रैखिक तर्क में साबित होने वाली स्वचालित प्रमेय

Question

क्या स्वचालित प्रमेय साबित करने और सबूत को रेखीय और अन्य प्रपोजल सबस्ट्रक्चरल लॉजिक्स में आसान खोज रहा है जिसमें संकुचन की कमी है?

मैं इन लॉजिक्स में साबित होने वाले और प्रमाणिक खोज में संकुचन की भूमिका के बारे में और अधिक कहां पढ़ सकता हूं?

Answer 1

अन्य संसाधनों को कौस्तुव चौधुरी की थीसिस " रैखिक तर्क के लिए केंद्रित व्युत्क्रम विधि " में संदर्भित किया जा सकता है , और आपको रॉय डाइकॉफ की " संकुचन-मुक्त अनुक्रम गणना" में दिलचस्पी हो सकती है , जो संकुचन के बारे में है लेकिन रैखिक तर्क के बारे में नहीं।

रैखिक तर्क में कुशल प्रमाण खोज के अवसर हैं, लेकिन मुझे नहीं लगता कि वर्तमान कार्य इंगित करता है कि गैर-उप-निर्माणीय तर्क में प्रमाण खोज से आसान है। समस्या यह है कि यदि आप रैखिक तर्क में साबित करना चाहते हैं , तो आपके पास एक अतिरिक्त प्रश्न है जो आपके पास सामान्य प्रमाण खोज में नहीं है: C का उपयोग A को सिद्ध करने के लिए किया जाता है या B को सिद्ध करने के लिए C का उपयोग किया जाता है ? व्यवहार में, यह "संसाधन nondeterminism" रैखिक तर्क में प्रमाण खोज करने में एक बड़ी समस्या है।$C \vdash(A \otimes B)$$C$$A$$C$$B$

टिप्पणियों के अनुसार, लिंकन एट अल 1990 " प्रोपोजल लीनियर लॉजिक के लिए निर्णय की समस्याएं " एक अच्छा संदर्भ है यदि आप "आसान" जैसे शब्दों के बारे में तकनीकी प्राप्त करना चाहते हैं।

Comments

क्या एलएल में प्रूफ खोज आईएल से कठिन नहीं है? ISTR, शास्त्रीय प्रपोजल लॉजिक NP-complete है, अंतर्ज्ञानवादी प्रपोजल लॉजिक PSPACE-complete है, और इंट्यूजिस्टिक लीनियर लॉजिक (साथ ) असाध्य है। $!A$

— नील कृष्णस्वामी

@ नील: घातांक संकुचन को वापस छलनी करने के लिए एक उपकरण है। इसके अलावा, संयोजी संयोजक आंतरिक रूप से व्यवहार करते हैं जैसे कि उनका संकुचन होता है, इसलिए आप ये नहीं चाहते हैं। आपके साथ छोड़ दिया गया एमएलएल है, जो वास्तव में एनपी-पूर्ण है (शास्त्रीय तर्क के विपरीत, जो एनपी-पूर्ण नहीं है जैसा आपने कहा था, लेकिन कोएनपी-पूर्ण)। विशेष रूप से, प्रत्येक एमएलएल-टॉटोलॉजी में एक बहुपद-आकार का प्रमाण होता है। हालांकि, यह प्रमाण निर्धारक रूप से खोजना आसान नहीं है, जैसा कि रोब बताते हैं (जो एक अच्छी बात है, क्योंकि हम चाहते हैं कि एनपी उपसंचाई के समय में न हो।)

— एमिल जेकाबेक मोनिका

आप दोनों इस बात की सेवा करते हैं कि मैं इस बारे में अनौपचारिक रूप से कह रहा था कि रैखिक तर्क "आसान क्यों नहीं है" - एक औपचारिक अर्थ में MALL प्रूफ की खोज कठिन है, और पूर्ण रेखीय लॉजिक प्रूफ की खोज अभी भी कठिन है। सबसे अधिक, यदि सभी नहीं, तो परिणाम का उल्लेख लिंकन एट अल से 1990 के पेपर में "प्रस्तावक रेखीय तर्क के लिए निर्णय समस्याएं" के रूप में किया जाता है।

