सशर्त संभावना के लिए अंतर्ज्ञान कैसे विकसित करें?

Question

हार्वर्ड के सांख्यिकी 110: प्रायिकता पाठ्यक्रम जो कि आईट्यून्स और यूट्यूब पर मिल सकता है, से वीडियो लेक्चर में , मुझे इस समस्या का सामना करना पड़ा । मैंने इसे यहाँ संक्षेप में बताने की कोशिश की है:

मान लीजिए कि हमें एक मानक डेक से एक यादृच्छिक दो-कार्ड हाथ दिया गया है।

1. क्या संभावना है कि दोनों कार्ड दिए गए हैं कि हमारे पास कम से कम एक इक्का है?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

चूंकि कम से कम एक इक्का निहित है यदि आपके पास दोनों इक्के हैं, तो चौराहे को बस P तक कम किया जा सकता है ( b o o t h h a c e s )$P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

यह तो बस है

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. क्या संभावना है कि दोनों कार्ड इक्के दिए गए हैं जो हमारे पास हुकुम का इक्का है?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

अब, इन उदाहरणों के साथ मैं कहीं खो गया ...

उत्तरार्द्ध स्पष्ट रूप से 3 के समान ही है , जो बहुत मायने रखता है (मेरे लिए) कि यह जवाब होगा। यदि आपको बताया जाता है कि आपके पास (कहना) हुकुम का इक्का है, तो आप जानते हैं कि3और इक्के हैं और51अधिक कार्ड हैं।$\frac{3}{51}$$3$$51$

लेकिन पूर्व उदाहरण में, गणित ठीक लगता है (और मेरा मानना ​​है कि लेक्चरर यह उदाहरण नहीं देंगे यदि यह गलत था ...), लेकिन मैं इसके चारों ओर अपना सिर नहीं लपेट सकता।

इस समस्या के लिए मुझे कुछ अंतर्ज्ञान कैसे मिलेगा?

Comments

इसका उत्तर देने का प्रयास करें: मेरे पड़ोसी के दो बच्चे हैं - आप जानते हैं कि उनमें से एक लड़का है। क्या संभावना है कि उसके दो लड़के हैं।

— स्टीव एस

समस्या पर आपके प्रयास को शामिल करने के लिए धन्यवाद! कृपया [self-study]टैग जोड़ें और इसकी विकी पढ़ें ।

— सिल्वरफिश

Answer 1

अंतर्ज्ञान की सहायता के लिए, दो घटनाओं (परिणामों के सेट) को देखने पर विचार करें:

1. कंडीशनिंग इवेंट, जो जानकारी दी गई है।

2. वातानुकूलित घटना, जिसकी संभावना आप खोजना चाहेंगे।

सशर्त संभाव्यता को पहले के संयोग से दूसरे के अवसर को विभाजित करके पाया जाता है।

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$52 \times 51$$\cdots$

सवाल इक्के पर केंद्रित हैं। जानकारी "हमारे पास कम से कम एक इक्का है" पहले चार पंक्तियों या पहले चार स्तंभों के भीतर जोड़ी का पता लगाता है। हमारे मन में हम इन पंक्तियों और स्तंभों को रंगकर योजनाबद्ध रूप से कल्पना कर सकते हैं। मैंने उन्हें लाल रंग में रंग दिया है, लेकिन जहां दोनों इक्के दिखाई देते हैं, मैंने उन्हें काले रंग में रंग दिया है:

वहां $2\times 6 = 12$ सभी इक्के और के जोड़े $2\times (4\times 48) = 384$ कुल के लिए कम से कम एक इक्का के साथ अन्य जोड़े $12+384=396$जोड़े जिन पर आप कंडीशनिंग कर रहे हैं, जैसा कि लाल और काले दोनों क्षेत्रों द्वारा दर्शाया गया है। क्योंकि इस तरह के सभी जोड़े समान रूप से होने की संभावना है, पूर्व का मौका है

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

यह लाल + काले क्षेत्र का काला अंश है।

दूसरा सवाल मुखर करता है "हमारे पास हुकुम का इक्का है।" यह केवल पहली पंक्ति और स्तंभ से मेल खाती है :

