संभाव्यता असमानताएँ

मैं निर्बाध यादृच्छिक चर के योगों के लिए कुछ संभावना असमानताओं की तलाश कर रहा हूं। मैं वास्तव में इसकी सराहना करूंगा अगर कोई मुझे कुछ विचार प्रदान कर सके।

मेरी समस्या यह है कि इस संभावना से अधिक एक घातीय ऊपरी सीमा का पता लगाना है कि यादृच्छिक चर का योग, जो वास्तव में दो आईड गॉसियन का गुणन है, कुछ निश्चित मान से अधिक है, अर्थात, है, जहां , और से आईआईडी उत्पन्न कर रहे हैं । $\mathrm{Pr}[ X \geq \epsilon\sigma^2 N] \leq \exp(?)$ $X = \sum_{i=1}^{N} w_iv_i$ $w_i$ $v_i$ $\mathcal{N}(0, \sigma)$

मैंने चेर्नोफ बाउंड का उपयोग कर पल बनाने वाले फ़ंक्शन (MGF) का उपयोग करने की कोशिश की, जो व्युत्पन्न बाउंड द्वारा दिया गया है:

$\begin{eqnarray} \mathrm{Pr}[ X \geq \epsilon\sigma^2 N] &\leq& \min\limits_s \exp(-s\epsilon\sigma^2 N)g_X(s) \\ &=& \exp\left(-\frac{N}{2}\left(\sqrt{1+4\epsilon^2} -1 + \log(\sqrt{1+4\epsilon^2}-1) - \log(2\epsilon^2)\right)\right) \end{eqnarray}$

जहाँ $g_X(s) = \left(\frac{1}{1-\sigma^4 s^2}\right)^{\frac{N}{2}}$ का MGF है । लेकिन बाउंड इतना तंग नहीं है। मेरी समस्या में मुख्य मुद्दा यह है कि यादृच्छिक चर अनबिके हैं, और दुर्भाग्य से मैं हॉफिंग असमानता के बंधन का उपयोग नहीं कर सकता। $X$

मुझे खुशी होगी अगर आप मुझे कुछ तंग घातीय बाध्य करने में मदद करेंगे।

— फर्जाद
स्रोत

एक संकुचित-संवेदन संबंधित समस्या की तरह लगता है। गैर-वैमानिक यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत पर आर। वर्शिन के नोट्स को देखें, विशेष रूप से उस पर सीमाएं जिसे वह उपसंचालक यादृच्छिक चर कहते हैं। वह आपको मिल जाएगा। यदि आपको अधिक पॉइंटर्स की आवश्यकता है, तो हमें बताएं और मैं कुछ और जानकारी पोस्ट करने का प्रयास करूंगा।

— कार्डिनल

गणित विषय पर इस विषय पर कम से कम कुछ संबंधित प्रश्न और उत्तर दिए गए हैं (अस्वीकरण: एक जिसमें मैंने भाग लिया था)।

— कार्डिनल

उत्पाद

w_{i} v_{i}

$w_i v_i$ 'सामान्य उत्पाद' वितरण है। मेरा मानना है कि इस उत्पाद की औसत शून्य है और विचरण है

σ^{4}

$\sigma^4$ जहां

σ^{2}

$\sigma^2$ के विचरण है

w_{i}

$w_i$ और

v_{i}

$v_i$ । के लिए

N

$N$ largeish, आप केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग की अनुमानित norality प्राप्त करने के लिए कर सकता है

X

$X$ । यदि आप सामान्य उत्पाद वितरण के तिरछा गणना कर सकते हैं, तो मेरा मानना है कि आप सीडीएफ के अभिसरण की दर को सीमित करने के लिए बेरी-एसेन प्रमेय लागू कर सकते हैं।

— shabbychef

@ शब्बीशेफ, बेरी-एसेन में बहुत धीमी गति से अभिसरण है, क्योंकि यह सभी डिस्ट्रीब्यूशन के वर्ग में एक समान है ।

F

$F$

— कार्डिनल

@DilipSarwate: क्षमा करें कि मैं अभी कुछ समय पहले आपकी टिप्पणी देख रहा हूं। मुझे लगता है कि आपको निम्नलिखित छोटे पेपर में दिलचस्पी हो सकती है, जिसे मैंने गणित पर कई बार जोड़ा है। साथ ही: टीके फिलिप्स और आर। नेल्सन (1995), इस क्षण को सकारात्मक पूंछ के लिए चेरोफ़ की बाध्यता से तंग है। संभाव्यताएं , अमेरिकी सांख्यिकीविद् , वॉल्यूम 42, सं। 2., 175-178।

