उस सांख्यिकीय गिरावट का क्या नाम है जिससे पिछले सिक्के के परिणामों के नतीजे बाद के सिक्का के बारे में मान्यताओं को प्रभावित करते हैं?

Question

जैसा कि हम सभी जानते हैं, यदि आप एक सिक्के को फ्लिप करते हैं जिसके सिर के बराबर लैंडिंग की संभावना है क्योंकि यह पूंछ करता है, तो यदि आप कई बार सिक्का फ्लिप करते हैं, तो आधा समय आपको सिर मिलेगा और आधे समय में आपको पूंछ मिल जाएगी।

एक दोस्त के साथ इस बारे में चर्चा करने पर, उन्होंने कहा कि यदि आप 1000 बार सिक्का फ्लिप करते हैं, और कहते हैं कि पहले 100 बार यह सिर उतरा, तो एक पूंछ के उतरने की संभावना बढ़ गई थी (तर्क जा रहा है कि अगर यह निष्पक्ष है, तो) तब तक आप इसे 1000 बार फ़्लिप कर चुके होंगे, आपके पास लगभग 500 सिर और 500 पूंछ होंगे, इसलिए पूंछ की संभावना अधिक होनी चाहिए)।

मुझे पता है कि अतीत के परिणामों के रूप में भविष्य के परिणामों को प्रभावित नहीं करते हैं। क्या उस विशेष गिरावट का नाम है? इसके अलावा, क्या इस बात की बेहतर व्याख्या की गई है कि यह कितना खतरनाक है?

Comments

यदि आप एक सिक्का 100 बार फ्लिप करते हैं और यह 100 बार लैंड करता है, तो संभावनाएं हैं कि यह एक निष्पक्ष सिक्का नहीं है।

— राबर्ट

@ रॉबर्ट ऐसा कैसे? चूंकि प्रत्येक फ्लिप दूसरे से स्वतंत्र है, इसलिए यह संभावना है कि यह एच 100x होगा वही है जैसे कि यह एच एंड टी का एक बेमेल अनुक्रम है, या 100x टी

— yuritsuki

$\Pr(H)$

@thinlyveiledquestionmark आपको सावधान रहना होगा। स्वतंत्र फ़्लिप को देखते हुए, एच या टी के प्रत्येक 100-फ्लिप अनुक्रम समान रूप से होने की संभावना है: 100 एच 50 एच 50 टी के रूप में होने की संभावना है, एचटीएचटीटीएचटी ... एचटी, और इसी तरह की संभावना है। लेकिन इसे 100H मिलने की संभावना बहुत कम होती है, क्योंकि इसमें कुल 50 सिर मिलते हैं, क्योंकि अलग-अलग तरीके होते हैं, जिनमें 50 फ्लैप्स सिर के ऊपर आते हैं और 50 फ्लैप्स ऊपर की ओर आते हैं। $10^{29}$

— 19

रॉबर्ट का विचार पूरी तरह से मान्य है और पहले स्थान पर "पतन" का स्रोत हो सकता है। हमारे दिमाग को बायेसियन में तार दिया जाता है, बार-बार नहीं। "बिल्कुल उचित सिक्का" जैसी "सही" जानकारी शायद ही कभी प्रकृति में मौजूद है। इस प्रकार, 100 कोशिशों पर 100 प्रमुख व्यावहारिक रूप से हमें यह विश्वास दिलाने के लिए नेतृत्व करेंगे कि$P(Heads) > 0.5$

— PA6OTA

Answer 1

इसे गैम्बलर का पतन कहा जाता है ।

Answer 2

इस सवाल का पहला वाक्य, एक और (संबंधित) गिरावट को शामिल करता है:

"जैसा कि हम सभी जानते हैं, यदि आप एक सिक्का फ्लिप करते हैं जिसके सिर के बराबर लैंडिंग की संभावना है क्योंकि यह पूंछ करता है, तो यदि आप कई बार सिक्का फ्लिप करते हैं , तो आधा समय आपको सिर मिलेगा और आधा समय आपको पूंछ मिलेगा ।"

