यादृच्छिक चर को कार्यों के रूप में क्यों परिभाषित किया गया है?

Question

मुझे फ़ंक्शन के रूप में एक यादृच्छिक चर की अवधारणा को समझने में समस्या हो रही है। मैं यांत्रिकी को समझता हूं (मुझे लगता है) लेकिन मैं प्रेरणा को नहीं समझता ...

कहो एक संभावना ट्रिपल, जहां Ω = [ 0 , 1 ] , बी Borel- है σ -algebra कि अंतराल पर और पी नियमित Lebesgue उपाय है। चलो एक्स से एक यादृच्छिक चर होना बी को { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ऐसी है कि एक्स ( [ 0 , 1 / 6 $(\Omega, B, P)$$\Omega = [0,1]$$B$$\sigma$$P$$X$$B$$\{1,2,3,4,5,6\}$ , एक्स ( [ 1 / 6 , 2 / 6 ) ) = 2 , ..., एक्स ( [ 5 / 6 , 1 ] ) = 6 , इसलिए एक्स 6 के माध्यम से मूल्यों 1 पर एक असतत समान वितरण है। $X([0,1/6)) = 1$$X([1/6,2/6)) = 2$$X([5/6,1]) = 6$$X$

यह सब अच्छा है, लेकिन मुझे मूल संभाव्यता ट्रिपल की आवश्यकता समझ में नहीं आती है ... हम सीधे कुछ समान निर्माण कर सकते थे जहां S है सभी उचित σ अंतरिक्ष के -algebra, और पी एक्स एक उपाय है कि प्रत्येक सबसेट उपाय (तत्वों की #) / 6 को प्रदान करती है। इसके अलावा, के चुनाव Ω = [ 0 , 1 ] था arbitrary-- यह किया गया है हो सकता है$(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$$S$$\sigma$$P_x$$\Omega=[0,1]$ , या कोई अन्य सेट।$[0,2]$

मेरे सवाल तो, क्यों एक मनमाना निर्माण परेशान है एक साथ σ -algebra और एक उपाय है, और से एक नक्शे के रूप में एक यादृच्छिक चर को परिभाषित σ असली लाइन के लिए -algebra? $\Omega$$\sigma$$\sigma$

Comments

ध्यान दें कि यादृच्छिक चर से R तक का कार्य है , B से R का नहीं । आवश्यकता यह है कि यादृच्छिक चर B के संबंध में औसत दर्जे का है । $\Omega$$\mathbb{R}$$\mathcal{B}$$R$$\mathcal{B}$

— mpiktas

Answer 1

यदि आप सोच रहे हैं कि यह सब मशीनरी का उपयोग क्यों किया जाता है जब कुछ बहुत सरल हो सकता है - आप सही हैं, अधिकांश सामान्य स्थितियों के लिए। हालाँकि, संभाव्यता के माप-सिद्धांत के संस्करण को कोलमोगोरोव ने इस तरह के सामान्यता के सिद्धांत को स्थापित करने के उद्देश्य से विकसित किया था कि यह कुछ मामलों में, बहुत ही सार और जटिल संभाव्यता स्थानों को संभाल सकता है। वास्तव में, कोल्मोगोरोव की संभावना के लिए सैद्धांतिक सिद्धांत की माप ने अंततः संभाव्य साधनों को हार्मोनिक विश्लेषण जैसे क्षेत्रों में आवेदन के अपने मूल इच्छित डोमेन से बहुत दूर लागू करने की अनुमति दी।

पहले तो यह किसी भी "अंतर्निहित" को छोड़ और अधिक सरल प्रतीत होता है -algebra Ω , और नमूना अंतरिक्ष सीधे शामिल हैं, के रूप में आप का प्रस्ताव किया है घटनाओं के लिए बस असाइन संभावना जनता के लिए। वास्तव में, जब भी वे P- ∘ X - 1 द्वारा परिभाषित नमूना स्थान पर "प्रेरित-माप" के साथ काम करना चुनते हैं, तो संभाव्य रूप से प्रभावी रूप से वही काम करते हैं । हालाँकि, जब आप अनंत आयामी स्थानों में जाने लगते हैं तो चीजें मुश्किल होने लगती हैं। मान लीजिए कि आप उचित सिक्कों को लहराने के विशिष्ट मामले के लिए बड़ी संख्याओं के मजबूत कानून को साबित करना चाहते हैं (अर्थात, सिर का अनुपात मनमाने ढंग से 1/2 के करीब हो जाता है क्योंकि सिक्के की संख्या अनंत तक जाती है)। आप σ के निर्माण का प्रयास कर सकते हैं$\sigma$$\Omega$$P \circ X^{-1}$$\sigma$प्रपत्र के अनंत दृश्यों के सेट पर -algebra । लेकिन यहाँ पा सकते हैं कि यह बहुत अधिक सुविधाजनक अंतर्निहित अंतरिक्ष लेने के लिए हो रहा है Ω = [ 0 , 1 ) ; और फिर सिक्के की नोक के अनुक्रमों का प्रतिनिधित्व करने के लिए वास्तविक संख्याओं (जैसे 0.10100 ... ) के द्विआधारी निरूपण का उपयोग करें (1 जा रहा है सिर, 0 पूंछ जा रहा है।) इस उदाहरण का एक उदाहरण बिलिंग्सले की संभाव्यता और के पहले कुछ अध्यायों में पाया जा सकता है। उपाय ।$(H,T,H,...)$$\Omega = [0,1)$$0.10100...$