— कार्डिनल

जवाबों:

चेरोफ़ बाउंड का उपयोग करके आपने कुछ लिए सुझाव दिया है जो बाद में निर्दिष्ट किया जाएगा, जहां दूसरी असमानता के लिए धन्यवाद किसी भी । अब और , दाहिने हाथ की ओर जो किसी भी । $s\le 1/(2\sigma^2)$

P [X > t] \leq \exp (- s t) \exp (- (N / 2) \log (1 - σ^{4} s^{2})) \leq \exp (- s t + σ^{4} s^{2} N)

$P[X>t] \le \exp(-st) \exp\Big(-(N/2) \log(1-\sigma^4s^2) \Big) \le \exp(-st + \sigma^4s^2 N)$

- \log (1 - x) \leq 2 x

$-\log(1-x)\le 2x$

x \in (0, 1 / 2)

$x\in(0,1/2)$

t = ϵ σ^{2} N

$t=\epsilon \sigma^2 N$

s = t / (2 σ^{4} N)

$s=t/(2\sigma^4N)$

\exp (- t^{2} / (4 σ^{4} N) = \exp (- ϵ^{2} N / 4)

$\exp(-t^2/(4\sigma^4N)=\exp(-\epsilon^2 N/4)$

P [X > ϵ σ^{2} N] \leq \exp (- ϵ^{2} N / 4) .

$P[X>\epsilon \sigma^2 N] \le \exp(-\epsilon^2 N/4).$

ϵ \in (0, 1)

$\epsilon\in(0,1)$

एक अन्य एवेन्यू सीधे हैन्सन-राइट असमानता जैसे एकाग्रता असमानताओं को लागू करने के लिए है, या ऑर्डर 2 के गॉसियन अराजकता के लिए एकाग्रता असमानताएं जो आपके द्वारा रुचि रखने वाले यादृच्छिक चर को शामिल करती हैं।

क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन का उपयोग किए बिना सरल दृष्टिकोण

सादगी के लिए लें (अन्यथा, कोई व्यक्ति से विभाजित करके पुनर्विक्रय कर सकता है )। $\sigma=1$ $\sigma^2$

लिखें और । आप पर ऊपरी सीमा के लिए पूछ रहे हैं । $v=(v_1,...,v_n)^T$ $w=(w_1,...,w_n)^T$ $P(v^Tw>\epsilon N)$

चलो। फिर की स्वतंत्रता से और से स्वतंत्र है के साथ के साथ वितरण डिग्री-की-स्वतंत्रता। $Z= w^T v/\|v\|$ $Z\sim N(0,1)$ $v,w$ $\|v\|^2$ $Z$ $\chi^2$ $n$

मानक सामान्य और यादृच्छिक चर पर मानक सीमा द्वारा , यूनियन बाउंड के साथ संयोजन करने पर फॉर्म पर एक ऊपरी बाउंड मिलता है। । $\chi^2$

P (| Z | > ϵ \sqrt{n / 2}) \leq 2 \exp (- ϵ^{2} n / 4), P (‖ v ‖ > \sqrt{2 n}) \leq \exp (- n (\sqrt{2} - 1)^{2} / 2) .

$P(|Z|>\epsilon\sqrt{n/2})\le 2\exp(-\epsilon^2 n/4), \qquad\qquad P(\|v\|>\sqrt{2n}) \le \exp(-n(\sqrt 2 -1)^2/2).$

P (v^{T} w > ϵ N)

$P(v^Tw>\epsilon N)$

2 \exp (- ϵ^{2} n / 4) + \exp (- n (\sqrt{2} - 1)^{2} / 2)

$2\exp(-\epsilon^2 n/4) + \exp(-n(\sqrt 2 -1)^2/2)$

— jlewk
स्रोत

आपके द्वारा प्राप्त बाध्यता आदेश रूप में । मुझे नहीं लगता कि आप सामान्य लिए बहुत बेहतर कर सकते हैं । से उत्पाद वैरिएबल पर विकिपीडिया पृष्ठ के वितरण है जहां एक संशोधित Bessel कार्य है। DLMF फ़ंक्शन सूची में (10.25.3) से , ताकि पर्याप्त रूप से बड़े जो आपको उप गौसियन बाउंड नहीं देने वाला है। $e^{-\epsilon}$ $\epsilon \to \infty$ $\epsilon$ $w_i v_i$ $K_0(z)/\pi$ $K_0$ $K_0(t) \sim e^{-t}/\sqrt{t}$ $x$ $\mathbb{P}(w_i v_i > x) \sim \int_x^\infty e^{-t}/\sqrt{t} dt$

— BookYourLuck
स्रोत