एक असतत आरवी का निर्माण करना में सभी युक्तियों का समर्थन करता है।

Question

यह इस सवाल का रचनात्मक उत्तरकथा है ।

यदि हमारे पास एक असतत समरूप रैंडम वैरिएबल नहीं हो सकता है, जो इंटरवल में सभी युक्तियों का समर्थन करता है , तो अगली सबसे अच्छी बात यह है: $[0,1]$

एक यादृच्छिक चर निर्माण करें जिसमें यह समर्थन है, , और यह कुछ वितरण का अनुसरण करता है। और मुझ में शिल्पकार की आवश्यकता है कि इस यादृच्छिक चर रहा है निर्माण मौजूदा वितरण से, बजाय सिद्धांत को परिभाषित है कि हम क्या प्राप्त करने के लिए इच्छा के द्वारा बनाई गई।$Q$$Q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

तो मैं निम्नलिखित के साथ आया:

चलो एक असतत यादृच्छिक पैरामीटर के साथ ज्यामितीय वितरण-संस्करण द्वितीय निम्नलिखित परिवर्तनशील हो , अर्थात्$X$$0<p<1$

$$X \in \{0,1,2,...\},\;\;\;\; P(X=k) = (1-p)^kp,\;\;\; F_X(X) = 1-(1-p)^{k+1}$$

भी करते हैं $Y$ एक असतत यादृच्छिक समान पैरामीटर के साथ ज्यामितीय वितरण-संस्करण मैं निम्नलिखित परिवर्तनशील हो $p$ , अर्थात्

$$Y \in \{1,2,...\},\;\;\;\; P(Y=k) = (1-p)^{k-1}p,\;\;\; F_Y(Y) = 1-(1-p)^k$$

$X$ और $Y$ स्वतंत्र हैं। अब यादृच्छिक चर को परिभाषित करें

$$Q = \frac {X}{Y}$$

और सशर्त वितरण पर विचार करें

$$P(Q\leq q \mid \{X\leq Y\})$$

ढीला शब्दों में "सशर्त $Q$ के अनुपात है $X$ से अधिक $Y$ पर सशर्त $X$ छोटे या से बराबर होने के $Y$ ।" इस सशर्त वितरण का समर्थन $\{0,1,1/2,1/3,...,1/k,1/(k+1),...,2/3,2/4,...\} = \mathbb{Q}\cap[0,1]$ ।

"प्रश्न" है: क्या कोई कृपया संबंधित सशर्त संभाव्यता जन फ़ंक्शन प्रदान कर सकता है?

एक टिप्पणी में पूछा गया कि "क्या इसे बंद कर दिया जाना चाहिए?" चूँकि आजकल एक बंद रूप का गठन इतना स्पष्ट नहीं है, मुझे इसे इस तरह से करना चाहिए: हम एक कार्यात्मक रूप की खोज कर रहे हैं जिसमें हम एक परिमेय संख्या को [0,1] से इनपुट कर सकें $[0,1]$, और संभाव्यता प्राप्त कर सकते हैं (कुछ के लिए) निश्चित रूप से पैरामीटर $p$ का मूल्य ), pmf के सूचक ग्राफ के लिए अग्रणी है। और फिर $p$ को देखने के लिए भिन्न होता है कि ग्राफ़ कैसे बदलता है।

यदि यह मदद करता है, तो हम समर्थन के एक या दोनों सीमाएं खोल सकते हैं, हालांकि ये वेरिएंट हमें निश्चित रूप से pmf के ऊपरी और / या निचले मूल्यों को ग्राफ करने की क्षमता से वंचित करेंगे । इसके अलावा, यदि हम ऊपरी बाउंड को खोलते हैं, तो हमें कंडीशनिंग इवेंट विचार करना चाहिए ।$\{X<Y\}$

वैकल्पिक रूप से, मैं अन्य आरवी का भी स्वागत करता हूं जिनके पास यह समर्थन (ओं) हैं, जब तक वे अपने पीएमएफ के साथ आते हैं ।

मैंने जियोमेट्रिक डिस्ट्रीब्यूशन का उपयोग किया क्योंकि इसमें आसानी से दो वेरिएंट उपलब्ध हैं, जिसमें से एक भी समर्थन में शून्य नहीं है (ताकि शून्य से विभाजन से बचा जाए)। जाहिर है, कोई अन्य असतत आरवी का उपयोग कर सकता है, कुछ ट्रंकेशन का उपयोग कर सकता है।