— रोब सिमंस

@ ईमिल - मैंने कभी भी एमएलएल और शास्त्रीय तर्क के बीच के दिलचस्प अंतर पर ध्यान नहीं दिया। क्योंकि यह के गवाहों छोटा होना चाहिए एमएलएल एनपी में है ... लेकिन शास्त्रीय प्रोपोज़िशनल सिलसिलेवार सबूत बहुपद आकार होना आवश्यक नहीं है (और मुझे लगता है कि नहीं कर सकते हैं, सामान्य रूप में, हो आकार के लिए नीचे)। वहाँ कोई शास्त्रीय-अनुक्रम-प्रूफ-ऑफ- ए के लिए बहुपद गवाह क्या है ? $\it cut$$A$

— रोब सिमंस

@ रोब सिमंस: इसकी उपेक्षा के लिए एक संतोषजनक कार्य।

— केवह

Answer 2

नहीं, यह केवल कठिन है।

जिस प्रकार अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावक तर्क के लिए निर्णय की समस्या शास्त्रीय प्रस्तावक तर्क की तुलना में कठिन है, उसी प्रकार रैखिक प्रस्तावना तर्क अभी भी कठिन है। या तो घातांक (जिसमें संकुचन की कमी नहीं होती है) या गैर-संयोजी संयोजी के विभिन्न स्वादों के साथ, तर्क अनिर्णायक हो जाता है और यहां तक ​​कि कमजोर शास्त्रीय एमएएलपी भी पूरा हो जाता है। इसके विपरीत, शास्त्रीय प्रस्तावक तर्क के लिए निर्णय समस्या सह-एनपी पूर्ण है, और अंतर्ज्ञानवादी प्रस्ताव तर्क के लिए, PSPACE पूर्ण। (ऑफहैंड, मुझे अंतर्ज्ञानवादी MALL की जटिलता का पता नहीं है।)

मैं अपने रेखीय तर्क , SIGACT न्यूज 1992 की धारा 6 में पैट लिंकन के निष्कासन की सलाह देता हूं। हमने तब से कुछ और सीखा है, अर्थात, हमारे पास लीनियर लॉजिक्स के एक बड़े परिवार के लिए परिणाम हैं, लेकिन मूल तस्वीर वहां है।

एक निश्चित तरीके से, यह वही है जो रैखिक तर्क की खोज को दिलचस्प बनाता है, क्योंकि निर्णय समस्या की कठोरता गणना के अधिक दिलचस्प विचारों के लिए जगह बनाती है, और रैखिक तर्क इतने सारे अलग-अलग तरीकों से कठिन है। लॉर्ड लॉयर लॉजिक प्रोग्रामिंग के डेल मिलर के अवलोकन के लिए लेडी ने इशारा किया ; यह देखने के लिए एक अच्छी जगह है क्योंकि मिलर ने किसी और के रूप में अभिकलन के रूप में सबूत खोज के विचार को विकसित करने के लिए अधिक किया है।

Comments

@ केव: टाइपो के बजाय गलत वर्गीकरण; तय की। मुझे एमएलएल का उल्लेख करना चाहिए।

— चार्ल्स स्टीवर्ट

Answer 3

यह मानते हुए कि उत्तेजना समस्या की जटिलता आपको संतुष्ट करेगी, संकुचन के साथ और बिना उप-निर्माण लॉजिक्स की जटिलताओं का परिदृश्य कुछ जटिल है। मैं यहां यह सर्वेक्षण करने की कोशिश करूंगा कि प्रस्तावक रैखिक तर्क और प्रस्ताव तर्क के लिए क्या जाना जाता है। संक्षिप्त उत्तर यह है कि संकुचन कभी-कभी मदद करता है (जैसे एलएलसी निर्णायक है, जबकि एलएल नहीं है), और कभी-कभी ऐसा नहीं होता है (उदाहरण के लिए MALL PSPACE-complete है, MALLC ACKERMANN-complete है)।

