरा कथन पहले से कैसे अनुसरण करता है। यदि कुछ मौजूद हैं , तो उनका भागफल सामान्य है, तो यह क्यों पालन करता है कि अन्य क्रम में उनका भागफल भी सामान्य होना चाहिए? सवाल वितरण परिवार के लिए ऐसा नहीं पूछा गया है कि तत्वों के सभी जोड़े के भागफल सामान्य है। $A, B$

— नील जी

मुझे समझ नहीं आ रहा है कि आप क्या कह रहे हैं। आदर्श रूप से, आपका उत्तर किसी को संपादन पढ़ने की आवश्यकता के बिना एक सुसंगत तर्क होगा। अभी, ऐसा लगता है कि आपका दूसरा कथन ("हमारे पास भी होना चाहिए") पहले से अनुसरण नहीं करता है।

— नील जी

@kjetilbhalvorsen को संशोधित करने की आवश्यकता कैसे है? मैंने उस प्रश्न के भाग का उत्तर दिया है जो निर्दिष्ट करता है "मैं विशेष रूप से सराहना करूंगा यदि दो स्वतंत्र वितरण जो अनुपात की गणना समान हैं" । मैं यह नहीं देखता कि आदमी द्वारा इसका उत्तर कैसे दिया जाता है।

— सेक्सटस एम्पिरिकस

+1: सीधा, स्पष्ट, सुरुचिपूर्ण और व्यावहारिक।

— whuber

Answer 3

खैर, यहाँ एक है, लेकिन मैं इसे साबित नहीं करूंगा, केवल इसे अनुकरण में दिखाऊंगा।

दो बड़े आकार के मापदंडों के साथ दो बीटा वितरण करें (यहां, n = 40 , 000 ), उनमें से एक के x -values से 1/2 घटाएं और इसे "अंश" कहें। यह हमें एक पीडीएफ देता है जिसकी अधिकतम सीमा ( - $\text{Beta}(200,200)$$n=40,000$$x$, लेकिन क्योंकि आकार पैरामीटर इतने बड़े हैं, हम कभी भी रेंज के अधिकतम मूल्यों तक नहीं पहुंच पाते हैं। यहाँ एकn=40,000"अंश" का हिस्टोग्राम है$\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$$n=40,000$

अगला, हम दूसरे बीटा वितरण को "हर" कहते हैं, बिना कुछ घटाए, इसलिए इसमें की सामान्य बीटा वितरण सीमा होती है और उनमें से एक ऐसा दिखता है$(0,1)$

फिर से, क्योंकि आकार इतने बड़े हैं, हम मूल्यों के साथ अधिकतम सीमा तक नहीं पहुंचते हैं। अगला हम भागफल अंश को साजिश करते हैंसुपरिंपोज्ड सामान्य वितरण के साथ पीडीएफ के रूप में हर ।$\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

अब इस मामले में सामान्य वितरण परिणाम है और परीक्षण सामान्य के लिए है कि इस तरह देखो$\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$$

दूसरे शब्दों में, हम यह साबित नहीं कर सकते कि ऐसा करने के लिए अनुपात बहुत सामान्य नहीं है।

अब क्यों? मेरी ओर से अंतर्ज्ञान, जिसकी मुझे अति आवश्यकता है। सबूत के लिए छोड़ दिया पाठक, अगर कोई मौजूद है (शायद क्षणों की विधि की सीमा के माध्यम से, लेकिन फिर से बस अंतर्ज्ञान है)।

संकेत: यदि मैं हर में केवल और बीटा ( 20 , 20 ) - 1 का उपयोग करता हूं$\text{Beta}(20,20)$ अंश में और मैं छात्र मिलटीके साथμ→-.००,०२,५१,२०८,σ→.१,५७,६६५,df→$\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$$t$$\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

$$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$$t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$$

Comments

आप स्पष्ट रूप से एक सामान्य वितरण के बहुत करीब हैं। हालाँकि, यह सामान्य वितरण के रूप में सभी समान चीज़ों में नहीं है, और मुझे विश्वास नहीं है कि समान मापदंडों के साथ एक साधारण सममित बीटा में केंद्रित सममित बीटा का अनुपात वास्तव में सामान्य होना है। मैं हालांकि इस बारे में गलत होने में बहुत दिलचस्पी लूंगा।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

आपका समाधान निश्चित रूप से सामान्य नहीं है। आप इस दृष्टिकोण को सामान्य कर सकते हैं: किसी भी वितरण को लें जो लगभग सामान्य है और इसे वितरण द्वारा इसकी संभावना के साथ विभाजित करें जो एक गैर-अक्षीय संख्या के पास केंद्रित है। परिणाम (स्पष्ट रूप से) सामान्य के करीब होगा - लेकिन यह अभी भी सामान्य नहीं होगा। परीक्षणों का एक गुच्छा लागू करना असंबद्ध है क्योंकि यह सब दिखाता है कि आपने गैर-सामान्यता को प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त बड़े नमूने उत्पन्न नहीं किए हैं।

— whuber

$10^8$

मुझे इस मामले के दिल में जाने दो, फिर: (1) सामान्यता को भंग करना अभिन्न सन्निकटन में एक सरल व्यायाम है - यहाँ विवरण देने की आवश्यकता नहीं है। आप, उदाहरण के लिए , आसानी से साबित कर सकते हैं कि 200 वाँ क्षण अनंत है। (2) आपका उत्तर नमूनों के साथ वितरण को भ्रमित करता है । यह मूलभूत भ्रम है, जिस पर मुझे आपत्ति है; यही कारण है कि मुझे लगता है कि यह उत्तर सहायक की तुलना में अधिक भ्रामक है। BTW, मैंने अपनी पिछली टिप्पणी हल्के से नहीं लिखी: मैंने वह परीक्षण किया। मैंने इसे सुपर कंप्यूटर के साथ नहीं किया, बल्कि एक दशक पुराने पीसी वर्कस्टेशन के साथ, और पूरी प्रक्रिया में सिर्फ कुछ सेकंड लगे।

— whuber

@whuber मुझे एक अंतिम बिंदु बनाते हैं। मैंने यहां रुचि को प्रोत्साहित करने के लिए उत्तर दिया, जो मैंने किया है। मेरी रुचि के बिना, यह वार्तालाप, जो 2014 से निष्क्रिय था, अभी भी अनुत्तरित होगा। मैं अपनी भूमिका को उत्तेजक के रूप में देखता हूं, न कि बहुवचन के रूप में या पानी पर चलते हुए।

— कार्ल

Answer 4

$X_1^G,X_2^G$$X^C_{\gamma}$

$$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$$\gamma$

$$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$$

$\mu$$\mu$$\sigma$$\gamma\rightarrow1/\gamma$

Comments

कृपया अपनी परिकल्पना का परीक्षण करें, या तो अनुपात की स्पष्ट गणना या सिमुलेशन के माध्यम से। या तो यह दिखाएगा कि आपका दावा गलत है। त्रुटि यह मानने में निहित है कि वितरण अनुपात को अंश के लिए "हल" करने के लिए "रद्द" किया जा सकता है।

— whuber

$X_2^G$