मैं निश्चित रूप से इस प्रश्न पर एक इनाम दूंगा, लेकिन सिस्टम तुरंत इसकी अनुमति नहीं देता है।

Comments

क्या आपका मतलब है ? (एक यादृच्छिक चर को किसी चीज पर सशर्त रूप से परिभाषित करने का कोई मतलब नहीं है, आप केवल इसके वितरण को इस तरह से परिभाषित कर सकते हैं)$Q = \frac {X}{Y} {\boldsymbol 1}_{\{X\leq Y\}}$

— स्टीफन लॉरेंट

आपका क्यू गिनने योग्य है: आप जानते हैं कि N = {1, 2, ...} और Q. के बीच 1-1 पत्राचार मौजूद है। यदि आपको ऐसा कोई पत्राचार मिल जाए, तो समाधान होगा कि आप N पर कोई वितरण चुनें और उसका उपयोग करें प्र। के संगत तत्व को चुनने के लिए

— एड्रियन

वैसे भी आपको प्रत्येक इर्रेड्यूबल अंश लिए गणना करनी होगी और यह । p / q Pr ( X = p , X = 2 p , … ) × Pr ( Y = q , Y = 2 q , … $Pr(X/Y=p/q)$$p/q$$\Pr(X=p, X=2p, \ldots)\times\Pr(Y=q, Y=2q, \ldots)$

— स्टीफन लॉरेंट

क्या pmf प्रदान करने की आवश्यकता का मतलब है कि एक बंद-फॉर्म की आवश्यकता है? या, उदाहरण के लिए, स्थिति को पूरा करने के लिए @ StéphaneLaurent की अनंत राशि पर्याप्त है?

— जुहो कोक्कल

चलो और वाई अपनी पोस्ट में आर.वी.। P r [ Q = q ] = P r [ Y = f - 1 ( q ) $f: N \rightarrow \mathbb{Q}\cap[0,1]$$Pr[Q =q] = Pr[Y = f^{-1}(q)]$

— एड्रियन

Answer 1

असतत वितरण पर विचार सेट पर समर्थन के साथ संभावना जनता के साथ$F$$\{(p,q)\,|\, q \ge p \ge 1\}\subset \mathbb{N}^2$

$$F(p,q) = \frac{3}{2^{1+p+q}}.$$

यह आसानी से सारांशित है (इसमें शामिल सभी श्रृंखला ज्यामितीय हैं) यह प्रदर्शित करने के लिए कि वास्तव में एक वितरण है (कुल संभावना एकता है)।

किसी भी नॉनज़ेरो रेशनल नंबर लिए को सबसे कम शब्दों में इसका प्रतिनिधित्व दें: अर्थात, और ।a / b = x b > 0 gcd ( a , b $x$$a/b=x$$b\gt 0$$\gcd(a,b)=1$

जी [ 0 , 1 ] ∩ $F$ नियमों के माध्यम से पर असतत वितरण को प्रेरित करता है$G$$[0,1]\cap \mathbb{Q}$

$$G(x) = G\left(\frac{a}{b}\right) = \sum_{n=1}^\infty F\left(an, bn\right)=\frac{3}{2^{1+a+b}-2}.$$

(और )। प्रत्येक परिमेय संख्या में में नॉनजेरो संभावना है (यदि आपको सकारात्मक संभावना वाले मानों में को शामिल करना चाहिए , तो बस कुछ संभाव्यता को दूसरी संख्या से दूर ले जाएं - जैसे - और इसे असाइन करें ।)( 0 , 1 ] 0 1 $G(0)=0$$(0,1]$$0$$1$$0$