प्रपोजल लॉजिक्स

• सीएल: शास्त्रीय तर्क
• IL: अंतर्ज्ञानवादी तर्क
• LL: रैखिक तर्क, टुकड़े MLL (गुणक), MELL (गुणक घातीय), MALL (गुणक योजक)
• एलएलडब्ल्यू: एफाइन लॉजिक, यानी एलएल कमजोर पड़ने के साथ, ऊपर के समान टुकड़े
• LLC: संकुचन रैखिक तर्क, यानी संकुचन के साथ LL, ऊपर के समान टुकड़े
• $_\to$$_{\to,\wedge}$

प्रदान करने की जटिलता

• एनपी-पूर्ण: MLL [Kan91]
• सह-एनपी-पूर्ण: सीएल
• PSPACE-complete: IL [Sta79], MALL [Lin92]
• 2EXP- पूर्ण: आर$_\to$, IMLLC, IMELLC [Sch14]
• TOWER- पूर्ण: MELLW, LLW [Laz14]
• ACKERMANN-complete: आर$_{\to,\wedge}$ [Urq99], MALLC, LLC [Laz14]
• $\Sigma_1^0$-अपूर्ण: LL [Lin92], R [Urq84]

यहाँ पर कुछ मुख्य खुले प्रश्न हैं कि क्या MELL डिसीडेबल है, और इम्प्लांटिकल टुकड़ा T की जटिलता क्या है$_\to$ टिकट तर्क का (आर का एक प्रकार)।

संदर्भ

• [Kan91] मैक्स Kanovich, रैखिक तर्क का गुणक टुकड़ा एनपी-पूर्ण , अनुसंधान रिपोर्ट X-91-13, भाषा, तर्क और सूचना संस्थान, 1991 है।
• [Laz14] रैंको लाजिक और सिल्वेन शमित्ज़, ब्रांचिंग VASS, MELL, और एक्सटेंशन्स , पांडुलिपि, 2014 के लिए गैर-प्राथमिक जटिलताएँ । arXiv: 1401.6785 [cs.LO]
• [लिन92] पैट्रिक लिंकन, जॉन मिशेल, आंद्रे स्काडरोव, और नटराजन शंकर, प्रोपोजल लीनियर लॉजिक , एनल्स ऑफ प्योर एंड अप्लाइड लॉजिक 56 (1-3) के लिए निर्णय की समस्याएं : 239–311, 1992: 10.1016 / 0168-0072 (92) 90,075-बी
• [स्क १४] सिल्वेन शमित्ज़, इम्प्लिसिअल रीलेन्स लॉजिक २-एक्सपायरी-कम्प्लीट , पांडुलिपि, २०१४ है। arXiv: १४०२.०१०५ [cs.LO]
• [Sta79] रिचर्ड स्टेटमैन, अंतर्ज्ञानवादी प्रस्ताव तर्क बहुपद-अंतरिक्ष पूर्ण , सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान 9 (1): 67-72, 1979. doi: 10.1016 / 0304-3975 (79) 90006-9
• [उरकोवा] अलसैदर उर्कहार्ट, द अनडिवाइडबिलिटी ऑफ़ एंटेलिमेंट एंड रेलेवैंट इम्प्लीकेशन , जर्नल ऑफ़ सिम्बोलिक लॉजिक ४ ९ (४): १०५ ९ -१० ,३, १ ९ Al४। डोई: १०.२३० / / २२74४२६१
• [उरक ९९] अलसादैर उर्कहार्ट, प्रासंगिक तर्क में निर्णय प्रक्रिया की जटिलता II , जर्नल ऑफ़ सिम्बोलिक लॉजिक ६४ (४): १––४-१2०२, १ ९९९। १०.२३० / / २५88११

Answer 4

शायद डेल मिलर का रेखीय तर्क प्रोग्रामिंग का अवलोकन एक अच्छा स्ट्रैटनिंग पॉइंट है?