हाइपरबोलिक पीडीई के एकीकरण में निहित तरीकों का उपयोग कब किया जाना चाहिए?

Question

पीडीई (या ODE) को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके दो व्यापक श्रेणियों में आते हैं: स्पष्ट और अंतर्निहित तरीके। निहित तरीकों से बड़े स्थिर टाइमस्टेप की अनुमति मिलती है, लेकिन प्रति चरण अधिक कार्य की आवश्यकता होती है। हाइपरबोलिक पीडीई के लिए, सामान्य ज्ञान यह है कि अंतर्निहित तरीके आमतौर पर भुगतान नहीं करते हैं क्योंकि सीएफएल स्थिति द्वारा अनुमत समय से बड़े टाइमस्टेप का उपयोग बहुत गलत परिणामों की ओर जाता है। हालांकि, कुछ मामलों में अंतर्निहित तरीकों का उपयोग किया जाता है। किसी दिए गए आवेदन के लिए, किसी को यह कैसे चुनना चाहिए कि एक स्पष्ट या अंतर्निहित विधि का उपयोग करना है या नहीं?

Answer 1

केंद्रीय प्रश्न यह है कि भौतिक प्रक्रियाओं (तरंगों या स्रोत की शर्तों) में समय के पैमाने हैं जिन्हें आप हल करने में रुचि रखते हैं और जिन्हें आप आगे बढ़ना पसंद करेंगे। यदि आप सिस्टम में सबसे तेज समय पैमाने पर रुचि नहीं रखते हैं, तो समीकरणों को "कठोर" कहा जाता है। हाइपरबोलिक संरक्षण कानून आम तौर पर प्रथम-क्रम प्रणालियों के रूप में लिखे जाते हैं

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

जहाँ में संरक्षित चर होते हैं, प्रवाह है, और को "स्रोत शब्द" कहा जाता है। ध्यान दें कि इस शब्दावली के साथ, फ्लक्स में डेरिवेटिव नहीं है, इसलिए में जाना चाहिए । कई रासायनिक प्रतिक्रिया समस्याओं और जब प्रसार या फैलाव मौजूद होता है, तब स्रोत के कड़े होने पर निहित या अर्ध-अंतर्निहित एकीकरण का उपयोग करना काफी आम है। रासायनिक प्रतिक्रिया आमतौर पर प्रत्येक तत्व में स्थानीय रूप से हल की जा सकती है क्योंकि यह पड़ोसी कोशिकाओं के साथ युग्मित नहीं है।$u$$F$$G$$F$$G$

तरंग की गति की गणना करने के लिए, हम फ्लक्स जैकबियान के आइजेनवेल्यूज की जांच करते हैं । यदि हम तय करते हैं कि कुछ तरंगों का चरण भौतिक रुचि का नहीं है, तो हम उन पर कदम रखना चाहते हैं।$A = [\partial F/\partial u]$

उदाहरण के लिए, यदि आप किसी महासागर के लंबे समय के विकास का अनुकरण कर रहे हैं, तो आपको सतह के गुरुत्वाकर्षण तरंगों (जैसे सुनामी) में दिलचस्पी नहीं हो सकती है। दुर्भाग्य से, लहर की गति को बदलना (या तो इसे धीमा करने के लिए स्पष्ट तरीकों का उपयोग करना या "कठोर ढक्कन" मॉडल है जो एक प्रक्षेपण का उपयोग कर सकता है) को बदलकर भंवरों के प्रसार के तरीके को बदलकर भौतिकी को बदल देता है। समुद्र में भंवर एक प्रभाव है जहां गुरुत्वाकर्षण की लहर संवहन के साथ लगभग संतुलित होती है, लेकिन काफी नहीं।

एक अन्य उदाहरण सिक्योरेबल यूलर है, उदाहरण के लिए डेटा सेंटर के माध्यम से एयरफ्लो। ध्वनिक लहर की गति संवहन की तुलना में बहुत तेज है और केवल गर्मी हस्तांतरण के लिए उत्तरार्द्ध महत्वपूर्ण है। यदि आप ध्वनिकी में रुचि नहीं रखते हैं, तो आप एक निहित विधि का उपयोग करना चाह सकते हैं।

एक अंतर्निहित विधि की सापेक्ष दक्षता स्पष्ट कदम के साथ उपयोग किए जा सकने वाले चरण आकार की तुलना में प्रत्येक चरण / मंच पर बीजीय प्रणालियों को हल करने की लागत पर निर्भर है। इस तरह के बीजीय प्रणालियों को कुशलता से हल करना अनुसंधान का एक सक्रिय विषय है। (एक और सवाल करें और मैं इसका जवाब दूंगा और यहां से संदर्भ।)

यदि आप निहित तरीकों का उपयोग करना चाहते हैं, तो:

• आपके समीकरणों में सार्थक स्थिर स्थिति है जिसे आप सीधे अन्वेषण करना चाहते हैं, शायद स्थिरता को चिह्नित करने के लिए
• आप लंबे समय के इतिहास को शामिल करके उलटा / डेटा आत्मसात समस्याओं को हल कर रहे हैं
• आप कुछ स्थिरता गुणों के साथ बहुत उच्च क्रम समय एकीकरण विधियों का उपयोग करने के लिए आदेश बाधाओं को दरकिनार करना चाहते हैं
• आप अंतरिक्ष समय अनुकूली तरीकों का उपयोग कर रहे हैं
• आप एक स्थानिक विवेक का उपयोग कर रहे हैं जो पहले से ही एक बीजीय प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है (उदाहरण के लिए लगातार बड़े पैमाने पर मैट्रिक्स के साथ निरंतर परिमित तत्व तरीके)