इस निर्माण को समझने के लिए, इस चित्रण को देखें :$F$

पी , क्यू एफ पी / क्यू पी क्यू ० १ जी जी जी ( १ ) १ एफ $F$ सभी बिंदुओं पर संभाव्यता द्रव्यमान देता है सकारात्मक अभिन्न निर्देशांक के साथ। मानों को गोलाकार प्रतीकों के रंगीन क्षेत्रों द्वारा दर्शाया गया है। कथानक में दिखने वाले निर्देशांक और सभी संभावित संयोजनों के लिए लाइनों में ढलान । वे उसी तरह से रंगीन होते हैं जिस तरह से गोल प्रतीक हैं: उनकी ढलानों के अनुसार। इस प्रकार, ढाल (जो स्पष्ट रूप से पर्वतमाला के माध्यम से ) और करने के लिए रंग के अनुरूप तर्क की और के मूल्यों प्रत्येक रेखा पर स्थित सभी हलकों के क्षेत्रों संक्षेप द्वारा प्राप्त कर रहे हैं। उदाहरण के लिए,$p,q$$F$$p/q$$p$$q$$0$$1$$G$$G$$G(1)$ = द्वारा दिए गए ढलान के मुख्य विकर्ण के साथ सभी (लाल) हलकों के क्षेत्रों को संक्षेप में प्राप्त किया जाता है। ।$1$3 / 8 + 3 / 32 + 3 / 128 + ⋯ = 1 /$F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+\cdots$$3/8 + 3/32 + 3/128 + \cdots = 1/2$

यह आंकड़ा को एक अनुमान दिखाता है कि को सीमित करके प्राप्त किया गया है : यह अपने मूल्यों को माध्यम से से लेकर परिमेय संख्याओं पर प्लॉट करता है । सबसे बड़ी संभाव्यता द्रव्यमान ।क्यू ≤ $G$$q\le 100$1 / 100 $3044$$1/100$$1$$\frac{1}{2},\frac{3}{14},\frac{1}{10},\frac{3}{62},\frac{3}{62},\frac{1}{42},\ldots$

यहां का पूरा सीडीएफ (छवि के रिज़ॉल्यूशन के लिए सटीक) है। छः नंबर सिर्फ सूचीबद्ध छलांग के आकार देते हैं, लेकिन सीडीएफ के हर हिस्से में बिना किसी अपवाद के कूदता है।$G$

Comments

धन्यवाद! मैं निर्माण को समझने की प्रक्रिया में हूं। बस दो प्रश्न: ए) द्विभाजित है, लेकिन अभिव्यक्ति में इसे से जोड़ने पर यह अविभाज्य के रूप में प्रकट होता है। क्या मैं कुछ भूल रहा हूँ? और बी) चूंकि अविभाज्य है, मुझे लगता है कि प्रभावशाली रूप से पहले ग्राफ में सभी डॉट्स क्षैतिज अक्ष पर एक अलग मान का प्रतिनिधित्व करते हैं (हालांकि निश्चित रूप से यह इस तरह से ईमानदारी से प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है), क्या मैं सही हूं? जी $F$$G$$G$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

मैं केवल एक आंकड़ा पूरा कर रहा था जो आपकी टिप्पणी, एलेकोस को संबोधित कर सकता है, और इसे उत्तर में जोड़ दिया है। ध्यान दें कि मैं किसी भी असतत वितरण साथ शुरू कर सकता था और उसी तरह का निर्माण कर सकता था ; गणना को आसान बनाने के लिए इस विशेष वितरण को चुना गया था। $F$$G$

— whuber

पिछली टिप्पणी में मेरा पहला सवाल के लिए, बेहतर और बेहतर हो जाता है, यह होना चाहिए के बजाय ? यानी कि और ? एफ $F\left(\frac ab,n\right)$p=a/bq=$F\left(\frac abn\right)$$p=a/b$$q=n$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

यह मेरा एक बेहतर जवाब है! मैंने दो छोटी चीजों पर ध्यान दिया: मुझे लगता है कि आपका एफ (पी, क्यू) 4 से लिखा हुआ है। नीचे दिए गए समीकरण में "एफ एक असतत वितरण जी को प्रेरित करता है" आपको एफ (ना, एनबी) नहीं होना चाहिए?

