बायोसियन मॉडलिंग कोवरिएट के साथ मल्टीवेरेट सामान्य का उपयोग करते हुए

मान लीजिए कि आपके पास एक व्याख्यात्मक चर जहाँ किसी दिए गए निर्देशांक का प्रतिनिधित्व करता है। आपके पास एक प्रतिक्रिया चर । अब, हम दोनों चर को इस प्रकार जोड़ सकते हैं: ${\bf{X}} = \left(X(s_{1}),\ldots,X(s_{n})\right)$ $s$ ${\bf{Y}} = \left(Y(s_{1}),\ldots,Y(s_{n})\right)$

W (s) = (\begin{array}{ccc} X (s) \\ Y (s) \end{array}) \sim N (μ (s), T)

${\bf{W}}({\bf{s}}) = \left( \begin{array}{ccc}X(s) \\ Y(s) \end{array} \right) \sim N(\boldsymbol{\mu}(s), T)$

इस स्थिति में, हम बस $\boldsymbol{\mu}(s) = \left( \mu_{1} \; \; \mu_{2}\right)^{T}$ और $T$ का चयन एक सहसंयोजक मैट्रिक्स करते हैं जो वर्णन करता है; $X$ और के बीच संबंध $Y$ । यह केवल के मूल्य का वर्णन करता है $X$ और $Y$ में $s$ । चूंकि हमारे पास $X$ और लिए अन्य स्थानों से अधिक अंक हैं $Y$ , इसलिए हम निम्नलिखित तरीके से और अधिक मूल्यों का वर्णन कर सकते हैं ${\bf{W}}(s)$ :

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) = N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), T \otimes H (ϕ))

$\left( \begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ {\bf{Y}} \end{array}\right) = N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), T\otimes H(\phi)\right)$

आप देखेंगे कि हमने एक कॉलम में सभी प्राप्त करने के लिए $\bf{X}$ और के घटकों को पुन: व्यवस्थित किया और उसके बाद, सभी एक साथ मिलाया। प्रत्येक घटक एक सहसंबंध फ़ंक्शन और ऊपर है। हमारे पास covariance का कारण यह है कि हम मानते हैं कि सहसंयोजक मैट्रिक्स को रूप में अलग करना संभव है । $\bf{Y}$ $X(s_i)$ $Y(s_i)$ $H(\phi)_{ij}$ $\rho(s_i, s_j)$ $T$ $T\otimes H(\phi)$ $C(s, s')=\rho(s, s') T$

प्रश्न 1: जब मैं सशर्त गणना करता हूं , तो मैं वास्तव में जो कर रहा हूं, वह आधार पर के मूल्यों का एक सेट उत्पन्न कर रहा है। , सही बात? मेरे पास पहले से ही इसलिए मुझे एक नए बिंदु भविष्यवाणी करने में अधिक रुचि होगी । इस मामले में, मैं एक मैट्रिक्स होना चाहिए के रूप में परिभाषित ${\bf{Y}}\mid{\bf{X}}$ $\bf{Y}$ $\bf{X}$ $\bf{Y}$ $y(s_{0})$ $H^{*}(\phi)$

H^{*} (ϕ) = (\begin{array}{ccc} H (ϕ) & h \\ h & ρ (0, ϕ) \end{array})

$H^{*}(\phi) = \left(\begin{array}{ccc}H(\phi) & \boldsymbol{h} \\ \boldsymbol{h}& \rho(0,\phi) \end{array}\right)$

जिसमें एक वेक्टर । इसलिए, हम एक वेक्टर का निर्माण कर सकते हैं (पुनर्व्यवस्था के बिना): $\boldsymbol{h}(\phi)$ $\rho(s_{0} - s_{j};\phi)$

W^{*} = {(W (s_{1}), \dots, W (s_{n}), W (s_{0}))}^{T} \sim N (\begin{array}{ccc} 1_{n + 1} \otimes (\begin{array}{ccc} μ_{1} \\ μ_{2} \end{array}) \end{array}, H (ϕ)^{*} \otimes T)

${\bf{W^{*}}} = \left({\bf{W}}(s_{1}), \ldots, {\bf{W}}(s_{n}), {\bf{W}}(s_{0})\right)^{T} \sim N\left(\begin{array}{ccc}\boldsymbol{1}_{n+1} \otimes \left( \begin{array}{ccc} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{array} \right)\end{array}, H(\phi)^{*}\otimes T\right)$

और अब मैं सिर्फ एक संयुक्त वितरण प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करता हूं और सशर्त । $\left(\begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ x(s_0) \\{\bf{Y}} \\ y(s_0)\end{array} \right)$ $p(y(s_0)\mid x_0, {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

क्या ये सही है?

