एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरी - शो: नॉर्मल टू गंबल

की अधिकतम iid Standardnormals चरम मान सिद्धांत के अनुसार मानक Gumbel वितरण में परिवर्तित होता है । $X_1,\dots,X_n. \sim$

हम उसे कैसे दिखा सकते हैं?

हमारे पास है

P (max X_{i} \leq x) = P (X_{1} \leq x, \dots, X_{n} \leq x) = P (X_{1} \leq x) \dots P (X_{n} \leq x) = F (x)^{n}

$P(\max X_i \leq x) = P(X_1 \leq x, \dots, X_n \leq x) = P(X_1 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) = F(x)^n$

हमें $a_n>0,b_n\in\mathbb{R}$ स्थिरांक के अनुक्रमों को खोजने / चुनने की आवश्यकता है:

F {(a_{n} x + b_{n})}^{n} \to^{n \to \infty} G (x) = e^{- \exp (- x)}

$F\left(a_n x+b_n\right)^n\rightarrow^{n\rightarrow\infty} G(x) = e^{-\exp(-x)}$

क्या आप इसे हल कर सकते हैं या इसे साहित्य में पा सकते हैं?

कुछ उदाहरण हैं pg.6 / 71 , लेकिन सामान्य मामले के लिए नहीं:

Φ {(a_{n} x + b_{n})}^{n} = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{a_{n} x + b_{n}} e^{- \frac{y^{2}}{2}} d y)}^{n} \to e^{- \exp (- x)}

$\Phi\left(a_n x+b_n\right)^n=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a_n x+b_n} e^{-\frac{y^2}{2}}dy\right)^n\rightarrow e^{-\exp(-x)}$

— emcor
स्रोत

जवाबों:

एक अप्रत्यक्ष तरीका, इस प्रकार है:
बिल्कुल निरंतर वितरण के लिए, रिचर्ड वॉन मिसेस (1936 के पेपर में "ला डिस्ट्रीब्यूशन डे ला प्लस ग्रांड डे वेलर्स" , जो अंग्रेजी में पुन: प्रस्तुत किया गया प्रतीत होता है? - 19 वीं संस्करण में चयनित के साथ? उनके कागजात), ने मानक गमबेल, परिवर्तित करने के लिए नमूने की अधिकतम के लिए निम्नलिखित पर्याप्त स्थिति प्रदान की है : $G(x)$

बता दें कि iid रैंडम वैरिएबल का कॉमन डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन है , और उनका कॉमन डेंसिटी है। तो अगर $F(x)$ $n$ $f(x)$

lim_{x \to F^{- 1} (1)} (\frac{d}{d x} \frac{(1 - F (x))}{f (x)}) = 0 \Rightarrow X_{(n)} \overset{d}{\to} G (x)

$\lim_{x\rightarrow F^{-1}(1)}\left (\frac d{dx}\frac {(1-F(x))}{f(x)}\right) =0 \Rightarrow X_{(n)} \xrightarrow{d} G(x)$

मानक सामान्य के लिए सामान्य अंकन का उपयोग करना और व्युत्पन्न की गणना करना, हमारे पास है

\frac{d}{d x} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} = \frac{- ϕ (x)^{2} - ϕ^{'} (x) (1 - Φ (x))}{ϕ (x)^{2}} = \frac{- ϕ^{'} (x)}{ϕ (x)} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1

$\frac d{dx}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)} = \frac {-\phi(x)^2-\phi'(x)(1-\Phi(x))}{\phi(x)^2} = \frac {-\phi'(x)}{\phi(x)}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1$

ध्यान दें कि । इसके अलावा, सामान्य वितरण के लिए, । इसलिए हमें सीमा का मूल्यांकन करना होगा $\frac {-\phi'(x)}{\phi(x)} =x$ $F^{-1}(1) = \infty$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1)

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right)$

लेकिन मिल के अनुपात से पता है, और हम जानते हैं कि मानक सामान्य के लिए मिल के अनुपात जाता है के रूप में बढ़ता है। इसलिए $\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}$ $1/x$ $x$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1) = x \frac{1}{x} - 1 = 0

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right) = x\frac {1}{x}-1= 0$

