दो * सहसंबद्ध * सामान्य चर का उदाहरण जिसका योग सामान्य नहीं है

Question

मैं सहसंबद्ध यादृच्छिक चर के जोड़े के कुछ अच्छे उदाहरणों से अवगत हूं जो कि सामान्य रूप से सामान्य हैं लेकिन संयुक्त रूप से सामान्य नहीं हैं। देखें इस जवाब से दिलीप Sarwate , और यह एक द्वारा कार्डिनल ।

मैं दो सामान्य यादृच्छिक चर के उदाहरण से भी अवगत हूं, जिनका योग सामान्य नहीं है। मैक्रो द्वारा इसका उत्तर देखें । लेकिन इस उदाहरण में, दो यादृच्छिक चर असंबंधित हैं।

क्या दो सामान्य यादृच्छिक चर का एक उदाहरण है जिसमें गैर-शून्य कोवरियन है और जिनकी राशि सामान्य नहीं है? या क्या यह साबित करना संभव है कि किसी भी दो सहसंबद्ध सामान्य यादृच्छिक चर का योग, भले ही वे सामान्य रूप से द्विभाजित न हों, सामान्य होना चाहिए?

[संदर्भ: मेरे पास एक होमवर्क प्रश्न है जो के वितरण के लिए पूछता है जहां और सहसंबंध साथ मानक मानदंड हैं । मुझे लगता है कि यह प्रश्न निर्दिष्ट करने के लिए है कि वे सामान्य रूप से द्विभाजित हैं। लेकिन मैं सोच रहा हूँ कि क्या कुछ भी के लिए इस अतिरिक्त धारणा के बिना कहा जा सकता है गैर शून्य।]X Y ρ $aX+bY$$X$$Y$$\rho$$\rho$

धन्यवाद!

Comments

कार्डिनल का उत्तर, जिसे आप उद्धृत करते हैं, पहले से ही एक समाधान है: उदाहरण के अपने पैनल में ऊपरी दाएं कोने को देखें।

— whuber

कृपया आप बता सकते हैं कि कैसे? वह एक संयुक्त वितरण को निर्दिष्ट करता है , जो दो सामान्य मार्जिन देता है। यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि दो सामान्य अंतरों का योग सामान्य नहीं है, जो कि मैं उसके बाद कर रहा हूं। (नीचे Glen_b के उत्तर पर मेरी टिप्पणी भी देखें।)

— mww

अकेले चित्र से यह स्पष्ट होता है कि शून्य पर योग का घनत्व शून्य है (क्योंकि लाइन एक बिंदु में भूखंड को काटता है, जिसमें शून्य माप होता है), जबकि योग स्वयं के रूप में स्पष्ट रूप से सममित है शून्य, यह दर्शाता है कि शून्य राशि के वितरण का केंद्र है। इस तरह का वितरण सामान्य नहीं हो सकता क्योंकि सामान्य वितरण में उनके केंद्रों में गैर-घनत्व होते हैं। $x+y=0$

— whuber

Answer 1

लगभग कोई भी बिवरिएट कोप्युला कुछ गैर-अक्षीय सहसंबंध के साथ सामान्य यादृच्छिक चर की एक जोड़ी का उत्पादन करेगा (कुछ शून्य देगा लेकिन वे विशेष मामले हैं)। उनमें से अधिकांश (लगभग सभी) एक गैर-सामान्य राशि का उत्पादन करेंगे।

कुछ कोप्युला परिवारों में किसी भी वांछित (जनसंख्या) स्पीयरमैन सहसंबंध का उत्पादन किया जा सकता है; कठिनाई केवल सामान्य मार्जिन के लिए पियर्सन सहसंबंध को खोजने में है; यह सिद्धांत रूप में उल्लेखनीय है, लेकिन बीजगणित सामान्य रूप से काफी जटिल हो सकता है। [हालांकि, यदि आपके पास जनसंख्या स्पीयरमैन सहसंबंध है, तो पीयरसन सहसंबंध - कम से कम हल्के पूंछ वाले मार्जिन जैसे कि गौसियन के लिए - कई मामलों में इससे बहुत दूर नहीं हो सकता है।]

सभी लेकिन कार्डिनल के प्लॉट में पहले दो उदाहरणों को गैर-सामान्य रकम देना चाहिए।

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कुछ उदाहरण - पहले दो दोनों एक ही कोप्युला परिवार से हैं जैसे कि कार्डिनल के उदाहरण के पांचवें बाइवारीट वितरण, तीसरा पतित है।

उदाहरण 1:

क्लेटन योजक ( )$\theta=-0.7$

यहाँ योग बहुत विशिष्ट रूप से चरम पर है और काफी दृढ़ता से दाईं ओर तिरछा है

$\ $

उदाहरण 2:

क्लेटन योजक ( )$\theta=2$

यहाँ योग को हल्के से तिरछा छोड़ दिया जाता है। बस हर किसी के लिए काफी स्पष्ट नहीं है, यहाँ मैंने वितरण को फ़्लिप किया है (यानी हमारे पास हिलेोग्राम पेल पर्पल में है) और इसे सुपरिम्पोज़ किया गया है ताकि हम विषमता को और अधिक स्पष्ट रूप से देख सकें:$-(x+y)$

