क्या pdf और pmf और cdf में समान जानकारी है?

Question

क्या pdf और pmf और cdf में समान जानकारी है?

मेरे लिए पीडीएफ एक निश्चित बिंदु (मूल रूप से संभावना के तहत क्षेत्र) को पूरी संभावना देता है।

Pmf एक निश्चित बिंदु की संभावना देते हैं।

Cdf एक निश्चित बिंदु के तहत संभाव्यता देता है।

तो मेरे लिए pdf और cdf में समान जानकारी है, लेकिन pmf नहीं है क्योंकि यह xवितरण पर एक बिंदु के लिए संभावना देता है ।

Answer 1

जहां संभावना फ़ंक्शन और घनत्व * के बीच एक अंतर किया जाता है, pmf केवल यादृच्छिक चर असतत करने के लिए लागू होता है, जबकि पीडीएफ निरंतर यादृच्छिक चर पर लागू होता है।

* औपचारिक दृष्टिकोण दोनों को शामिल कर सकते हैं और उनके लिए एक शब्द का उपयोग कर सकते हैं

Cdf किसी भी रैंडम वैरिएबल पर लागू होता है, जिसमें वे भी शामिल हैं जिनमें न तो pdf है और न ही pmf।

(एक मिश्रित वितरण एक वितरण का एकमात्र मामला नहीं है जिसमें पीडीएफ या पीएमएफ नहीं है, लेकिन यह एक सामान्य स्थिति है - उदाहरण के लिए, एक दिन में बारिश की मात्रा, या दावों में भुगतान की गई राशि पर विचार करें। प्रॉपर्टी इंश्योरेंस पॉलिसी, जिसमें से कोई भी एक जीरो-इंफ़ॉर्मेड निरंतर वितरण द्वारा मॉडलिंग की जा सकती है)

एक यादृच्छिक चर के लिए CDF देता$X$$P(X\leq x)$

असतत यादृच्छिक चर लिए pmf , ।$X$$P(X=x)$

पीडीएफ स्वयं संभावनाएं नहीं देता है , लेकिन सापेक्ष संभावनाएं; निरंतर वितरण में बिंदु संभावनाएं नहीं होती हैं। Pdfs से प्रायिकता प्राप्त करने के लिए आपको कुछ अंतराल पर एकीकृत करने की आवश्यकता होती है - या दो cdf मानों का अंतर लेना।

इस सवाल का जवाब देना मुश्किल है कि 'क्या वे एक ही जानकारी रखते हैं' क्योंकि यह इस बात पर निर्भर करता है कि आपका क्या मतलब है। आप pdf से cdf (एकीकरण के माध्यम से), और pmf से cdf (समन के माध्यम से), और cdf से pdf (विभेदन के माध्यम से) और cdf से pmf (विभेदन के माध्यम से) तक जा सकते हैं, इसलिए यदि कोई pmf या pdf मौजूद है, इसमें cdf जैसी ही जानकारी है।

Comments

ग्लेन, क्या आप कुछ संदर्भ प्रदान करके मदद कर सकते हैं जहां मैं "पीडीएफ को रिश्तेदार संभावनाएं" दे सकता हूं? यह बहुत दिलचस्प है और मुझे यह याद नहीं है कि मैंने इसे अपनी किताबों में देखा है। धन्यवाद।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@ एलेकोस यह केवल इस तथ्य का स्पष्टीकरण है कि (शायद खराब तरीके से लिखा गया है) जबकि एक प्रायिकता नहीं है, क्योंकि में होने की संभावना है , तब को प्रायिकता के अनुपात के रूप में माना जा सकता है कि घनत्व एक चर के अनुपात के बहुत कम दूरी के भीतर है कि घनत्व एक चर समान अंतराल में है। इस अर्थ में यह 'सापेक्ष संभाव्यता' को व्यक्त करता है। $f(x)$$f(x)\,dx$$(x,x+dx)$$f(x)/g(x)$$f$$x$$g$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