और पर्याप्त स्थिति संतुष्ट है।

संबंधित श्रृंखला

a_{n} = \frac{1}{n ϕ (b_{n})}, b_{n} = Φ^{- 1} (1 - 1 / n)

$a_n = \frac 1{n\phi(b_n)},\;\;\; b_n = \Phi^{-1}(1-1/n)$

परिशिष्ट

यह ch से है। 10.5 एचए डेविड एंड एचएन नागराजा (2003), "ऑर्डर स्टेटिस्टिक्स" (3 डी संस्करण) पुस्तक ।

$\xi_a = F^{-1}(a)$ । इसके अलावा, डी हैन का संदर्भ "हैन, एलडी (1976) है। नमूना चरम: एक प्रारंभिक परिचय। स्टेटिस्टिका नीरलैंडिका, 30 (4), 161-172। " लेकिन सावधान रहें क्योंकि कुछ संकेतन में डी हैन में अलग सामग्री है -। उदाहरण के लिए पुस्तक में प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है, जबकि de Haan अर्थ है पुस्तक का फ़ंक्शन (मिल का अनुपात)। इसके अलावा, डे हैन पहले से विभेदित पर्याप्त स्थिति की जांच करता है। $f(t)$ $f(t)$ $w(t)$

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपके समाधान को समझ पाया हूं। तो आप को मानक सामान्य सीडीएफ होने के लिए ले गए । मैंने इसके माध्यम से अनुसरण किया और सहमत हूं कि पर्याप्त स्थिति संतुष्ट है। लेकिन संबंधित श्रृंखला और उन सभी द्वारा अचानक कैसे दी गई है?

F

$F$

a_{n}

$a_n$

b_{n}

$b_n$

— रेनरीथेम्स्टर

@renrenthehamster मुझे लगता है कि इन दो भागों को स्वतंत्र रूप से (कोई सीधा संबंध नहीं) कहा गया है।

— जूल

और इसलिए संबंधित श्रृंखला कैसे प्राप्त की जा सकती है? वैसे भी, मैंने इस मुद्दे के बारे में एक सवाल खोला (और आम तौर पर, मानक सामान्य से परे अन्य वितरणों के लिए)

— renrenthehamster

@renrenthehamster I ने प्रासंगिक सामग्री जोड़ी है। मुझे विश्वास नहीं है कि इन श्रृंखलाओं को खोजने के लिए सभी मामलों के लिए एक मानक नुस्खा है।

— एलेकोस पापाडोपोलस

प्रश्न दो बातें पूछता है: (१) यह कैसे दिखाया जाए कि अधिकतम अभिसरण करता है, इस अर्थ में कि धर्मान्तरित (वितरण में) उपयुक्त रूप से चुनी गई जानकारी के लिए और , स्टैण्डर्ड गंबल डिस्ट्रीब्यूशन और (2) इस तरह के सीक्वेंस को कैसे खोजें। $X_{(n)}$ $(X_{(n)}-b_n)/a_n$ $(a_n)$ $(b_n)$

पहले फिशर-टिपेट-गेडेंको प्रमेय (एफटीजी) पर मूल पत्रों में अच्छी तरह से जाना जाता है और प्रलेखित है। दूसरा अधिक कठिन प्रतीत होता है; इस मुद्दे को यहाँ संबोधित किया गया है।

कृपया ध्यान दें, इस धागे में कहीं और दिखाई देने वाले कुछ कथनों को स्पष्ट करने के लिए

अधिकतम किसी भी चीज़ के लिए अभिसरण नहीं करता है : यह विचलन करता है (यद्यपि बहुत धीरे-धीरे)।
Gumbel वितरण के विषय में अलग-अलग सम्मेलन दिखाई देते हैं। मैं उस कन्वेंशन को अपनाऊंगा, जो कि उल्टे गंबल डिस्ट्रीब्यूशन का सीडीएफ , स्केल और लोकेशन तक, द्वारा दिया गया है । एक सामान्य रूप से मानकीकृत आईआईडी सामान्य चर एक उलट गमबेल वितरण में परिवर्तित होता है। $1-\exp(-\exp(x))$

सहज बोध

जब सामान्य वितरण फ़ंक्शन साथ iid होता है , तो अधिकतम का वितरण होता है $X_i$ $F$ $X_{(n)}$

F_{n} (x) = Pr (X_{(n)} \leq x) = Pr (X_{1} \leq x) Pr (X_{2} \leq x) \dots Pr (X_{n} \leq x) = F^{n} (x) .

