मीट्रिक टीएसपी के लिए अनुमान एल्गोरिदम

Question

यह ज्ञात है कि मीट्रिक TSP को भीतर अनुमानित किया जा सकता है और इसे बहुपद समय में _ से अधिक अनुमानित नहीं किया जा सकता है । क्या घातीय समय में अनुमानित समाधान खोजने के बारे में कुछ ज्ञात है (उदाहरण के लिए, केवल बहुपद स्थान के साथ कदम से कम )? उदाहरण के लिए, किस समय और स्थान पर हम एक टूर पा सकते हैं जिसकी दूरी अधिकतम ?$1.5$ 2एन1.1×ओपी$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

Comments

इस प्रकार के प्रश्नों को संबोधित करने में एक प्राकृतिक दृष्टिकोण है शेराली-एडम्स, लोंवेज़-स्ज़िवर, या लासेरे जैसी रैखिक प्रोग्रामिंग पदानुक्रमों को देखना, जो कि स्तर पर रन अनुमति देते हैं (और आमतौर पर तेजी से बेहतर सन्निकटन। जैसा कि बढ़ता है)। हालाँकि मैं मीट्रिक TSP (हेल्ड-कार्प के रूप में जाना जाता है) के LP विश्राम पर पदानुक्रम की प्रयोज्यता के बारे में किसी भी सकारात्मक या नकारात्मक परिणामों से अवगत नहीं हूँ। r $poly(n^r)$$r$$r$

— एमसीएच

आप शायद "आवश्यक" के बजाय "संभव" मतलब है? इसके अलावा, मुझे यकीन नहीं है कि घातीय समय में समाधान खोजने से आपका क्या मतलब है, क्योंकि मैं हमेशा सटीक उत्तर पा सकता हूं। मुझे लगता है कि आप का अर्थ है "अनुमान / जटिलता ट्रेडऑफ़ वक्र पर बेहतर अंक ढूंढें"?

— सुरेश वेंकट

@ एमसीएच, बहुत-बहुत धन्यवाद, लेकिन मुझे कोई परिणाम नहीं मिला।

— एलेक्स गोलोवनेव

@ सुरेश वेंकट, धन्यवाद! आप बिल्कुल सही हैं, मेरा मतलब है "संभव" और "बेहतर बिंदु ..."। मैंने अपना सवाल ठीक कर लिया।

— एलेक्स गोलोवनेव

निर्दिष्ट प्रारंभिक बिंदु और समाप्ति बिंदु के साथ मीट्रिक TSP के लिए, सबसे अच्छा है konwn । एक STOC 2012 कागज पर "सेंट पथ TSP के लिए Christofides 'एल्गोरिथ्म में सुधार" arxiv.org/abs/1110.4604 । $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

— पेंग झांग

Answer 1

मैंने समस्या का अध्ययन किया है और मुझे टीएसपी के लिए सबसे अच्छा ज्ञात एल्गोरिदम मिला है।

$n$ कोने की संख्या है, अधिकतम बढ़त वजन है। सभी सीमाएँ इनपुट आकार ( ) के एक बहुपद कारक तक दी जाती हैं । हम ATSP द्वारा असममित TSP निरूपित करते हैं।$M$$poly(n, \log M)$

1. TSP के लिए सटीक एल्गोरिदम

1.1। सामान्य एटीएसपी

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$ समय और क्षेत्र ( Björklund )।$exp$

$2^n$ समय और स्थान ( बेलमैन ; हेल्ड, कार्प )।$2^n$

$4^n n^{\log n}$ समय और क्षेत्र ( गुरेविच, शेला ; ब्योर्क्लकुंड, हुसफेल्ट )।$poly$

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$ 2 t t = n , n / 2 , n / 4 , … समय और स्थान के लिए ( Koivisto, Parviainen )।$2^t$$t=n,n/2,n/4,\ldots$

$O^*(T^n)$हे * ( एस एन ) √ समय और स्पेस किसी भी के लिए ( Koivisto, Parviainen ) के साथ।$O^*(S^n)$$\sqrt2<S<2$$TS<4$

