समुद्र में खो गए मछुआरे की खोज में बेयस की प्रमेय कैसे लागू करें

Question

द ओड्स, लगातार अपडेट किए गए लेख में एक लंबे द्वीप के मछुआरे की कहानी का उल्लेख किया गया है, जो वास्तव में बायेसियन सांख्यिकी के लिए अपने जीवन का श्रेय देता है। यहाँ संक्षिप्त संस्करण है:

आधी रात को एक नाव पर दो मछुआरे हैं। जबकि एक सो रहा है, दूसरा सागर में गिर जाता है। नाव रात भर ऑटोपायलट पर तब तक ट्रोल करती रहती है जब तक कि पहला लड़का आखिरकार उठ न जाए और कोस्ट गार्ड को सूचित कर दे। तटरक्षक बल उस समय को खोजने के लिए SAROPS (सर्च एंड रेस्क्यू ऑप्टिमल प्लानिंग सिस्टम) नामक सॉफ्टवेयर के एक टुकड़े का उपयोग करता है , क्योंकि वह हाइपोथर्मिक था और बस रहने के लिए ऊर्जा से बाहर था।

यहां लंबा संस्करण है: ए स्पेक इन द सी

मैं इस बारे में अधिक जानना चाहता था कि वास्तव में बेयस के प्रमेय को यहां कैसे लागू किया जाता है। मुझे सिर्फ googling द्वारा SAROPS सॉफ्टवेयर के बारे में काफी कुछ पता चला।

SAROPS सिम्युलेटर

सिमुलेटर घटक समय पर डेटा को ध्यान में रखता है जैसे कि महासागर का प्रवाह, हवा, आदि और हजारों संभावित बहाव पथों का अनुकरण करता है। उन बहाव पथों से, एक संभावना वितरण नक्शा बनाया जाता है।

ध्यान दें कि निम्नलिखित ग्राफिक्स में मेरे द्वारा उल्लिखित लापता मछुआरे के मामले का उल्लेख नहीं है, लेकिन इस प्रस्तुति से लिया गया एक खिलौना उदाहरण है

संभाव्यता मानचित्र 1 (लाल उच्चतम संभावना दर्शाता है; नीला सबसे कम)

उस सर्कल पर ध्यान दें जो शुरुआती स्थान है।

संभाव्यता मानचित्र 2 - अधिक समय बीत चुका है

ध्यान दें कि संभाव्यता मानचित्र बहुविध हो गया है। ऐसा इसलिए है क्योंकि इस उदाहरण में, कई परिदृश्यों के लिए जिम्मेदार हैं:

1. व्यक्ति पानी में तैर रहा है - शीर्ष-मध्य मोड
2. व्यक्ति एक जीवन बेड़ा है (उत्तर से बाहर हवा से अधिक प्रभावित होता है) - नीचे 2 मोड ("जीबीय प्रभाव" के कारण विभाजन)

संभाव्यता मानचित्र 3 - खोज लाल रंग में आयताकार रास्तों के साथ आयोजित की गई है। यह चित्र योजनाकार (SAROPS का एक अन्य घटक) द्वारा निर्मित इष्टतम पथ दिखाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, उन रास्तों को खोजा गया था और सिम्युलेटर द्वारा संभाव्यता मानचित्र को अपडेट किया गया है।

$p(\text{fail})$

एक असफल खोज के प्रभाव

यह वह जगह है जहाँ बेयस प्रमेय खेलने के लिए आता है। किसी खोज के संचालित होने के बाद, संभाव्यता मानचित्र तदनुसार अपडेट हो जाता है, इसलिए किसी अन्य खोज को बेहतर तरीके से योजनाबद्ध किया जा सकता है।

'प्रमेय Bayes समीक्षा करने के बाद विकिपीडिया पर और लेख में एक सहज ज्ञान युक्त (और कम) Bayes का स्पष्टीकरण' प्रमेय पर BetterExplained.com

मैंने Bayes का समीकरण लिया:

$$P(\text{A}\mid\text{X}) = \frac{P(\text{X}\mid\text{A}) \times P(\text{A})}{P(\text{X})}$$

और ए और एक्स को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है ...

• घटना A: व्यक्ति इस क्षेत्र में है (ग्रिड सेल)

• टेस्ट एक्स: उस क्षेत्र (ग्रिड सेल) पर असफल खोज अर्थात उस क्षेत्र की खोज की और कुछ भी नहीं देखा

उपज,

$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{unsuccessful}\mid\text{person there}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$$

$P(\text{fail})$$P(\text{fail})$ ।

तो अब हमारे पास है,

$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful}) = \frac{P(\text{fail}) \times P(\text{person there})}{P(\text{unsuccessful})}$$

1. क्या यहां बेयस समीकरण सही ढंग से लागू किया गया है?

2. एक खोज के असफल होने की संभावना, हर कैसे होगी?

   इसके अलावा में खोज और बचाव इष्टतम योजना प्रणाली , वे कहते हैं

   पूर्व संभाव्यताओं को "सामान्य बायेसियन फैशन में सामान्यीकृत" किया जाता है ताकि बाद की संभावनाओं का उत्पादन किया जा सके

3. "सामान्य बायेसियन फैशन में सामान्यीकृत" क्या करता है अर्थ है?

   क्या इसका मतलब है कि सभी संभावनाएं विभाजित हैं$P(\text{unsuccessful})$ , या बस यह सुनिश्चित करने के लिए सामान्यीकृत किया गया है कि पूरी संभावना नक्शा एक में जुड़ जाए? या, ये एक और एक ही हैं?