नहीं, हमें ऐसा नहीं मिलेगा, हम आधे समय सिर नहीं लेंगे और आधा समय पूंछ लेंगे। अगर हम ऐसा कर पाते, तो जुआरी को इतना गलत नहीं लगता । इस मौखिक बयान के लिए गणितीय अभिव्यक्ति इस प्रकार है: कुछ "बड़ी" (लेकिन सीमित) के लिए , हम n ज = n $n'$ , जहां स्पष्ट रूप सेnhसिक्का भूमि के प्रमुखों की संख्या को दर्शाता है। के बाद सेn', परिमित है तोn'+1भी परिमित और से एक अलग मूल्य हैn'। तो क्या होता हैके बादn'+1फ्लिप किया गया है? या तो यह सिर उतरा, या नहीं। दोनों ही मामलों में,nhको सिर्फ "आधी संख्या के बराबर" होना बंद हो गया है।$n_{h} = \frac {n'}{2}$$n_{h}$$n'$$n'+1$$n'$$n'+1$$n_h$

लेकिन शायद जो हमारा वास्तव में मतलब था वह "अकल्पनीय रूप से बड़ा" ? फिर हम राज्य करते हैं$n$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2}$$

लेकिन यहाँ, आरएचएस ("राइट-हैंड साइड") में होता है जो एलएचएस ("लेफ्ट-हैंड-साइड") से अनन्तता से अधिक हो गया है। तो आरएचएस भी अनंत है, और इसलिए यह कथन क्या कहता है कि सिक्का जितनी बार लैंड करेगा, वह अनंत के बराबर है, अगर हम सिक्का को अनंत बार टॉस करते हैं ( 2 द्वारा विभाजन नगण्य है):$n$$2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2} = \infty$$

यह अनिवार्य रूप से सही है, लेकिन बेकार बयान है , और जाहिर है कि हमारे मन में नहीं है।

सभी में, प्रश्न में कथन "कुल टॉस" माना जाता है या नहीं, इसके बावजूद पकड़ में नहीं आता है।

शायद तब हमें राज्य करना चाहिए

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {n_{h}}{n} = \frac 1{2} \;\;?$$

सबसे पहले, इस में तब्दील हो "उछालों की कुल संख्या से अधिक सिर उतरा की संख्या के अनुपात मूल्य जाता है , जो एक अलग बयान है जब उछालों की संख्या अनंत को जाता है" - नहीं "कुल उछालों की आधा" यहाँ। इसके अलावा, यह है कि कैसे संभावना अभी भी कभी-कभी माना जाता है-एक सापेक्ष आवृत्तियों की एक निर्धारित सीमा है। इस कथन के साथ समस्या यह है कि इसमें एलएचएस एक अनिश्चित रूप में शामिल है: अंश और हर दोनों अनंत तक जाते हैं। $1/2$

हम्म, चलो यादृच्छिक चर शस्त्रागार में लाते हैं । एक यादृच्छिक चर को परिभाषित मूल्य लेने के रूप में 1 अगर मैं मई के टॉस सिर, आया 0 अगर यह पूंछ आया। फिर हमारे पास n $X_i$$1$$i$$0$

$$\frac {n_{h}}{n} = \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i$$

क्या हम अब कम से कम राज्य कर सकते हैं

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i = \frac 1{2} \;\;?$$

नहीं । यह एक निर्धारक सीमा है। यह परमिट के लिए सभी संभव के अनुक्रम का प्रतीति की है, और इसलिए यह और भी गारंटी नहीं है कि एक सीमा उपलब्ध नहीं होगा करता है, अकेले यह करने के लिए बराबर होने के 1 / 2 । वास्तव में इस तरह के बयान को केवल अनुक्रम पर एक बाधा के रूप में देखा जा सकता है , और यह टॉस की स्वतंत्रता को नष्ट कर देगा।$X$$1/2$

हम क्या कर सकते हैं कहते हैं, यह है कि यह औसत राशि converges संभावना ( "कमजोर") के लिए (बड़े नंबर की Bernoulli -Weak कानून),$1/2$