$F_n(x) = \Pr(X_{(n)}\le x) = \Pr(X_1 \le x)\Pr(X_2 \le x) \cdots \Pr(X_n \le x) = F^n(x).$

जब के समर्थन की कोई ऊपरी सीमा नहीं होती है, जैसा कि एक सामान्य वितरण के साथ होता है, तो कार्य का क्रम बिना किसी सीमा के हमेशा के लिए मार्च करता है: $F$ $F^n$

लिए आंशिक रेखांकन दिखाए गए हैं। $F_n$ $n=1,2,2^2, 2^4, 2^8, 2^{16}$

इन वितरणों के आकार का अध्ययन करने के लिए , हम प्रत्येक को कुछ राशि द्वारा बाईं ओर वापस शिफ्ट कर सकते हैं और इसे उनके द्वारा तुलनीय बनाने के लिए द्वारा करते हैं। $b_n$ $a_n$

पिछले रेखांकन में से प्रत्येक को इसके माध्यिका को और यूनिट की लंबाई के बीच की अंत: सीमा को बनाने के लिए स्थानांतरित कर दिया गया है । $0$

एफटीजी का दावा है कि अनुक्रम और को चुना जा सकता है ताकि ये वितरण कार्य हर पर पॉइंटवाइज को कुछ चरम मान वितरण , स्केल और स्थान तक परिवर्तित कर सकें । जब एक सामान्य वितरण होता है, तो विशेष रूप से चरम मूल्य वितरण को सीमित स्थान और पैमाने पर एक उलट गंबेल है। $(a_n)$ $(b_n)$ $x$ $F$

समाधान

इकाई माध्य और इकाई विचरण के लिए का मानकीकरण करके केंद्रीय सीमा प्रमेय का अनुकरण करना प्रलोभन है । यह अनुचित है, हालांकि, भाग में, क्योंकि एफटीजी (निरंतर) वितरण पर भी लागू होता है जिसमें पहले या दूसरे क्षण नहीं होते हैं। इसके बजाय, स्थान निर्धारित करने के लिए प्रतिशत (जैसे कि माध्यिका) का उपयोग करें और प्रसार को निर्धारित करने के लिए प्रतिशत (जैसे IQR) का अंतर निर्धारित करें। (यह सामान्य दृष्टिकोण किसी भी निरंतर वितरण के लिए और खोजने में सफल होना चाहिए ।) $F_n$ $a_n$ $b_n$

मानक सामान्य वितरण के लिए, यह आसान हो जाता है! आज्ञा दें । का एक quantile करने के लिए इसी किसी भी मूल्य है जिसके लिए । की परिभाषा को याद करते हुए , समाधान है $0 \lt q \lt 1$ $F_n$ $q$ $x_q$ $F_n(x_q) = q$ $F_n(x) = F^n(x)$

x_{q; n} = F^{- 1} (q^{1 / n}) .

$x_{q;n} = F^{-1}(q^{1/n}).$

इसलिए हम सेट कर सकते हैं

b_{n} = x_{1 / 2; n}, a_{n} = x_{3 / 4; n} - x_{1 / 4; n}; G_{n} (x) = F_{n} (a_{n} x + b_{n}) .

$b_n = x_{1/2;n},\ a_n = x_{3/4;n} - x_{1/4;n};\ G_n(x) = F_n(a_n x + b_n).$

क्योंकि, निर्माण के द्वारा, का माध्य और इसका IQR , के सीमित मूल्य का माध्यिका (जो कि उलटा गुंबेल का कुछ संस्करण है) होना चाहिए और इसका IQR होना चाहिए । स्केल पैरामीटर होने दें और स्थान पैरामीटर । के बाद से मंझला है और IQR आसानी से पाया जाता है $G_n$ $0$ $1$ $G_n$ $0$ $1$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha + \beta \log\log(2)$ , पैरामीटर होना चाहिए $\beta(\log\log(4) - \log\log(4/3))$

α = \frac{\log \log 2}{\log \log (4 / 3) - \log \log (4)}; β = \frac{1}{\log \log (4) - \log \log (4 / 3)} .