4. $P(\text{person there})$$P(\text{person there}\mid\text{unsuccessful})$

फिर भी एक और सरलीकरण नोट - सर्च एंड रेस्क्यू ऑप्टिमल प्लानिंग सिस्टम के अनुसार , पीछे के वितरण की गणना वास्तव में सिम्युलेटेड ड्रिफ्ट रास्तों की संभावनाओं को अपडेट करके की जाती है, और फिर से ग्रिड किए गए प्रायिकता मैप को री-जनरेट करते हैं। इस उदाहरण को सरल रखने के लिए, मैंने सिम पथों को अनदेखा करने और ग्रिड कोशिकाओं पर ध्यान केंद्रित करने के लिए चुना।

Answer 1

1. ग्रिड कोशिकाओं के बीच स्वतंत्रता को मानते हुए, फिर यह प्रतीत होता है कि बेयस के प्रमेय को ठीक से लागू किया गया है।
2. $$P(X) = P(X|A)P(A) + P(X|A^c)P(A^c)$$ $A^c$$A$$P(X|A^c)=1$
3. $P(A|X)$ $$P(A|X) \propto P(X|A)P(A)\quad P(A^c|X), \propto P(X|A^c)P(A^c), \mbox{ and } P(A|X)+P(A^c|X) = 1$$ $P(X)$

4. $i$$A_i$$i$$X_i$$i$$X$

   • $\sum_i P(A_i|X)=1$
   • $P(A_i|X) = P(A_i|X_i)\propto P(X_i|A_i)P(A_i)$$P(A_i|X) \propto P(A_i)$$P(A_i|X)$

   $P(A_i|X)$

Comments

$\sum_{i}P(A_i|X)=1$$P(X|A)P(A)$$\sum_{i}P(X|A)P(A_i)$

मुझे बस एहसास हुआ कि असफलता की निश्चित संभावना के साथ हर सेल की खोज करने से संभावना वितरण के बीच बिल्कुल कोई बदलाव नहीं होगा :)

— mlai

$P(X|A)P(A_i)$$P(A_i)$

Answer 2

मुझे एक पुस्तक की ओर इशारा किया गया, जिसमें एक पूरा अध्याय है जो मेरे प्रश्न के लिए समर्पित है - नौसेना संचालन विश्लेषण - एक पूर्व प्रोफेसर द्वारा जो एक हेलीकॉप्टर पायलट हुआ करता था और वास्तव में खोज और बचाव मिशन करता था, कोई कम नहीं!

अध्याय 8 में एक उदाहरण कुछ इस तरह दिया गया है (मैंने इसे थोड़ा अनुकूलित किया):

शुरू करने के लिए, लापता व्यक्ति (ओं), नाव, आदि के स्थान के लिए एक ग्रील्ड पूर्व वितरण है।

पूर्व वितरण:

ग्रिड के भाग पर एक खोज की जाती है और संभावनाओं को सामान्यीकृत पीछे के वितरण के साथ अद्यतन किया जाता है , जैसा कि मैंने अपने प्रश्नों में उल्लेख किया है, उसी तरह से बायस के समीकरण को लागू करके:

$$P(\text{target in (i,j)}\mid\text{no detection}) = \frac{P(\text{no detection}\mid\text{target in (i,j)}) \times P(\text{target in (i,j)})}{P(\text{no detection})}$$

जहां (i, j) = (lat, long)

इस मामले में, मैंने कॉलम 3 की खोज करने का फैसला किया क्योंकि उस कॉलम में सबसे बड़ी कुल पूर्व संभावना थी।

तीसरे स्तंभ w / pFail = 0.2 की खोज के बाद सामान्यीकृत पश्च वितरण

मेरा सवाल मुख्य रूप से यह था कि पीछे कैसे सामान्य किया गया था। यहां बताया गया है कि यह पुस्तक में कैसे किया गया - बस प्रत्येक व्यक्ति की कुल योगता को कुल योग , S से विभाजित करें :

मैंने एक असफल खोज की 0.2 संभावना को चुना क्योंकि मेरे प्रोफेसर के पास यह कहने के लिए था, "हम केवल 80% संभावना का पता लगाते हैं क्योंकि यह आमतौर पर समयबद्धता और सटीकता के बीच सबसे अच्छा व्यापार है।"

सिर्फ किक के लिए, मैंने 0.5 के pFail के साथ एक और उदाहरण दिया । जबकि पहले उदाहरण में ( pFail = 0.2), अगला सबसे अच्छा खोज मार्ग (सामान्यीकृत पीछे की ओर और सीधी रेखा वाली खोजों को देखते हुए, कोई विकर्ण या zig-zag) कॉलम 2 से अधिक नहीं होगा, दूसरे उदाहरण में ( pFail =) 0.5) अगला सबसे अच्छा मार्ग पंक्ति 2 से अधिक है ।

तीसरे स्तंभ w / pFail = 0.5 की खोज के बाद सामान्यीकृत पश्च वितरण

उन्होंने यह भी जोड़ा, "विमान सबसे अच्छी ऊंचाई और एयरस्पीड निर्धारित करने में मदद करने के लिए उनके साथ एक छोटी सी चेकलिस्ट ले जाता है। फ्लाइंग हेलिकॉप्टर में काम करना एक वॉशिंग मशीन के ऊपर बैठने जैसा है, एक किताब को पढ़ना जो एक अलग वॉशिंग मशीन पर टैप की गई डक्ट है।"