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\text {Pr}\left(\left|\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i-\frac 12 \right|<\varepsilon\right) =1 , \;\;\;\forall \varepsilon >0$$

और विचाराधीन मामले में, यह भी लगभग निश्चित रूप से ("दृढ़ता से") में परिवर्तित होता है (बोरेल-स्ट्रॉन्ग लॉ ऑफ लार्ज नंबर्स)

$$\text {Pr}\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac 12 \right) =1 , \;\;\;$$

लेकिन इन के बारे में संभाव्य बयान कर रहे हैं संभावना के बीच अंतर के साथ जुड़े और 1 / 2 , और नहीं अंतर की सीमा के बारे में एन एच - एन टी (जो झूठा बयान के अनुसार शून्य होना चाहिए - और यह नहीं है )। $n_h/n$$1/2$$n_h-n_t$

वास्तव में, यह इन दो कथनों को वास्तव में समझने के लिए कुछ समर्पित बौद्धिक प्रयास करता है , और वे पिछले कुछ में से कैसे ("सिद्धांत" और "अभ्यास" में) भिन्न होते हैं-मैं अभी तक अपने लिए इतनी गहरी समझ का दावा नहीं करता।

Comments

शायद सबसे अच्छा, शैक्षिक प्रतिक्रियाओं में से एक, जो मैंने लंबे समय में पढ़ा है। बहुत बढ़िया।

— पीट मंचिनी

@AlecosPapadopoulos मुझे लगता है कि यह उस बात को रखने में जवाब देने में मदद करेगा जो हम एक सूत्र में कह सकते हैं जैसे आपने झूठे योगों के साथ किया था। मुझे लगता है कि यह कुछ ऐसा है जैसे \ lim P (\ frac {1} {n} \ sum X_i) = 1?

— कुत्स्कम

@kutschkem उत्कृष्ट सुझाव। अभी किया।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

Answer 3

इस गिरावट के कई नाम हैं।

1) यह शायद सबसे अच्छा जुआरी की गिरावट के रूप में जाना जाता है

2) इसे कभी-कभी ' छोटी संख्याओं का नियम ' भी कहा जाता है ( यहाँ भी देखें ) (क्योंकि यह इस विचार से संबंधित है कि जनसंख्या विशेषताओं को छोटे नमूनों में परिलक्षित होना चाहिए) - जो मुझे लगता है कि कानून के विपरीत इसके लिए एक साफ नाम है बड़ी संख्या में, लेकिन दुर्भाग्य से एक ही नाम पोइसन वितरण पर लागू होता है (और कभी-कभी गणितज्ञों द्वारा इसका उपयोग फिर से कुछ और करने के लिए किया जाता है), ताकि भ्रमित हो सकें।

3) लोगों के बीच यह माना जाता है कि अवनति को कभी-कभी ' औसत का नियम ' कहा जाता है , जो विशेष रूप से एक परिणाम के बिना चलने के बाद आह्वान करता है ताकि यह तर्क दिया जा सके कि परिणाम 'कारण' है, लेकिन निश्चित रूप से ऐसा कोई अल्पकालिक नहीं है कानून मौजूद है - प्रारंभिक असंतुलन के लिए 'क्षतिपूर्ति' के लिए कुछ भी नहीं करता है - एक प्रारंभिक विसंगति का एकमात्र तरीका बाद के मूल्यों की मात्रा से है जो स्वयं का औसत 1/2 है ।

एक प्रयोग पर विचार करें जिसमें एक निष्पक्ष सिक्का बार-बार उछाला जाता है; जाने सिर की संख्या हो सकता है और टी मैं पूंछ की संख्या के अंत तक मनाया हो मैं मई के परीक्षण। ध्यान दें कि i = H i + T $H_i$$T_i$$i$$i=H_i+T_i$

यह टिप्पणी के लिए दिलचस्प है कि लंबे समय में (यानी है ) है, जबकि एच $n\to\infty$ 1में संभाव्यता में परिवर्तित होता है$\frac{H_n}{n}$ ,ई| एचएन-टीएन| बढ़ते हुएn केसाथ बढ़ता है- वास्तव में यह बिना बंधे बढ़ता है; वहाँ कुछ भी नहीं है "इसे 0 की ओर वापस धकेलना"।$\frac{_1}{^2}$$E|H_n-T_n|$$n$