अब बस हैं $2\times 3 = 6$ दो इक्के और के साथ इस तरह के जोड़े $2\times 48=96$ कुल के लिए हुकुम के इक्का के साथ अन्य जोड़े $96+6 = 102$ऐसी जोड़ियाँ। पहले की तरह रीज़निंग, दो इक्के का मौका है

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

फिर से यह लाल + काले क्षेत्र का काला अंश है।

संदर्भ के लिए, अंतिम आंकड़े में गुलाबी और ग्रे में दिखाए गए पिछले एक शामिल हैं। इन क्षेत्रों की तुलना करने से पता चलता है कि क्या हुआ: पहले प्रश्न से दूसरे तक जाने में, कंडीशनिंग इवेंट (गुलाबी) में जोड़े की संख्या अपने मूल गणना (लाल) के लगभग एक-चौथाई तक गिर गई, जबकि प्रश्न में जोड़े की संख्या घट गई केवल एक आधा (ग्रे से काले तक,$12$ सेवा $6$)।

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मुझे इस तरह के योजनाबद्ध आंकड़े मददगार भी लगे हैं - शायद विशेष रूप से - जब संभावना के अधिक जटिल अवधारणाओं को समझने की कोशिश कर रहे हों, जैसे कि सिग्मा अल्जब्रस के फिल्ट्रेशन ।

Comments

क्या आपने वह पहली तस्वीर खुद बनाई थी? यदि हां, तो कैसे?

— स्टीव एस

वैसे: +1

— स्टीव एस।

@ पहले मैंने गणितज्ञ का उपयोग किया , एसई गणितज्ञ स्थल पर प्ले कार्ड अभ्यावेदन के साथ शुरुआत की । मैंने कार्ड की संक्षिप्त सूची के एक बाहरी उत्पाद को सारणीबद्ध किया, जहाँ "उत्पाद" फ़ंक्शन दो-कार्ड हाथ का प्रतिनिधित्व करने के लिए यादृच्छिक रूप से घुमाए गए कार्ड छवियों की एक जोड़ी को जोड़ती है।

— whuber

दुर्भाग्य से, मैं गणितज्ञ का उपयोग नहीं करता, जो कि शर्म की बात है, जाहिरा तौर पर, क्योंकि वह ग्राफिक वास्तव में अच्छा लग रहा है (और निश्चित रूप से पोस्ट में बहुत कुछ जोड़ता है)।

— स्टीव एस

Answer 2

एक समस्या को सेट करने का एक अलग तरीका जो दूसरी गणना की ओर जाता है वह है:

आप डेक से दो कार्ड खींचते हैं। दो इक्के की संभावना क्या है कि आपने जो पहला कार्ड आकर्षित किया वह एक इक्का था?

यह कथानक पहली गणना के साथ विपरीत करना आसान बनाता है। दो इक्के लेने का अंतर्निहित मौका नहीं बदलता है, लेकिन पहले होने की स्थिति रूप कार्ड होने की स्थिति या तो इक्के से होने वाली स्थिति से अधिक प्रतिबंधात्मक है। इसका मतलब यह है कि सशर्त संभाव्यता गणना में वांछित संयोजन को कम विकल्पों के बीच में होना होता है, इसलिए इसकी एक बड़ी संभावना है।

दो अलग-अलग वाक्यांश (ऐस के रूप में हुकुम बनाम पहला कार्ड) समान होते हैं, क्योंकि वे इक्के के बीच समरूपता / विनिमेयता को तोड़ते हैं: सूट या ऑर्डर को मनमाने ढंग से स्वैप नहीं किया जा सकता है।

Answer 3

शुरुआत में मेरे लिए कुछ अंतर्ज्ञान होना मुश्किल था।

एक विचार समस्या को सीमा तक ले जाने का है। इस मामले में स्टीव के रूप में एक समान समस्या यह है: मेरे पड़ोसी के दो बच्चे हैं - आप जानते हैं कि उनमें से एक लड़का है। क्या संभावना है कि उसके दो लड़के हैं।