$\hspace{1cm}$

$\ $

$X^*=-X$$Y^*=-Y$

दूसरी ओर यदि हम उनमें से किसी एक को नकार देते हैं, तो हम सहसंबंध के संकेत के साथ तिरछापन की ताकत के बीच जुड़ाव को बदल देंगे (लेकिन इसकी दिशा नहीं)।

यह भी कुछ अलग सहपाठियों के साथ चारों ओर खेलने लायक है कि यह द्विभाजित वितरण और सामान्य मार्जिन के साथ क्या हो सकता है।

T-copula के साथ Gaussian हाशिये का प्रयोग किया जा सकता है, बिना सहपाठियों के विवरणों के बारे में अधिक चिंता किए बिना (सहसंबद्ध बाइवेरेट t से उत्पन्न होता है, जो कि आसान है, फिर समरूप अभिन्न परिवर्तन के माध्यम से एकसमान मार्जिन में परिवर्तित होता है, फिर Gaussian के माध्यम से समान मार्जिन को बदल दिया जाता है। उलटा सामान्य cdf)। यह एक गैर-सामान्य-लेकिन-सममित राशि होगी। यहां तक ​​कि अगर आपके पास अच्छा कोप्युला-पैकेज नहीं है, तो भी आप कुछ चीजें काफी आसानी से कर सकते हैं (जैसे कि अगर मैं एक्सेल में क्विकली एक उदाहरण दिखाने की कोशिश कर रहा था, तो शायद मैं टी-कोप्युला से शुरू करूंगा)।

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उदाहरण 3 : (यह शुरू में मुझे क्या करना चाहिए यह अधिक पसंद है)

$U$$V=U$$0\leq U<\frac{1}{2}$$V=\frac{3}{2}-U$$\frac{1}{2}\leq U\leq 1$$U$$V$$X=\Phi^{-1}(U), Y=\Phi^{-1}(V)\,$$X+Y$

इस मामले में उनके बीच संबंध 0.66 के आसपास है।

$X$$Y$

[ के केंद्र फ़्लिप करके सहसंबंधों की एक श्रृंखला उत्पन्न कर सकता है)$U$$(\frac{1}{2}-c,\frac{1}{2}+c)$$c$$[0,\frac{1}{2}]$$V$

---

कुछ कोड:

library("copula")
par(mfrow=c(2,2))

# Example 1
U <- rCopula(100000, claytonCopula(-.7))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
       col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
       main="Bivariate distribution")
text(-3,-1.2,"cor = -0.68")
text(-2.5,-2.8,expression(paste("Clayton: ",theta," = -0.7")))

दूसरा उदाहरण:

#--
# Example 2:
U <- rCopula(100000, claytonCopula(2))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
    col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
    main="Bivariate distribution")
text(3,-2.5,"cor = 0.68")
text(2.5,-3.6,expression(paste("Clayton: ",theta," = 2")))
#
par(mfrow=c(1,1))

तीसरे उदाहरण के लिए कोड:

#--
# Example 3:
u <- runif(10000)
v <- ifelse(u<.5,u,1.5-u)
x <- qnorm(u)
y <- qnorm(v)
hist(x+y,n=100)

Comments

$X+Y=2IZ+(1-I)U+(1-I)V$$I=0$$U+V$$I=1$$2Z$वितरण सामान्य नहीं है।

— mw

$\rho$

मैंने क्लेटन

— कोप्लस

शानदार - धन्यवाद! R कोड के लिए विशिष्ट धन्यवाद।

— mww

मैंने एक तीसरा उदाहरण जोड़ा और उसके अंत में मैं कुछ पाने के लिए एक तरीका प्रस्तुत करता हूं जैसे कि मैं मूल रूप से क्या प्रयास कर रहा था - -1 और 1 के बीच एक ट्यून करने योग्य सहसंबंध प्राप्त करने का एक तरीका (छोरों पर विशेष मामलों से अलग), लेकिन जिसके लिए राशि गैर-सामान्य है।

— Glen_b -Reinstate Monica

Answer 2

मैं एक उदाहरण के साथ आया हूं। X मानक सामान्य चर है, और Y = -X। फिर X + Y = 0, जो स्थिर है। क्या कोई पुष्टि कर सकता है कि यह एक प्रतिरूप है?

हम इस तथ्य को जानते हैं कि यदि X, Y संयुक्त रूप से सामान्य हैं, तो उनकी राशि भी सामान्य है। लेकिन क्या होगा अगर उनका सहसंबंध -1 है?

मैं इस बारे में थोड़ा उलझन में हूं। धन्यवाद।

Comments

जब X = Y और उसके बाद XY = 0 हो तो आपको वही बात सही लगती है। ये सामान्य वितरण हैं जो सामान्य रूप से द्विभाजित नहीं होते हैं। इसलिए जो संपत्ति रैखिक संयोजन सामान्य होती है जो सामान्य रूप से द्विभाजित पर लागू होती है, उसे लागू होने की आवश्यकता नहीं होती है।

— माइकल आर। चेरिक

$\sigma\to 0$