प्रश्न 2: भविष्यवाणी करने के लिए, मैं जो पेपर पढ़ रहा हूं, वह बताता है कि मुझे इस सशर्त वितरण और एक पश्च प्राप्त करना होगा। वितरण , लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि मापदंडों के लिए पीछे के वितरण को कैसे प्राप्त किया जाए। हो सकता है कि मैं वितरण का उपयोग कर सकता हूँ कि मुझे लगता है बिल्कुल और फिर बस प्राप्त करने के लिए बेयस प्रमेय का उपयोग करें $p(y(s_0)\mid x_0, {\bf{X}}, {\bf{Y}})$ $p(\mu, T, \phi\mid x(s_0), {\bf{Y}}, {\bf{X}})$ $\left(\begin{array}{ccc}{\bf{X}} \\ x(s_0)\\ {\bf{Y}}\end{array}\right)$ $p({\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}\mid\mu, T, \phi)$ $p(\mu, T, \phi\mid {\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}) \propto p({\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}}\mid\mu, T, \phi)p(\mu, T, \phi)$

प्रश्न 3: उपशाखा के अंत में, लेखक यह कहता है:

भविष्यवाणी के लिए, हमारे पास । यह कोई नई समस्या पैदा नहीं करता है क्योंकि इसे एक अव्यक्त चर के रूप में माना जा सकता है और इसे में शामिल किया जाता है। इसके परिणामस्वरूप प्रत्येक गिब्स पुनरावृत्ति में एक अतिरिक्त ड्रा होता है और कम्प्यूटेशनल कार्य के लिए एक तुच्छ अतिरिक्त है। ${\bf{X}}(s_0)$ $\bf{x}'$

उस पैराग्राफ का क्या मतलब है?

वैसे, यह प्रक्रिया इस पेपर में पाई जा सकती है (पृष्ठ 8), लेकिन जैसा कि आप देख सकते हैं, मुझे थोड़ा और विस्तार चाहिए।

धन्यवाद!

— रॉबर्ट स्मिथ
स्रोत

प्रति ओपी अनुरोध को माइग्रेट करने का वोट दिया गया ।

मैं आपके प्रश्नों 1 और 2 के उत्तर दोनों के लिए सही कहूंगा । प्रश्न 3 का अर्थ है कि पूर्ण सशर्त ) का उपयोग कर शीर्ष पर, एक अतिरिक्त पैरामीटर को एक अतिरिक्त पैरामीटर के रूप में माना जाता है। पर पहले की तरह ।

X (s_{0})

$X(s_0)$

μ, T, ϕ

$\mu,T,\phi$

p (x (s_{0}) ∣ X,, Y, μ, T, ϕ)

$p(x(s_0)\mid{\bf{X}}, , {\bf{Y}},\mu, T, \phi)$

X (s_{0})

$X(s_0)$

— शीआन

प्रश्न 1: आपके संयुक्त संभाव्यता मॉडल को देखते हुए सशर्त वितरण का दिए गए भी सामान्य है, मतलब और विचरण-सहसंयोजक मैट्रिक्स

(\begin{array}{ccc} X \\ Y \end{array}) \sim N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), [\begin{matrix} Σ_{11} & Σ_{12} \\ Σ_{21} & Σ_{22} \end{matrix}]) = N ((\begin{array}{ccc} μ_{1} 1 \\ μ_{2} 1 \end{array}), T \otimes H (ϕ))