$2^n\times M$ समय और पॉली-स्पेस ( Lokshtanov, Nederlof )।

$2^n\times M$एम समय और स्थान ( कोहन, गॉटलीब, कोहन ; कार्प ; बैक्स, फ्रैंकलिन )।$M$

यहां तक ​​कि मीट्रिक TSP के लिए ऊपर दिए गए एल्गोरिदम से बेहतर कुछ भी नहीं जाना जाता है। टीएसपी के लिए बहुपद स्थान के साथ टाइम एल्गोरिथ्म को विकसित करना एक बड़ी चुनौती है (ओपन प्रॉब्लम 2.2.b, वीजिंग ) देखें।$2^n$

1.2। टीएसपी के विशेष मामले

$1.657^n\times M$अप्रत्यक्ष TSP के लिए त्रुटि ( Björklund ) की समय और तेजी से छोटी संभावना ( Björklund )।

$(2-\epsilon)^n$ और टीएसपी के लिए घातीय स्थान , बाउंडेड औसत डिग्री के साथ ग्राफ में, केवल ग्राफ की डिग्री ( साइगन, पिलिपिचुक ; ब्योर्क्लकुंड , कास्की, कौटी ) पर निर्भर करता है ।$\epsilon$

$(2-\epsilon)^n$ और -स्पेस टीएसपी के लिए ग्राफ़ में बाध्य अधिकतम डिग्री और बाध्य पूर्णांक वज़न के साथ, केवल ग्राफ़ की डिग्री ( Björklund, Husfeldt, Kaski, Koivisto ) पर निर्भर करता है ।$poly$$\epsilon$

$1.251^n$घन ग्राफ़ ( Iwama, Nakashima ) में TSP के लिए और स्पेस ।$poly$

$1.890^n$ और डिग्री के रेखांकन में TSP के लिए -अंतरिक्ष ( Eppstein )।$poly$$4$

$1.733^n$ डिग्री ( गेबॉयर ) के ग्राफ में टीएसपी के लिए और घातीय स्थान ।$4$

$1.657^n$ समय और अनिर्दिष्ट Hamiltomian चक्र (के लिए -अंतरिक्ष Björklund )।$poly$

$(2-\epsilon)^n$ और घातीय स्थान TSP के लिए रेखांकन में सबसे हैमिल्टनियन चक्र (किसी भी स्थिर ) ( Björklund, Kaski, Koutis ) के साथ।$d^n$$d$

टीएसपी के लिए 2. एल्गोरिदम एल्गोरिदम

2.1। जनरल टीएसपी

पी = एनपी ( साहनी, गोंजालेज ) जब तक किसी भी बहुपद समय कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन के भीतर अनुमानित नहीं किया जा सकता ।

2.2। मीट्रिक टीएसपी

$3 \over 2$3-2 अपरिपक्वता ( क्रिस्टोफ़ाइड्स )।

P = NP ( Karpinski, Lampis, Schmied ) जब तक से बेहतर अनुपात के साथ अनुमानित नहीं किया जा सकता ।$123\over 122$

2.3। ग्राफिक टीएसपी

$7\over5$ -approximation ( सीबो, ऑक्सीजन )।

2.4। (1,2) -TSP

मैक्स-एसएनपी हार्ड ( पापादिमित्रिउ, यानाकिस )।

$8 \over 7$ ओवरप्रोसेशन ( बर्मन, करपिंस्की ) _ ।

2.5। बंधे हुए आयाम के साथ मीट्रिक में टीएसपी

एक निश्चित आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष ( अरोड़ा ; मिशेल ) में टीएसपी के लिए पीटीएएस ।

TSP एक -dimensional Euclidean space ( ट्रेविसन ) में APX-hard है ।$\log{n}$

बंधे हुए आयाम ( बार्टल, गोटलिब, क्रुथगामर ) के साथ मैट्रिक्स में टीएसपी के लिए पीटीएएस ।

2.6। निर्देशित त्रिभुज असमानता के साथ एटीएसपी

$O(1)$ -प्रतिरोध ( Svensson, Tarnawski, Végh )

