एक असंगत अधिकतम संभावना अनुमानक का उदाहरण

Question

मैं एक कागज़ पर एक टिप्पणी पढ़ रहा हूं, और लेखक कहता है कि कभी-कभी, भले ही अनुमानक (एमएल या अधिकतम क्वासिलिकेलहुड द्वारा पाया जाता है) सुसंगत नहीं हो सकते हैं, एक संभावना अनुपात या अर्ध-संभावना अनुपात परीक्षण की शक्ति अभी भी परिवर्तित हो सकती है 1 के रूप में मनाया डेटा की संख्या अनंत (परीक्षण स्थिरता) को जाता है। यह कैसे और कब होता है? क्या आप कुछ ग्रंथ सूची के बारे में जानते हैं?

Comments

LR और QLR क्या हैं?

— गंग -

संभावना अनुपात और क्वासिलिकलीहुड अनुपात परीक्षण;)

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

एक बिंदु को छोड़कर हर जगह बिजली 1 पर जानी चाहिए। आपके पास नाममात्र टाइप 1 त्रुटि दर नहीं होगी।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@Glen_b, क्या आप अपनी टिप्पणी पर अधिक विस्तार से बता सकते हैं? धन्यवाद;)

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

@Glen_b, दुर्भाग्य से नहीं, और विकी को इस पर कोई प्रविष्टि नहीं लगती है ...

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

Answer 1

[मुझे लगता है कि यह आपके प्रश्न में चर्चा के तहत स्थिति का एक उदाहरण हो सकता है।]

असंगत एमएल अनुमानकों के कई उदाहरण हैं। असंगतता को आमतौर पर विभिन्न जटिल मिश्रण समस्याओं और सेंसरिंग समस्याओं की एक किस्म के साथ देखा जाता है।

[एक परीक्षण की संगति मूल रूप से सिर्फ इतनी है कि एक (निश्चित) झूठी परिकल्पना के लिए परीक्षण की शक्ति एक से बढ़ कर रूप में बढ़ जाती है ।]$n\to\infty$

रैडफोर्ड नील 2008-08-09 के अपने ब्लॉग प्रविष्टि में एक उदाहरण देता है असंगत अधिकतम संभावना अनुमान: एक "साधारण" उदाहरण । इसमें पैरामीटर का अनुमान शामिल है:$\theta$

$$X\ |\ \theta\ \ \sim\ \ (1/2) N(0,1)\ +\ (1/2) N(\theta,\exp(-1/\theta^2)^2)$$

(नील का उपयोग करता है जहां मैं ) जहां की एमएल अनुमान के लिए करते हैं जाएगा के रूप में (और वास्तव में संभावना कहीं अधिक एक चोटी में 0 के पास सही मूल्य की तुलना में काफी मामूली नमूने के लिए किया जा सकता है आकार)। यह फिर भी ऐसा मामला है कि वास्तविक मूल्य पास एक चोटी है , यह 0 के पास एक की तुलना में छोटा है।$t$$\theta$$\theta$$0$$n\to\infty$$\theta$

इस स्थिति से संबंधित दो मामलों की कल्पना करें:

क) वैकल्पिक खिलाफ संभावना अनुपात परीक्षण कर रहा है ;$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta<\theta_0$

ख) की एक संभावना अनुपात परीक्षण प्रदर्शन विकल्प के खिलाफ ।$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta\neq\theta_0$

मामले में (ए), कल्पना करें कि सच (ताकि विकल्प सत्य हो और सच का दूसरा पक्ष है )। तो फिर इस तथ्य के बावजूद संभावना बहुत 0 के करीब पर कि से अधिक कि , संभावना पर फिर भी में संभावना अधिक हो जाती है भी छोटे नमूनों में, और अनुपात के रूप में बड़े हो के लिए जारी रहेगा , इस तरह के रूप में संभावना संभावना परीक्षण में अस्वीकृति संभावना बनाने के लिए 1 पर जाएं।$\theta<\theta_0$$0$$\theta$$\theta$$\theta$$\theta_0$$n\to\infty$

वास्तव में, यहां तक ​​कि (बी), जब तक तय हो जाता है और से दूर हो जाता है , यह भी मामला होना चाहिए कि संभावना अनुपात इस तरह से बढ़ेगा जैसे कि संभावना अनुपात परीक्षण में अस्वीकृति की संभावना भी बनती है। दृष्टिकोण १।$\theta_0$$0$

तो यह असंगत एमएल आकलन का एक उदाहरण प्रतीत होता है, जहां एलआरटी की शक्ति को फिर भी 1 पर जाना चाहिए (सिवाय जब )।$\theta_0=0$

