एक अधिक सकारात्मक तथ्य निम्नलिखित है।
यदि आप उस आवश्यकता को छोड़ देते हैं, जिससे संभाव्यता का माप योगात्मक रूप से जोड़ा जा सकता है, और केवल आवश्यकता होती है, इसके बजाय, कि यह सूक्ष्म रूप से योज्य (सिर्फ इस प्रश्न के लिए) है, तो तर्कसंगत संख्याओं के लिए उत्तर "हां" है।
तर्कसंगत संख्याएं एक योजक समूह हैं क्योंकि एक दो तर्कसंगत संख्याओं को जोड़ सकता है, एक तटस्थ तत्व है, शून्य है, और किसी भी में एक additive व्युत्क्रम ।
अब, कोई तर्कसंगत संख्याओं को असतत टोपोलॉजी से लैस कर सकता है ताकि वे एक असतत समूह हों । (यह महत्वपूर्ण है क्योंकि अन्य संदर्भों में ऐसा नहीं करना अधिक सुविधाजनक है और उन पर एक और टोपोलॉजी रखना है।) - जेड ∈ क्यू z + y = y + z μ μ ( z + एक ) = μ ( ए ) एक ⊂ क्यू z ∈ क्यू μ μ ( { z } ) = 0 जेड ∈ क्यू ( क्यू , μ ) μ μ μ μz∈Q−z∈Q
असतत समूह के रूप में देखे जाने पर, वे एक गणना योग्य असतत समूह भी हैं क्योंकि केवल कुछ तर्कसंगत संख्याएँ हैं।
इसके अलावा, वे एक एबेलियन समूह हैं क्योंकि तर्कसंगत संख्याओं के किसी भी जोड़े के लिए ।
अब, परिमेय संख्याओं को, एक गणनीय असतत समूह के रूप में देखा जाता है, एक उभयलिंगी समूह हैं। एक एमेनबल असतत समूह की परिभाषा के लिए यहां देखें । यहाँ यह दिखाया गया है कि प्रत्येक गणनीय एबेलियन असतत समूह अमेनबल है। विशेष रूप से, यह तर्कसंगत संख्याओं के समूह पर लागू होता है।
इसलिए, एक एमनेबल असतत समूह की बहुत परिभाषा से, परिमेय संख्याओं पर एक बारीक योज्य संभावना मापक मौजूद है जो कि अनुवाद अपरिवर्तनीय है, जिसका अर्थ हैz+y=y+z
μμ(z+A)=μ(A)किसी भी सबसेट और किसी भी परिमेय संख्या लिए ।
यह संपत्ति "एकरूपता" को परिभाषित करने का सहज तरीका शामिल करती है। जरूरी सभी परिमित सबसेट पर गायब हो जाता है: सभी ।
यदि आप प्रायिकता माप के बजाय एक यादृच्छिक चर चाहते हैं, तो बस संभावना स्थान पर पहचान फ़ंक्शन पर विचार करें । यह इस तरह के एक आवश्यक यादृच्छिक चर देता है।
इसलिए, यदि आप संभाव्यता की अपनी परिभाषा को थोड़ा शिथिल करते हैं, तो आप तर्कसंगत संख्याओं के लिए सकारात्मक उत्तर के साथ समाप्त होते हैं।
शायद, का अस्तित्वA⊂Qz∈Q
μμ({z})=0z∈Q
(Q,μ)
μथोड़ा प्रति-सहज लगता है। खाते में लेने से का एक बेहतर विचार प्राप्त कर सकते हैं कि अनुवाद-इनवेरियन का सीधा परिणाम यह है कि सभी तर्कसंगत संख्याओं का माप जिनकी मंजिल समान है, एक आधा है; इसके अलावा, विषम मंजिल वाले लोगों का माप एक आधा है, और इसी तरह।
वह माप जो हमने अभी अस्तित्व में दिखाया था, यह भी जरूरी है कि सभी बंधे हुए उप-भागों पर गायब हो जाए (जैसा कि एक समान तर्क के साथ दिखा सकते हैं), विशेष रूप से इकाई अंतराल पर।
इसलिए, तुरंत इकाई अंतराल में तर्कसंगत संख्याओं के लिए एक उत्तर नहीं देता है। किसी ने सोचा होगा कि उत्तर सभी तर्कसंगत संख्याओं के बजाय इकाई अंतराल में तर्कसंगत संख्याओं के लिए देना आसान है, लेकिन यह चारों ओर का दूसरा तरीका है।μ
μ
μ
(हालांकि, यह भी लगता है कि कोई समान गुणों के साथ इकाई अंतराल में तर्कसंगत संख्याओं पर एक संभावना माप कर सकता है, लेकिन जवाब में फिर "एकरूपता" की अधिक सटीक परिभाषा की आवश्यकता होगी - शायद "अनुवाद-" की तर्ज पर कुछ। अपरिवर्तनीय जब भी अनुवाद इकाई अंतराल के बाहर नहीं होता है। ")
अद्यतन: आप तुरंत इकाई अंतराल तर्कसंगत पर एक माप प्राप्त करते हैं जो उस अर्थ में एक समान होता है, तर्कसंगत रूप से, जिस पर हमने निर्माण किया था, के पुश-फॉरवर्ड माप पर विचार करके। तर्कसंगत से इकाई अंतराल के नक्शे के साथ-साथ तर्कसंगत जो प्रत्येक तर्कसंगत को इसके आंशिक भाग में मैप करते हैं।
इसलिए, परिमितता को कम करने की आवश्यकता को शिथिल करने के बाद, आप उन दोनों मामलों में ऐसे उपायों को प्राप्त करते हैं, जिनका आपने उल्लेख किया है।