बहुपद समय में एक न्यूनतम-चौड़ाई वाले पेड़ के अपघटन को दुबला बनाना

साथ ही जाना जाता है, एक ग्राफ का एक पेड़ अपघटन एक वृक्ष होता है एक संबद्ध बैग के साथ प्रत्येक शिखर के लिए है, जो संतुष्ट निम्न स्थितियों में: $G$ $T$ $T_v \subseteq V(G)$ $v \in V(T)$

का प्रत्येक शीर्ष कुछ बैग में होता है । $G$ $T$
के हर किनारे के लिए एक बैग होता है जिसमें किनारे के दोनों छोर होते हैं। $G$
हर शिखर के लिए , युक्त बैग के एक जुड़ा सबट्री प्रेरित । $v \in V(G)$ $v$ $T$

हम अपने अपघटन से निम्न स्थिति की मांग कर सकते हैं, जिसे दुबलापन कहा जाता है :

बैग के प्रत्येक जोड़ी के लिए , की , अगर और के साथ , तब या तो a) वर्टेक्स-डिस्जॉइंट पथ , या b) ट्री में नोड से पथ पर एक किनारे होता है से नोड ऐसा कि $T_a$ $T_b$ $T$ $A \subseteq T_a$ $B \subseteq T_b$ $|A| = |B| = k$ $k$ $A-B$ $G$ $T$ $pq$ $a$ $b$ और सेट सभी काटती है में रास्तों । $|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$ $V(T_p) \cap V(T_q)$ $A-B$ $G$

रॉबिन थॉमस ने दिखाया कि हमेशा एक न्यूनतम-चौड़ाई वाला वृक्ष अपघटन होता है जो दुबला भी होता है, और इस तथ्य के सरल प्रमाण कई लेखकों द्वारा प्रदान किए गए हैं, उदाहरण के लिए पैट्रिक बेलेनबाम और रेनहार्ड डायस्टेल ।

एक ग्राफ को देखते हुए: क्या मैं में दिलचस्पी है वह इस प्रकार है और की एक न्यूनतम-चौड़ाई पेड़ अपघटन , हम एक न्यूनतम-चौड़ाई पा सकते हैं दुबला के वृक्ष अपघटन बहुपद समय में? $G$ $G$ $G$

दो उल्लिखित साक्ष्य इस तरह के कुशल निर्माण नहीं करते हैं। बेलेनबाम और डिएस्टेल के पेपर में यह उल्लेख किया गया है कि "थॉमस के प्रमेय का एक और (अधिक रचनात्मक) संक्षिप्त प्रमाण पी। बेलेंबौम, श्लेंके बुमेज़रलेगेन वॉन ग्रेफेन, डिप्लोमार्बाइट, यूनिवर्सिटैट हैम्बर्ग 2000 में दिया गया है।" काश, मैं पांडुलिपि ऑनलाइन नहीं पा रहा हूं और मेरा जर्मन उतना महान नहीं है।

— बार्ट जानसन
स्रोत

अच्छा प्रश्न। न्यूनतम-चौड़ाई वाले वृक्ष का अपघटन एनपी-हार्ड है, इसलिए आपकी समस्या कुछ हद तक बीमार है (यह प्रतीत होता है)। मेरा अनुमान है कि कोई इसे बंधे हुए तिहरे मामले या सन्निकट अर्थ में पूछ सकता है।

— चन्द्र चकुरी

लेकिन उनके मामले में वह है दिया एक न्यूनतम-चौड़ाई पेड़ अपघटन और वह इसे दुबला बनाने के लिए एक एल्गोरिथ्म चाहता है।

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश वेंकट: मुझे एहसास है कि उन्हें एक मिनिमल-ट्री ट्री अपघटन दिया गया है, लेकिन आप यह भी कैसे सत्यापित कर सकते हैं कि यह सही है? इसके अलावा, एक दुबला पेड़ का अपघटन स्थानीय रूप से ग्राफ के विभिन्न भागों के त्रिभुज के रूप में होता है, इसलिए वैश्विक ग्राफ का एक पेड़ अपघटन होता है जो कि इष्टतम होता है, जो स्थानीय टुकड़ों की कठिनता को खोजने में समस्या से नहीं बचता है।

— चन्द्रा चकुरी

चिकने वृक्ष के विघटन (जहाँ सभी थैलियों का आकार समान होता है और दो आसन्न थैले बिल्कुल एक शीर्ष से भिन्न होते हैं) सामान्य वृक्षों के विघटन की तुलना में संभालना बहुत आसान होता है, और यह देखना आसान है कि हमेशा एक न्यूनतम चौड़ाई वाला वृक्ष विघटित होता है जो चिकना होता है । तो शायद आप एक ज्ञात निर्माण को इन तक सीमित करके एक कुशल निर्माण प्राप्त कर सकते हैं। क्या हमेशा एक न्यूनतम-चौड़ाई वाले वृक्ष का अपघटन होता है जो चिकना और दुबला होता है?

— डिएगो डे एस्ट्राडा 20

@ChandraChekuri मुझे लगता है कि सत्यापन समस्या दूर हो जाती है यदि आप इसे एक वादा समस्या के रूप में वाक्यांश देते हैं, लेकिन मैं एक पेड़ के अपघटन होने के बारे में आपकी बात देखता हूं, जो जरूरी नहीं कि आपको अनुकूलन के लिए पर्याप्त जानकारी दे। लेकिन निम्नलिखित प्रश्न प्रशंसनीय हो सकता है: क्या एक स्थानीय रूप से पेड़ को "स्थानीय रूप से" संशोधित करने का एक तरीका है कि इसे बिना "झुकाव" के बना दिया जाए?

— सुरेश वेंकट

यहाँ एक औपचारिक कारण है कि समस्या पॉली-टाइम सॉल्व नहीं है जब तक कि पी = एनपी। हम जानते हैं कि किसी दिए गए ग्राफ का त्रिभुज खोजना NP-Hard है। एक ग्राफ को देखते हुए हम आकार के एक असंबंधित गुट जोड़ सकते हैं एक नया ग्राफ़ बनाने के लिए । की एक न्यूनतम-चौड़ाई वाले वृक्ष-अपघटन को निम्न प्रकार से प्राप्त किया जा सकता है: इसमें दो नोड होते हैं जिनमें एक थैला के सभी नोड होते हैं और दूसरे में सभी नोड होते हैं । अब इस वृक्ष-अपघटन को दुबला बनाने के लिए मूल ग्राफ एक दुबले-पतले वृक्ष के अपघटन को खोजने की आवश्यकता होगी, जो कि उप-उत्पाद के रूप में, के ट्रेविद को देगा । $G$ $V(G)+1$ $G'$ $G'$ $G$ $G$ $G$

— चन्द्र चकुरी
स्रोत

अच्छी बात। क्या आप जानते हैं कि अगर कुछ भी वृक्षों के पतझड़ की खोज के लिए परिचालित और / या मध्यम रूप से घातीय समय एल्गोरिदम के बारे में जाना जाता है?

— बार्ट जानसन