रैखिक प्रतिगमन मॉडल जो त्रुटियों के साथ डेटा के लिए सबसे अच्छा सूट करता है

Question

मैं रेखीय प्रतिगमन एल्गोरिथ्म की तलाश कर रहा हूं जो एक डेटा के लिए सबसे उपयुक्त है जिसका स्वतंत्र चर (x) में एक निरंतर माप त्रुटि है और आश्रित चर (y) में सिग्नल निर्भर त्रुटि है।

उपरोक्त छवि मेरे प्रश्न का चित्रण करती है।

Comments

यदि निरंतर चर x में एक निरंतर माप त्रुटि है, और त्रुटियों का उपयोग केवल चर को सापेक्ष तरीके से करने के लिए किया जाता है, तो क्या यह स्थिति x में त्रुटियां न होने के बराबर है?

— पीडोफ्रेगाइरा

@pedro ऐसा नहीं है, क्योंकि में त्रुटियां केवल एक सूत्र में भार नहीं हैं। त्रुटियों-में-चर प्रतिगमन के साथ फिट अलग-अलग होंगे और मापदंडों के सहसंयोजक अनुमान साधारण प्रतिगमन से भिन्न होंगे। $x$

— whuber

स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद। क्या आप थोड़ा विस्तार कर सकते हैं कि ऐसा क्यों है?

— पीडोफ्रेक्टीरा

Answer 1

आश्रित चर में माप त्रुटि

एक सामान्य रेखीय मॉडल को homosckedastic के साथ दिया गया, स्वतंत्र चर के साथ autocorrelated और असंबंधित नहीं, "true" " " का निरूपण करें। इसके अवलोकनीय उपाय। माप त्रुटि को उनके अंतर रूप में परिभाषित किया गया है इस प्रकार, मॉडल है: चूंकि हैं। मनाया गया, हम OLS द्वारा मॉडल का अनुमान लगा सकते हैं। यदि में माप त्रुटि सांख्यिकीय रूप से प्रत्येक व्याख्यात्मक चर से स्वतंत्र है, तो

$$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+\varepsilon\tag{1}$$ $\varepsilon$$y^*$$y$ $$e=y-y^*$$ $$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\cdots+\beta_kx_k+e+\varepsilon\tag{2}$$ $y,x_1,\dots,x_k$$y$$(e+\varepsilon)$समान गुण जैसे और सामान्य OLS इंजेक्शन प्रक्रियाएं ( आँकड़े, आदि) मान्य हैं। हालाँकि, आपके मामले में मुझे बढ़ते संस्करण की उम्मीद थी । आप उपयोग कर सकते हैं:$\varepsilon$$t$$e$

• एक भारित कम से कम वर्ग अनुमानक (जैसे कुटनर एट अल। , ;11.1; वर्बीक , )4.33-3);

• ओएलएस आकलनकर्ता, जो अभी भी निष्पक्ष और सुसंगत है, और हेटेरोसेडासिटी-सुसंगत मानक त्रुटियां, या बस वेइट मानक त्रुटियां ( वर्बेक , §4.3.4)।

स्वतंत्र चर में माप त्रुटि

ऊपर के समान रैखिक मॉडल को देखते हुए, आइए $x_k^*$ "सत्य" मान को निरूपित करें और $x_k$इसके अवलोकनीय उपाय। माप त्रुटि अब है:

$$e_k=x_k-x_k^*$$ दो मुख्य स्थितियों (हैं Wooldridge , §4.4.2)।

• $\text{Cov}(x_k,e_k)=0$: माप की त्रुटि मनाया माप के साथ असंबंधित है और इसलिए इसे असंबंधित चर के साथ सहसंबद्ध होना चाहिए $x^*_k$; लिख रहे हैं$x_k^*=x_k-e_k$ और इसमें प्लगिंग (1):

  $$y=\beta_0+\beta_1x_1+\cdots+\beta_kx_k+(\varepsilon-\beta_ke_k)$$ जबसे $\varepsilon$ तथा $e$ दोनों प्रत्येक के साथ असंबंधित हैं $x_j$, समेत $x_k$, माप सिर्फ त्रुटि विचलन को बढ़ाता है और ओएलएस मान्यताओं में से कोई भी उल्लंघन करता है;

• $\text{Cov}(x^*_k,\eta_k)=0$: माप त्रुटि अप्राप्य चर के साथ असंबंधित है और इसलिए मनाया उपाय के साथ सहसंबद्ध होना चाहिए $x_k$; इस तरह के सहसंबंध का कारण बनता है prolems और OLS प्रतिगमन$y$ पर $x_1,\dots,x_k$ आम तौर पर पक्षपाती और गैर-अनुमानी अनुमानक देता है।

जहां तक ​​मैं आपके प्लॉट (स्वतंत्र चर के "सही" मूल्यों पर केंद्रित त्रुटियों) को देखकर अनुमान लगा सकता हूं, पहला परिदृश्य लागू हो सकता है।