समझा। यह निश्चित रूप से संभाव्यता के अनुपात के एक अनुमान के रूप में मान्य है, और निश्चित रूप से अनुभवजन्य घनत्व कार्यों में मौजूद है, जहां चीजें आवश्यकता के विपरीत हैं।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

Answer 2

पीएमएफ निरंतर यादृच्छिक चर के साथ असतत यादृच्छिक चर, पीडीएफ के साथ जुड़े हुए हैं। यादृच्छिक चर के किसी भी प्रकार के लिए , सीडीएफ हमेशा मौजूद है (और अद्वितीय है), जिसे रूप में परिभाषित किया गया है अब, यादृच्छिक चर के समर्थन सेट के आधार पर , घनत्व (या बड़े पैमाने पर कार्य) की आवश्यकता नहीं है। ( कैंटर सेट और कैंटर फ़ंक्शन पर विचार करें , यूनिट के अंतराल के केंद्र 1/3 को हटाकर सेट को पुन: परिभाषित किया जाता है, फिर अंतराल के लिए प्रक्रिया को दोहराते हुए (0, 1/3) और (2/3, 1), आदि। । फ़ंक्शन को रूप में परिभाषित किया गया , यदि कैंटर सेट में है, और कैंटर सेट में सबसे बड़ी निचली सीमा तो

$$F_X(x) = P\{X \leq x\}.$$ $X$$C(x) = x$$x$$x$यदि आप यदि और यदि , तो कैंटर फंक्शन एक अच्छा वितरण कार्य है । लेकिन इस cdf का घनत्व नहीं है: हर जगह निरंतर है लेकिन इसका व्युत्पन्न लगभग हर जगह 0 है। किसी भी उपयोगी उपाय के संबंध में कोई घनत्व नहीं।$C(x)= 0$$x < 0$$C(x) = 1$$1 < x$$C(x)$

तो, आपके प्रश्न का उत्तर है, यदि कोई घनत्व या द्रव्यमान फ़ंक्शन मौजूद है, तो यह कुछ उपाय के संबंध में सीडीएफ का व्युत्पन्न है। उस अर्थ में, वे "समान" जानकारी ले जाते हैं। लेकिन, पीडीएफ और पीएमएफ मौजूद नहीं हैं। सीडीएफ मौजूद होना चाहिए।

Comments

डेनिस, क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि " किसी भी माप के संबंध में कोई घनत्व नहीं " वाक्यांश से आपका क्या मतलब है ? निश्चित रूप से यह अपने आप में एक घनत्व (समान!) है।

— कार्डिनल

$\mu$$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$$\mu$$C(x)$कोई आरएन व्युत्पन्न नहीं है।

— डेनिस

$\sigma$

Answer 3

अन्य उत्तर इस तथ्य की ओर इशारा करते हैं कि सीडीएफ मौलिक हैं और मौजूद होने चाहिए, जबकि पीडीएफ और पीएमएफ जरूरी नहीं हैं और जरूरी नहीं है।

$S^1$

मुझे ऐसा लगता है कि इसका उत्तर यह है कि मौलिक कार्य संभाव्यता माप है , जो नमूना स्थान के प्रत्येक (माने हुए) सबसेट को संभाव्यता के लिए मैप करता है। फिर, जब वे मौजूद होते हैं, तो सीडीएफ, पीडीएफ और पीएमएफ संभाव्यता माप से उत्पन्न होते हैं।

Comments

जिस तरह से मैंने इसे देखा है, अधिकांश पाठ्य पुस्तकें "यादृच्छिक चर" को एक नमूना स्थान से वास्तविक संख्याओं तक मानचित्रण करने के लिए परिभाषित करती हैं। अनिवार्य रूप से, एक "यादृच्छिक चर" वास्तविक मूल्य है।

— नील जी

$(\mathbb{R}, \frak{B}, \mathrm{F})$$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$$\Omega$$\mu$ $$F_X(x) = \mu\{\omega\, |\, X(\omega) \leq x\}.$$