Answer 4

क्या आप 'स्टोचस्टिक' के बारे में सोच रहे हैं? एक उचित सिक्के का फ्लिप (या एक निष्पक्ष मरने का रोल) इस अर्थ में स्टोचस्टिक (यानी स्वतंत्र) है कि यह इस तरह के सिक्के के पिछले फ्लिप पर निर्भर नहीं करता है। एक निष्पक्ष चुनाव मानते हुए, यह तथ्य कि सिक्का एक सौ सिर के साथ सौ बार फ़्लिप किया गया था जिसके परिणामस्वरूप इस तथ्य को नहीं बदला गया है कि अगले फ्लिप में सिर होने का 50/50 मौका है।

इसके विपरीत, प्रतिस्थापन के बिना कार्ड के डेक से एक कार्ड को खींचने वाले एक निश्चित कार्ड को खींचने की संभावना स्टोकेस्टिक नहीं है क्योंकि एक निश्चित कार्ड के ड्राइंग की संभावना अगले ड्रॉ पर कार्ड को खींचने की संभावना को बदल देगी (यदि यह प्रतिस्थापन के साथ थी, तो) यह स्टोकेस्टिक होगा)।

Comments

स्टोकेस्टिक का मतलब स्वतंत्र नहीं है

— बेन Voigt

"एक निष्पक्ष चुनाव मानते हुए ... अगले फ्लिप में सिर होने का 50/50 मौका है" , मुझे लगता है कि आपके पास यहां एक गहरी दार्शनिक सच्चाई है। यदि यह अनुचित (AKA नियमित?) चोर है तो क्या हुआ, यह समझाने के लिए आप उत्तर का विस्तार कर सकते हैं।

— हायड

Answer 5

Glen_b's और Alecos की प्रतिक्रियाओं को जोड़ते हुए, आइए परिभाषित करते हैं $X_n$ पहले में प्रमुखों की संख्या होना $n$परीक्षणों। द्विपद के लिए सामान्य सन्निकटन का उपयोग करने वाला एक परिचित परिणाम है$X_n$ लगभग है $N(n/2, \sqrt{n/4})$। अब, पहले 100 टॉस का पालन करने से पहले, आपका दोस्त सही है कि एक अच्छा मौका है$X_{1000}$ 500 के करीब होगा। वास्तव में,

$P( 469 < X_{1000} < 531) \approx .95$.

However, after observing $X_{100} =100$, let's define $Y_{900}$ to be number of heads in the last 900 trials, then

$P( 469 < X_{1000} < 531 \mid X_{100}=100) = P( 369 < Y_{900} < 431) \approx .1$

since $Y_{900}$ approximately $N(450, 15)$.

Thus, after observing 100 heads in the first 100 trials, there is no longer a high probability of observing close to 500 successes in the first 1000 trials, assuming of course that the coin is fair. Note that this is a concrete example illustrating that an initial imbalance is unlikely to be compensated for in the short run.

Further, note that if $n=1,000,000$, then

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980) \approx .95$

but the impact of the imbalance in the first 100 tosses is negligible in the long run since

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980 \mid X_{100} = 100) = P( 498,920 < Y_{999,900} < 500880) \approx .949$

Answer 6

You are refering to Gambler's fallacy, although this is not entirely correct.

Indeed if phrased as "given an assumed fair coin and one observes a given sequence of outcomes, what is the estimation of the elementary probabilities of the coin", this becomes more apparent.

Indeed the "fallacy" is related only to (assumed) fair coins, where the various products of probs are equal. However this entails an interpretation that is in contrast to (study of) similar cases with a coin having another (not-symmetric/biased) probability distribution.

For a further discusion of this (and a little twist) see this question.

This is exactly like the fallacy used in many statistical studies where correlation implies causality. But it can be a hint of a causality relation or common cause.

Answer 7

Just to note, that if you get a huge run of heads or tails in a row, you may be better off revisiting your prior assumption assumption that the coin was fair.