[ध्यान दें कि वास्तव में ऐसा कुछ भी नहीं है जो पहले से ही व्हीबर के उत्तर में नहीं है, जो मुझे लगता है कि स्पष्टता का एक उदाहरण है, और परीक्षण की स्थिरता और एक अनुमानक की निरंतरता के बीच अंतर को समझने के लिए बहुत सरल है। तथ्य यह है कि विशिष्ट उदाहरण में असंगत अनुमानक एमएल वास्तव में उस अंतर को समझने के रूप में कोई फर्क नहीं पड़ता है - और असंगत अनुमानक में लाना जो विशेष रूप से एमएल है - जैसा कि मैंने यहां करने की कोशिश की है - वास्तव में परिवर्तन नहीं करता है किसी भी तरह से स्पष्टीकरण। यहां उदाहरण का एकमात्र वास्तविक बिंदु यह है कि मुझे लगता है कि यह एक एमएल अनुमानक का उपयोग करने के बारे में आपकी चिंता को संबोधित करता है।]

Comments

आपके जवाब के लिए धन्यवाद ग्लेन। मैं अभी भी एक सवाल है। बात यह है कि आम तौर पर एलआरटी के वितरण को ची-स्क्वेर्ड करने के लिए सबूत में, यह माना जाता है कि एमएल अनुमानक सुसंगत हैं। आपके मामले में, आप यह कैसे उचित ठहराएंगे कि बढ़ता संभावना अनुपात अस्वीकृति की संभावना को 1 कर देगा, जब सीमित वितरण अज्ञात है? या यह ज्ञात है?

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

बाध्यता के बिना बढ़ने की संभावना अनुपात परीक्षण सांख्यिकीय के लिए आपके पास सभी की जरूरत है कि हर में एक से अधिक तेजी से बढ़ने के लिए अंश में मूल्य पर संभावना । लिंक की गई चर्चा से मेरी समझ यह थी कि नील इसका अर्थ लगा रहा था, लेकिन मैंने विवरणों की कोई वास्तविक जाँच नहीं की है। मुझे नहीं लगता कि परीक्षण का दावा करने का कोई अच्छा कारण है, हालांकि ची-स्क्वायर वितरण होगा; प्रश्न में आपने जो थोड़ी सी जानकारी दी थी, उससे मेरी धारणा यह थी कि वर्णित परीक्षण ऐसा किया जा रहा था मानो यह asymptotically chi-square हो, लेकिन ... (ctd)$\theta$

— Glen_b -Reinstate Monica

(ctd) ... आपको उस टिप्पणी के लेखक से पूछना होगा जो आपने बताया था कि उनका क्या मतलब था।

— Glen_b -Reinstate Monica

वास्तव में, मैंने जो कहा है वह बिल्कुल सही नहीं है, क्योंकि अंश के लिए हर संभव है कि वह हर की तुलना में तेजी से बढ़े लेकिन अनुपात बिना बँधे न बढ़े (इस अर्थ में कि दोनों का अनुपात बढ़ सकता है लेकिन बाध्य हो सकता है)। मुझे "पर्याप्त रूप से तेज" जैसा कुछ कहना चाहिए था।

— Glen_b -Reinstate Monica

Answer 2

आज्ञा दें सामान्य वितरण से iid निकाला जाए । अनुमानक पर विचार करें$(X_n)$$(\mu, 1)$

$$T(x_1, \ldots, x_n) = 1 + \bar{x} = 1 + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_n.$$

का वितरण सामान्य । यह परिवर्तित हो जाता है , यह दिखाता है कि यह असंगत है।$T(X_1,\ldots,X_n)=1+\bar{X}$$(\mu+1, 1/\sqrt{n})$$\mu+1\ne \mu$

एक सरल विकल्प के लिए एक अशक्त परिकल्पना तुलना में , , लॉग संभावना अनुपात ठीक उसी तरह होगा जैसे बजाय पर आधारित एलएलआर । (वास्तव में, वैकल्पिक परिकल्पना लिए शून्य परिकल्पना तुलना करने के लिए उपयोगी है ।) चूंकि माध्य पर आधारित परीक्षण किसी भी के लिए शक्ति में परिवर्तित करने के लिए है। परीक्षण आकार और किसी भी प्रभाव का आकार, का उपयोग करके परीक्षण की शक्ति भी परिवर्तित हो जाती है । μ = μ एक ˉ एक्स टी टी μ + 1 = μ 0 + 1 μ + 1 = μ एक + 1 1 α > 0 टी $\mu=\mu_0$$\mu=\mu_A$$\bar{X}$$T$$T$$\mu+1=\mu_0+1$$\mu+1=\mu_A+1$$1$$\alpha\gt 0$$T$$1$

Comments

इस सवाल में आपकी रुचि के लिए धन्यवाद। हम अधिक सामान्य सेटिंग में कैसे कर सकते हैं, परीक्षण की स्थिरता सुनिश्चित करें? मैं एक अधिक सामान्य उत्तर की तलाश में था, न कि किसी विशिष्ट मामले की। और यदि उपलब्ध हो तो कुछ ग्रंथ सूची भी। धन्यवाद;)

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

इसके अलावा, मैं शायद गलत हूं, लेकिन अनुमानक टी को एमएल अनुमानक नहीं लगता है। सवाल यह है कि हमारे पास परीक्षण की निरंतरता कब है, जब एमएल अनुमानक, या अधिकतम क्वासिलिकेलीहुड अनुमान संगत नहीं हैं? »

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

मैंने सवाल संपादित किया, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से नहीं हो सकता था कि मैं क्या चाहता था। क्षमा करें;)

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।