Thje पहला विचार है, ठीक है, मेरे पास एक लड़का है, दूसरे बच्चे के पास लड़की होने का 1/2 मौका है और एक लड़का होने का 1/2 है, लेकिन इस मामले में आप सभी जानकारी नहीं ले रहे हैं जो आपको तथ्य देती है ( कम से कम आपके पास एक लड़का है) क्योंकि यह निहित है कि यह लड़का सबसे कम उम्र का बच्चा हो सकता है जो एक लड़की या सबसे पुराना लड़का है या दोनों ऐसे लड़के हैं जिनका अर्थ है कि तीन संभावित परिणामों में से केवल एक ही अनुकूल है।

जैसा कि मैंने कहा कि इस समस्या को सीमा तक ले जाना आसान है ...

केस 1: "हमारे पास एक इक्का है" के समान सार मामला -> इस मामले में कल्पना करता है कि मेरे पड़ोसी के 2 बच्चे नहीं हैं, लेकिन 27 हैं, और आप जानते हैं कि 26 लड़के हैं, इस बात की संभावना लगभग शून्य है। इस मामले में यह स्पष्ट है कि यह जानकारी आपको बहुत सी जानकारी देती है कि संभावित रूप से बोलने वाला बच्चा बालिका है। सटीक होने के लिए, आपके पास 27 लड़कों के साथ एक मामला होगा, मान लीजिए कि एक tuple (b, b, b, b, b, b ..., b) और 27 मामलों में 1 लड़की और 26 लड़के (g, b, b) , बी ...), (बी, जी, बी, बी, बी ...), इसलिए सभी लड़कों की संभावना 1/27 है, सामान्य तौर पर यह 1 / (एन + 1) होगा

case2: ठोस जानकारी। यह "हम हुकुम का इक्का है" या "हमारे पास इक्का होने का पहला कार्ड है" के समान होगा। इस मामले में कल्पना करें कि हमारे पड़ोसी में 26 बच्चे हैं और सभी लड़के 27 वें से गर्भवती हैं। क्या संभावना है कि 27 वां लड़का होगा?

Case2 के साथ मुझे पूरा यकीन है कि हम सभी को इस तरह की स्पष्ट-सशर्त सशर्त विश्वसनीयता समस्याओं के लिए आवश्यक अंतर्ज्ञान की समझ हो सकती है।

यदि आप अमीर बनना चाहते हैं, तो आपको 26 लड़कों और एक 27 वें के साथ पहले मामले पर दांव लगाना होगा क्योंकि ठोस जानकारी की कमी का मतलब बाकी बच्चे पर बहुत अधिक संभावित ऊर्जा है जबकि दूसरे मामले में, एंट्रॉपी बहुत बड़ी है, हमारे पास है दांव लगाने के लिए पता करने के लिए जानकारी नहीं।

मैं उम्मीद करता हूँ यह उपयोगी है

Answer 4

कोई भी गणना के बिना 3/51 का उत्तर कैसे बता सकता है?

यदि आपने पहली बार हुकुम का इक्का लिया। मुझे पता है कि पैकेज में कौन से कार्ड हैं। तो 51 कार्ड पर 3 ऐस है। इसलिए दूसरे के लिए, आपके पास दो ऐस करने के लिए 3/51 चांस हैं।

और दो परिदृश्यों के बीच अंतर को सहज रूप से कैसे समझा जाए?

ऐसा इसलिए है क्योंकि "हैव असेव" "हैव असेस्स" में शामिल है। लेकिन "हैड्स का इक्का" "हैव टू असेस" में शामिल नहीं है। यही अंतर है।

वास्तव में, यदि आपके पास दो इक्का हैं, तो आपके पास एक है, लेकिन शायद हुकुम का इक्का नहीं है, इसलिए यह समान संभावना नहीं है।

यह उत्तर एक अन्य पोस्ट के लिए था जिसे इस पर स्थानांतरित किया गया है।

Comments

मैंने ज्यादातर दूसरे सवाल का जवाब दिया है: "और दो परिदृश्यों के बीच अंतर को सहज रूप से कैसे समझा जाए?" लेकिन मैं पहले एक जवाब देने के लिए जा रहा हूँ

— एल Josso