— एड्रियन

@ एड्रियन, एलेकोस उन टाइपो को पकड़ने के लिए धन्यवाद: को होना चाहिए और लिए अंकन स्पष्ट रूप से गलत है। मैं उन्हें ठीक कर दूँगा। - 1 $1$$-1$$F$

— whuber

Answer 2

मैं अपनी टिप्पणियाँ एक साथ रखूँगा और उन्हें स्पष्टता के लिए उत्तर के रूप में पोस्ट करूँगा। मुझे उम्मीद है कि आप बहुत संतुष्ट नहीं होंगे, हालांकि, जैसा कि मैं करता हूं, आपकी समस्या को एक और समस्या के रूप में कम किया जाता है।

मेरी धारणा:

क्यू ∩ [ 0 , 1 ] क्यू $Q$ एक RV है जिसका समर्थन - मेरा वही नहीं है जैसा कि का OP उसकी । हम इस को और का उपयोग करते हुए परिभाषित करेंगे , जिसे मैं नीचे प्रस्तुत करता हूं।$\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$$Q$$Q$ Q$\frac{X}{Y}$$Q$$Y$$f$

N ≡ { 1 , 2 , … $Y$ वह कोई भी RV है जिसका समर्थन - OP द्वारा दिया गया उदाहरण के लिए काम करेगा।$\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$$Y$

f : N → Q ∩ [ 0 , 1 ] f - $f$ कोई भी एक-से-एक पत्राचार है और इसका विलोम है। हम जानते हैं कि ये मौजूद हैं।$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$$f^{-1}$

अब मैं दावा करता हूं कि मैं आपकी समस्या को कम करने के लिए सिर्फ एक और उसकी ढूंढ सकता हूं :एफ - $f$$f^{-1}$

बस और आप कर रहे हैं। का PMF । Q Pr [ Q = q ] = Pr [ Y = f - 1 ( q ) $Q=f\left(Y\right)$$Q$$\Pr[Q =q] = \Pr[Y = f^{-1}(q)]$

संपादित करें:

यहां एक फ़ंक्शन जी है जो एक-से-एक पत्राचार (डुप्लिकेट के कारण) नहीं होने के बावजूद, की भूमिका निभाता है :$f$

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}

Comments

(+1) नहीं, मैं आपके दृष्टिकोण को इस बात का एक उत्कृष्ट उदाहरण मानता हूं कि कोई व्यक्ति कैसे अमल में ला सकता है और अमूर्त दृष्टिकोण का उपयोग कर सकता है ताकि बहुत ही लागू परिणामों और अल्गॉर्टिम्स पर पहुंच सके । मुख्य बिंदु जैसा कि मैं अब इसे समझता हूं, यह है कि किसी भी असतत वितरण के pmf के कार्यात्मक रूप के रूप में उपयोग करके वांछित निर्माण प्राप्त कर सकते हैं समर्थन। बेशक यह और को खोजने के लिए बना हुआ है । चूँकि आपको मेरे इस दृष्टिकोण की बेहतर समझ है, इसलिए वाक्यांश "हम जानते हैं कि ये मौजूद हैं" कहने का एक विनम्र तरीका "लेकिन हमें पता नहीं है कि वे कैसे दिखते हैं"? :) च च - $\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$$f$$f^{-1}$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

Jcu.edu/math/vignettes/infinity.htm देखें : आप एक समान "विकर्ण पैटर्न" का उपयोग कर सकते हैं। कठिन भाग को लिए एक अभिव्यक्ति मिल रही है । मुझे यकीन नहीं है कि यह कैसे करना है, लेकिन आप math.stackexchange.com पर पूछ सकते हैं (या पहले कुछ और काम कर सकते हैं )। $f^{-1}$

— एड्रियन

आपके द्वारा प्रदान किए गए लिंक में यह किसी बिंदु पर कहता है: "ध्यान दें कि पत्राचार के लिए एक सूत्र खोजना आवश्यक नहीं है। यह सब आवश्यक है कि यह निश्चित हो कि ऐसा पत्राचार मौजूद है। गणित में कई अन्य उदाहरण हैं जो इस तरह हैं। -जहां बिंदु यह दिखाने के लिए है कि कुछ होना है या कुछ मौजूद है, बजाय वास्तव में एक सूत्र का प्रदर्शन करने के लिए। " ठीक है, मेरे प्रश्न में बिंदु वास्तव में एक सूत्र का प्रदर्शन है : मैंने इस प्रश्न को एक कारण के लिए "निर्माणवादी" कहा है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

मुझे लगता है कि मैं एक एल्गोरिथ्म प्रदान कर सकता हूं जो काम करेगा - मैं इसके बारे में थोड़ा और सोचूंगा।

— एड्रियन

मैंने कुछ पोस्ट किया है - आपको क्यू का अनुकरण करने देता है, लेकिन पीएमएफ मुद्दे को हल नहीं करता है।

— एड्रियन