जब तक P = NP ( Karpinski, Lampis, Schmied ) से बेहतर अनुपात के साथ अनुमानित नहीं किया जा सकता ।$75\over 74$

2.7। निषिद्ध नाबालिगों के साथ रेखांकन में टीएसपी

रैखिक समय पीटीएएस ( क्लेन ) प्लानर ग्राफ़ में टीएसपी के लिए।

मामूली मुक्त रेखांकन के लिए पीटीएएस ( डेमनी, हाजीघायई, कवारबयशी )।

$22\frac{1}{2}$ -प्लानर ग्राफ्स ( घरान, सबेरी ) में एटीएसपी के लिए -प्रतिरोध ।

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$ -एएनएसपीपी के लिए जीनस- रेखांकन ( Erickson, Sidiropoulos ) में परिवर्तन ।$g$

2.8। MAX-TSP

$7\over9$मैक्स-टीएसपी ( पलूच, मुचा, मैडी) के लिए -प्रतिरोध ।

$7\over8$मैक्स-मेट्रिक-टीएसपी ( कौलिक, मुचा ) के लिए ।

$3\over4$मैक्स- एटीएसपी ( पलुच ) के लिए -प्रतिरोध ।

$35\over44$मैक्स-मैट्रिक-एटीएसपी ( कोवलिक, मुचा ) के लिए -44-अतिरिक्त ।

2.9। घातांक-समय स्वीकृति

यह गणना करने के लिए संभव है समय में मिन-मीट्रिक-TSP के लिए -approximation किसी के लिए घातीय अंतरिक्ष के साथ , या समय में किसी भी ( बोरिया, बुर्जुआ, Escoffier, Paschos के लिए बहुपद स्थान के साथ )।$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

मैं किसी भी अतिरिक्त और सुझावों के लिए आभारी रहूंगा।

Comments

यह एक बड़ा सारांश है जो ज्ञात है। मैं आपको इस उत्तर को स्वीकार करने के लिए प्रोत्साहित करूंगा (भले ही यह आपका अपना हो)।

— सुरेश वेंकट

माइनर नाइटपिक: आपको लगता है कि मीट्रिक TSP और ATSP के लिए अनुपयुक्त स्थिरांक के लिए स्थान बदल गए हैं।

— माइकल लैम्पिस

आप प्लानर / बंधे जीनस / बहिष्कृत लघु रेखांकन जोड़ सकते हैं; जिन परिणामों से मैं अवगत हूं, वे इस प्रकार हैं। (1) प्लानर ग्राफ में टीएसपी - रैखिक समय पीटीएएस ( cs.brown.edu/people/klein/publications/no-contraction.pdf ), (2) टीएसपी में बंधे हुए जीनस / बहिष्कृत लघु ग्राफ़ - QPTAS के साथ बाहर किए गए नाबालिगों के लिए बिना रेखांकन वाले रेखांकन। / बंधे हुए जीनस के साथ भारित रेखांकन ( cs.emory.edu/~mic/papers/15.pdf ), (3) प्लानर ग्राफ़ में एटीएसपी - निरंतर कारक सन्निकटन ( stanford.edu/~~aberi/atsp2.pdf )।

— जोताचिडिल

@ एलेक्स गोलोवनेव: ब्योर्क्लॉड्स एल्गोरिथ्म एटीएसपी के लिए काम नहीं करता है, यह ग्राफ के सममित होने पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है।

— एंड्रियास ब्योर्क्लकुंड

Erickson-Sidiropoulos का परिणाम ATSP के लिए है - यह ऊपर दी गई सूची में स्पष्ट नहीं है। अरोड़ा का पीटीएएस किसी भी निश्चित आयाम के लिए काम करता है। मुझे "मीट्रिक एटीएसपी" शब्द पसंद नहीं है।