$\alpha = \frac{\log\log 2}{\log\log(4/3) - \log\log(4)};\ \beta = \frac{1}{\log\log(4) - \log\log(4/3)}.$

इसके लिए जरूरी नहीं है और होने के लिए वास्तव में वे केवल उन्हें अनुमानित आवश्यकता है, की सीमा प्रदान की है: इन मूल्यों है अभी भी इस उलट Gumbel वितरण। एक सामान्य सामान्य लिए सीधा (लेकिन थकाऊ) विश्लेषण इंगित करता है कि सन्निकटन $a_n$ $b_n$ $G_n$ $F$

a_{n}^{'} = \frac{\log ((4 \log^{2} (2)) / (\log^{2} (\frac{4}{3})))}{2 \sqrt{2 \log (n)}}, b_{n}^{'} = \sqrt{2 \log (n)} - \frac{\log (\log (n)) + \log (4 π \log^{2} (2))}{2 \sqrt{2 \log (n)}}

$a_n^\prime = \frac{\log \left(\left(4 \log^2(2)\right)/\left(\log^2\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)}{2\sqrt{2\log (n)}},\ b_n^\prime = \sqrt{2\log (n)}-\frac{\log (\log (n))+\log \left(4 \pi \log ^2(2)\right)}{2 \sqrt{2\log (n)}}$

ठीक काम करेगा (और यथासंभव सरल हैं)।

हल्के नीले रंग घटता के आंशिक रेखांकन कर रहे हैं के लिए अनुमानित दृश्यों का उपयोग करते हुए और । गहरे लाल लाइन उलट Gumbel वितरण मानकों के साथ ग्राफ़ बनाता है और । अभिसरण स्पष्ट है (हालांकि नकारात्मक लिए अभिसरण की दर काफ़ी धीमी है)। $G_n$ $n=2, 2^6, 2^{11}, 2^{16}$ $a_n^\prime$ $b_n^\prime$ $\alpha$ $\beta$ $x$

संदर्भ

बी.वी. गेदेंको, एक यादृच्छिक श्रृंखला में अधिकतम अवधि के सीमित वितरण पर । कोट्ज़ एंड जॉनसन में, सांख्यिकी वॉल्यूम I में नींव: मूल और मूल सिद्धांत, स्प्रिंगर, 1992। नॉर्मन जॉनसन द्वारा अनुवादित।

— व्हीबर
स्रोत

के लिए Alecos पद में सूत्र @Vossler

के लिए converges

के रूप में

। यह तरह बर्ताव करता है

बड़े के लिए

।

a_{n}

$a_n$

0

$0$

n \to \infty

$n\to\infty$

{(2 \log (n) - \log (2 π))}^{- 1 / 2}

$\left(2 \log(n) - \log(2\pi)\right)^{-1/2}$

n

$n$

— whuber

हां, यह सच है, मुझे अपनी टिप्पणी पोस्ट करने के तुरंत बाद इसका एहसास हुआ, इसलिए मैंने इसे तुरंत हटा दिया। धन्यवाद!

— वोस्लर

a_{n}

$a_n$

b_{n} .

$b_n.$

@ यह बेहतर है, क्योंकि वैकल्पिक दृष्टिकोण का प्रदर्शन इस उत्तर को लिखने की प्रेरणा थी। मैं आपके इस आग्रह को नहीं समझता कि मैंने इसे "उत्तर लिखने के लिए बेकार" माना, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से मैंने यहाँ किया है।

— व्हिबर

@ मुझे लगता है कि मैं इस बातचीत को जारी नहीं रख सकता क्योंकि यह पूरी तरह से एकतरफा है: मैंने अभी तक आपके किसी भी चरित्र चित्रण में जो कुछ भी लिखा है उसे पहचानना है। मैं पीछे रहते हुए छोड़ रहा हूँ।

— व्हिबर