Comments

धन्यवाद! मैं उस पुस्तक की जाँच करूँगा। हालांकि, बाद से अभी भी मनमाना है (यह सिर्फ रूप में अच्छी तरह से किया गया हो सकता है [ 0 , 2 ) अपने उदाहरण में, इकाई अंतराल है [ 0 , 1 ] या [ 0 , 1 ) 'पसंद' अंतरिक्ष जो सभी परिस्थितियों में काम करेंगे ? या क्या ऐसी परिस्थितियां हैं जहां आर 2 की तरह अधिक जटिल a फायदेमंद होगा? $\Omega$$[0,2)$$[0,1]$$[0,1)$$\Omega$$R^2$

— लियो वास्केज़

@Leo: हाँ। निरंतर समय स्टोकेस्टिक प्रक्रिया एक उदाहरण प्रदान करती है। विहित उदाहरण ब्राउनियन गति, जहां नमूना जगह नहीं है होना करने के लिए लिया जाता है सी , सभी निरंतर वास्तविक मूल्य कार्यों की जगह। $\Omega$$\mathcal{C}$

— कार्डिनल

@ एनआरएच, हां, मुझे कहना चाहिए था के बजाय लिया जा सकता है । मैं (कुछ उद्देश्यपूर्ण) ब्रश करने की कोशिश कर रहा था कि गलीचा के नीचे।

— कार्डिनल

@cardinal, @ Leo की टिप्पणी में पूछा गया था कि क्या सभी परिस्थितियों में 'पसंदीदा' है। मैं सिर्फ कह रहा हूँ कि ऐसी कोई नहीं है कि IMO Ω और इसके बारे में कुछ की आवश्यकता नहीं फायदेमंद है कि Ω सामान्य रूप में। आप एक विशिष्ट उदाहरण के साथ काम करना चाहते हैं, तो ऐसा कई कारणों से एक विशिष्ट चयन करने के लिए हो सकता है Ω । हालांकि, ध्यान दें कि 'टॉटोलॉजी' गलीचा के नीचे झाड़ू लगा रही है कि सी पर संभाव्यता के उपाय के रूप में ब्राउनियन गति का अस्तित्व स्थापित किया जाना चाहिए। $[0,1]$$\Omega$$\Omega$$\Omega$$\mathcal{C}$

— NRH

@NRH, आज मेरे मन की सुस्ती के लिए खेद है। मैं @ लियो की पिछली टिप्पणी के पसंदीदा संदर्भ को जोड़ने में विफल रहा । धन्यवाद। "टॉटोलॉजी" टिप्पणी के बारे में, मेरी बात यह थी कि अन्य निर्माणों में, नमूना पथों की निरंतरता एक प्रमेय है , जबकि, पहचान मानचित्र के साथ आधारित निर्माण के तहत , यह टॉटोलॉजिकल है। बेशक, तथ्य यह है कि बीएम का निर्माण इस तरह से किया जाना चाहिए पहले दिखाया जाना चाहिए। लेकिन, इस बिंदु के बगल में थोड़ा सा है। $\mathcal{C}$

— कार्डिनल

Answer 2

से संबंधित मुद्दों -algebras गणितीय बारीकियों, जो वास्तव में व्याख्या नहीं करते क्यों या अगर हम एक की जरूरत है पृष्ठभूमि अंतरिक्ष । वास्तव में, मैं कहूंगा कि इस बात का कोई बाध्यकारी प्रमाण नहीं है कि पृष्ठभूमि स्थान एक आवश्यकता है। किसी भी संभाव्य सेटअप के लिए ( ई , ई , μ ) जहां ई नमूना अंतरिक्ष, है ई σ -algebra और μ एक संभावना उपाय, हित में है μ , और कोई सार कारण है कि हम चाहते हैं μ छवि उपाय होने के लिए एक औसत दर्जे का नक्शा X : ( Ω , $\sigma$$(E, \mathbb{E}, \mu)$$E$$\mathbb{E}$$\sigma$$\mu$$\mu$$\mu$ ।$X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