— चंद्र चकुरी

Answer 2

1.1-सन्निकटन समय (और स्थान) में प्राप्त किया जा सकता है हेल्ड और कार्प के सटीक एल्गोरिथ्म के "छंटे हुए" संस्करण का उपयोग करके । यहाँ स्थानों की संख्या है। अधिक सामान्य रूप से, -approximation समय में सभी । इस से है:हे * ( 2 n ) n ( 1 + ε ) हे * ( 2 ( 1 - ε / 2 ) एन ) ε ≤ 2 /$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

निकोलस बोरिया, निकोलस बुओज़ोइस, ब्रूनो एस्कोफ़ियर, वेलेंजिस थ। पासोस: कुछ ग्राफ समस्याओं के लिए घातीय सन्निकटन स्कीमा। ऑनलाइन उपलब्ध है ।

Answer 3

इसी तरह का प्रश्न किसी भी समस्या के लिए पूछा जा सकता है जहां हमारे पास सन्निकटन पर एक कम बाउंड और एक ऊपरी बाउंड और वर्तमान में । मैं मान रहा हूं कि प्रश्नकर्ता उप-घातांक समय एल्गोरिदम में रुचि रखता है। यह अज्ञात "सत्य" पर निर्भर करता है। समस्या यह है कि NP- हार्ड एक कारक भीतर अनुमानित है जो कि अंतराल [ । इसका मतलब यह है कि सैट से समस्या में कमी आई है जैसे कि अपरूपता से बेहतर हमें सैट का जवाब तय करने की अनुमति देगा। यदि हम SAT के लिए घातांक-समय की परिकल्पना को मानते हैं, तो कमी की दक्षता एक देगीबीटा अल्फा < बीटा γ अल्फा , बीटा ] γ θ γ 2 n हे ( θ )$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$ऐसे कि नीचे का अनुमान संभव नहीं है से कम समय में । हालांकि किसी भी चीज़ से तुलना में बहुपद समय में संभव है। इसका मतलब यह है कि हम आम तौर पर नहीं करते हैं$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$(कम से कम स्थिर कारक श्रेणी में) उप-घातीय-समय दिए जाने पर भी सन्निकटन अनुपात में सुधार देखें। कई समस्याएं हैं जहां सबसे अच्छी कठोरता के परिणाम को जाना जाता है, जो कि एसएटी से एक अकुशल कमी के माध्यम से है, अर्थात, कठोरता परिणाम एक कमजोर धारणा के तहत होता है जैसे कि एनपी अर्ध-बहुपद समय में निहित नहीं है। ऐसे मामलों में किसी को उप-घातीय समय में एक बेहतर सन्निकटन मिल सकता है। केवल एक ही मुझे पता है कि समूह स्टीनर ट्री समस्या है। एक हालिया प्रसिद्ध परिणाम अद्वितीय खेलों के लिए उप-घातांक-समय एल्गोरिथ्म पर अरोड़ा-बराक-स्टीयर में से एक है: इस परिणाम से हम जो निष्कर्ष निकालते हैं, वह यह है कि यदि यूजीसी सत्य है तो सैट से यूजीसी तक की कटौती कुछ इस तरह से होगी अकुशल, अर्थात्, SAT फॉर्मूले से प्राप्त UGC के उदाहरण का आकार एक निश्चित फैशन में मापदंडों के साथ बढ़ना है।

Comments

सबसे अच्छी व्याख्या के लिए धन्यवाद। मेरी राय में, से कम समय में टीएसपी लगभग अनुमानित करना दिलचस्प हो सकता है । मेरा मतलब केवल उप-घातांक एल्गोरिदम नहीं था। और आपने उप-घातांक एल्गोरिदम के साथ बहुत अच्छी तरह से स्थिति को समझाया। $2^n$

— एलेक्स गोलोवनेव

Answer 4

भारित बंधे हुए जीनस ग्राफ के लिए सबसे अच्छा tsp http://erikdemaine.org/papers/ContractionTSP_Combinatorica/ है ।

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धन्यवाद, लेकिन क्या यह ईसाई सोमेर द्वारा बताए गए डेमन-हाजीगाय-कवाबायशी परिणाम का एक विशेष मामला नहीं है?

— एलेक्स गोलोवनेव