$\left( \begin{array}{ccc} {\bf{X}} \\ {\bf{Y}} \end{array}\right) \sim N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), \begin{bmatrix} \boldsymbol\Sigma_{11} & \boldsymbol\Sigma_{12} \\ \boldsymbol\Sigma_{21} & \boldsymbol\Sigma_{22} \end{bmatrix} \right)=N\left(\left(\begin{array}{ccc}\mu_{1}\boldsymbol{1}\\ \mu_{2}\boldsymbol{1}\end{array}\right), T\otimes H(\phi)\right)$

Y

$\bf{Y}$

X

$\bf{X}$

μ_{2} + Σ_{21} Σ_{11}^{- 1} (X - μ_{1})

$\boldsymbol\mu_2 + \boldsymbol\Sigma_{21} \boldsymbol\Sigma_{11}^{-1} \left( \mathbf{X} - \boldsymbol\mu_1\right)$

Σ_{22} - Σ_{21} Σ_{11}^{- 1} Σ_{21} .

$\boldsymbol\Sigma_{22} - \boldsymbol\Sigma_{21} \boldsymbol\Sigma_{11}^{-1} \boldsymbol\Sigma_{21}.$ (उन सूत्रों को मल्टीवेरिएट पर विकिपीडिया पृष्ठ से शब्दशः कॉपी किया जाता है ।) वही तब से है एक और सामान्य वेक्टर है।

p (y (s_{0}) ∣ x (s_{0}), X, Y)

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

(y (s_{0}), x (s_{0}), X, Y)

$(y(s_0), x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

प्रश्न 2: भविष्य कहनेवाला को रूप में परिभाषित किया गया है अर्थात, उन डाकघरों के पिछले वितरण का उपयोग करके मापदंडों को एकीकृत करके, वर्तमान डेटा । इसलिए पूर्ण उत्तर के लिए थोड़ा अधिक है। जाहिर है, यदि आपको केवल पूर्वसूचक से अनुकरण करने की आवश्यकता है, तो से संयुक्त रूप से अनुकरण करने की आपकी धारणा। और फिर से मान्य है। $p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})$

p (y (s_{0}) | x (s_{0}), X, Y) = \int p (y (s_{0}) | x (s_{0}), X, Y, μ, T, ϕ) p (μ, T, ϕ | x (s_{0}), X, Y) d μ d T d ϕ,

$p(y(s_0) | x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})=\int p(y(s_0)| x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)\,p(\mu,T,\phi| x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}})\,\text{d}\mu\,\text{d} T\,\text{d}\phi\,,$

(X, Y, x (s_{0}))

$({\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0))$

p (μ, T, ϕ ∣ X, x (s_{0}), Y)

$p(\mu, T, \phi\mid {\bf{X}}, x(s_0), {\bf{Y}})$

p (y (s_{0}) ∣ x (s_{0}), X, Y, μ, T, ϕ)

$p(y(s_0)\mid x(s_0), {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)$

प्रश्न 3: इस घटना में कि का अवलोकन नहीं किया जाता है, जोड़ी पूर्वानुमान दूसरे से लगाया जा सकता है $x(s_0)$ $(x(s_0),y(s_0))$

p (x (s_{0}), y (s_{0}) ∣ X, Y) = \int p (x (s_{0}), y (s_{0}) ∣ X, Y, μ, T, ϕ) p (μ, T, ϕ ∣ X, Y) d μ d T d ϕ .

$p(x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}})=\int p(x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},\mu,T,\phi)\,p(\mu,T,\phi\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}})\,\text{d}\mu\,\text{d} T\,\text{d}\phi\,.$

इस पूर्वानुमान से अनुकरण करते समय, क्योंकि यह एक प्रबंधनीय रूप में उपलब्ध नहीं है, एक गिब्स नमूना चलाया जा सकता है जो पुनरावृत्त रूप से अनुकरण करता है

$\mu\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),T,\phi$
$T\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),\mu,\phi$
$\phi\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),y(s_0),T,\mu$
$x(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},y(s_0),\phi,T,\mu$
$y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},x(s_0),\phi,T,\mu$

या किसी अन्य चरण में चरण 4 और 5 को मर्ज करें

$x(s_0),y(s_0)\mid {\bf{X}}, {\bf{Y}},\phi,T,\mu$

— शीआन
स्रोत