हालांकि, एक अमूर्त पृष्ठभूमि स्थान का उपयोग गणितीय सुविधा देता है जो कई परिणाम अधिक प्राकृतिक और सहज दिखाई देता है। उद्देश्य हमेशा के बारे में कहने के लिए कुछ है , वितरण की एक्स , लेकिन यह आसान और अधिक स्पष्ट रूप से के रूप में व्यक्त किया जा सकता है एक्स ।$\mu$$X$$X$

एक उदाहरण केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा दिया गया है। यदि असली मतलब के साथ मूल्यवान आईआईडी रहे हैं μ और विचरण σ 2 CLT का कहना है कि पी ( $X_1, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$ जहांΦहै वितरण मानक सामान्य वितरण के लिए कार्य करते हैं। यदि का वितरणएक्समैंहैμउपाय के मामले में इसी परिणाम पढ़ता ρ

$$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$$ $\Phi$$X_i$$\mu$ कुछ शब्दावली की व्याख्या की जरूरत है के द्वारा।μ*nहमारा मतलबnकी -times घुमाव केμ(राशि का वितरण)। फ़ंक्शनρcरैखिक कार्य हैंρc(x)=cxऔर $$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$$ $\mu^{*n}$$n$$\mu$$\rho_c$$\rho_c(x) = cx$ अनुवाद है τ ξ ( एक्स ) = एक्स - ξ । एक शायद दूसरे सूत्रीकरण के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, लेकिन यह सब क्या है इसे छिपाने में एक अच्छा काम करता है।$\tau_{\xi}$$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

इस मुद्दे को लगता है कि सीएलटी में शामिल अंकगणितीय परिवर्तन यादृच्छिक चर के संदर्भ में काफी स्पष्ट रूप से व्यक्त किए गए हैं, लेकिन वे उपायों के संदर्भ में इतनी अच्छी तरह से अनुवाद नहीं करते हैं।

Comments

(+1) अच्छा विवरण। मुझे लगता है कि अन्य कारण पूर्व संकेतन इतना लोकप्रिय है कि यह अधिक स्वाभाविक रूप से अनुप्रयोगों में सहज ज्ञान युक्त धारणाओं का अनुवाद करता है। (कई घंटे पहले वोट दिया।)

— कार्डिनल

@ कार्डिनल, उस बिंदु को और अधिक स्पष्ट करने के लिए धन्यवाद। चर की राशि के संदर्भ में विचार करना और बहस करना अधिक स्वाभाविक लगता है, संभाव्यता के उपायों के प्रति आश्वस्त नहीं, और हम चाहते हैं कि गणित इसे प्रतिबिंबित करे।

— NRH

Answer 3

मैंने हाल ही में रैंडम वेरिएबल साथ-साथ बैकग्राउंड स्पेस led के बारे में सोचने के लिए इस नए तरीके पर ठोकर खाई । मुझे यकीन नहीं है कि क्या यह वह प्रश्न है जिसकी आप तलाश कर रहे थे, क्योंकि यह एक गणितीय कारण नहीं है, लेकिन मुझे लगता है कि यह आरवी के बारे में सोचने के लिए बहुत साफ तरीका प्रदान करता है।$X$$\Omega$

उस स्थिति की कल्पना करें जिसमें हम एक सिक्का फेंकते हैं। इस प्रायोगिक सेटअप में संभावित प्रारंभिक स्थितियों का एक सेट होता है, जिसमें सिक्का कैसे उछाला जाता है, इसका भौतिक विवरण शामिल होता है। पृष्ठभूमि स्थान में उन सभी संभावित प्रारंभिक स्थितियों के होते हैं। Simplicities के लिए हम यह मान सकते हैं कि सिक्का उछालों केवल वेग में भिन्नता है, तो हम स्थापित करेगा $\Omega = [0,v_{max}]$

यादृच्छिक चर तो एक समारोह है कि हर प्रारंभिक अवस्था नक्शे के रूप में सोचा जा सकता है ω ∈ Ω प्रयोग, यानी कि क्या यह पूंछ या सिर है की इसी परिणाम के साथ।$X$$\omega \in \Omega$

आर.वी. के लिए: उपाय क्यू तो अनुरूप होगा प्रारंभिक स्थितियों पर संभाव्यता को मापने के लिए, जो एक्स द्वारा दर्शाए गए प्रयोग की गतिशीलता के साथ है$X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$$Q$$X$ परिणामों पर संभाव्यता वितरण को निर्धारित करता है।

इस विचार के संदर्भ के लिए आप "प्रोबबिलिटीज इन फिजिक्स" (2011) में टिम मौडलिन के या माइकल स्ट्रेवेन्स के अध्यायों को देख सकते हैं।