बंधे हुए त्रिभुज ग्राफ़ के लिए निषिद्ध नाबालिग

Question

यह प्रश्न मेरे पिछले प्रश्नों में से एक के समान है । यह ज्ञात है कि , t tewewidth के रेखांकन के लिए निषिद्ध नाबालिग है ।$K_{t+2}$$t$

क्या रेखांकन (पूर्ण रेखांकन और ग्रिड ग्राफ के अलावा अन्य) का एक अच्छी तरह से निर्मित, पैरामीटरयुक्त, अनंत परिवार है जो हर ट्रेविदथ के ग्राफ़ के लिए न्यूनतम वर्जित नाबालिग हैं। दूसरे शब्दों में, वहाँ एक स्पष्ट ग्राफ है पर आर कोने (जो नहीं है एक पूर्ण ग्राफ) ऐसी है कि जी आर ज्यादा से ज्यादा treewidth के रेखांकन के लिए एक वर्जित नाबालिग है आर , जहां आर की एक समारोह है टी ?$G_r$$r$$G_r$$r$$r$$t$

निषिद्ध नाबालिगों का पूरा सेट सबसे अधिक तीन में ट्रेविदथ के ग्राफ़ के लिए जाना जाता है। अधिक विवरण के लिए यह विकिपीडिया लेख देखें।

सबसे अधिक ज्ञात चार में से एक के ग्राफ के पूर्ण वर्जित अवयवों का पूरा सेट है?

Comments

पहले सवाल में, "नाबालिग नाबालिग" के साथ आपका मतलब है "न्यूनतम निषिद्ध नाबालिग", क्या आप नहीं? यदि नहीं ग्रिड रेखांकन एक उदाहरण है।

— डिएगो डे एस्ट्राडा

हाँ। मेरा मतलब था कि मामूली नाबालिग।

— शिव किंतली

आपने अपने प्रश्न को बढ़ाते हुए दो टिप्पणियां की हैं, एक यहाँ और एक उत्तर के तहत; प्रश्न में परिवर्तनों को शामिल करना बेहतर होगा, ताकि लोगों को प्रश्न को समझने के लिए विभिन्न टिप्पणियों के माध्यम से पढ़ना न पड़े।

— जोर्की

@joriki मैंने सवाल अपडेट किया।

— शिव किंतली

Answer 1

यदि G एक छोटे ग्राफ H से बनता है जो दो कोने x और y को जोड़कर एक गुच्छ नहीं है, जैसे कि x और y एक दूसरे से सटे नहीं हैं, लेकिन G के अन्य सभी कोने से सटे हैं, तो । जी के किसी भी पेड़ के अपघटन में , या तो एक्स और वाई के पास उप-योग हैं या उनके पास अतिव्यापी उपप्रकार हैं। यदि उनके पास उप-योग हैं, तो अन्य सभी उपप्रकारों में x और y के लिए पेड़ों के बीच सबसे छोटा रास्ता शामिल करना होगा ; यह अनुमान कि एच एक गुच्छी नहीं है, तब इसका उपयोग दिखाने के लिए किया जा सकता है$tw(G)=tw(H)+2$$G$$x$$y$$x$$y$ उपप्रकारों में , जिसमें से यह निम्न है कि treewidth $n-2$$H$ । वैकल्पिक रूप से अगर एक्स और वाई subtrees अतिव्यापी है, हर दूसरे शिखर एक सबट्री कि के दो subtrees के चौराहे से छू होना आवश्यक है एक्स और वाई , और हम एक पेड़ के अपघटन दे रही है कि चौराहे के पेड़ अपघटन सीमित कर सकते हैं, जिसमें एक्स और वाई प्रत्येक पेड़ के नोड में भाग लें।$n-2\ge tw(H)+2$$x$$y$$x$$y$$x$$y$

इसका मतलब यह है कि हाइपरएक्टाहेड्रल ग्राफ 2 k नोड्स के साथ चौड़ाई 2 k - 3 के लिए एक न्यूनतम निषिद्ध नाबालिग है । ऑकहेड्रल ग्राफ K 2 , 2 , 2 चौड़ाई तीन के लिए एक न्यूनतम निषिद्ध लघु है, जिसमें से ऊपर दिए गए तर्क से पता चलता है कि हाइपरओक्टाहेड्रल ग्राफ की चौड़ाई 2 k - $K_{2,2,2,\dots}$$2k$$2k-3$$K_{2,2,2}$$2k-2$। और अगर किसी भी किनारे के संकुचन या किनारे को हटाने को हाइपरओक्टाहेड्रल ग्राफ में किया जाता है, तो ग्राफ के समरूपता हमें यह मानने की अनुमति देती है कि ऑपरेशन आधार ऑक्टाहेड्रोन में बारह किनारों में से एक के लिए हो रहा है, जिससे इसकी चौड़ाई और सभी हाइपरओक्टेहेड्रा की चौड़ाई हो जाती है इसे कम करने से बनाया गया है।

(ग्राफ़ के दूसरे वर्ग को आपको अपने प्रश्न में शामिल करना चाहिए साथ ही पूरे ग्राफ़ ग्रिड ग्रिड हैं। एक ग्रिड में treewidth r है । यह पूर्ण ग्राफ़ के नाबालिगों से अलग है क्योंकि इसका प्लानर और इसलिए इससे अधिक कोई मामूली नहीं है। चार चक्करों की तुलना में। यह कम से कम वर्जित मामूली नहीं है, हालांकि, क्योंकि कुछ छोटे बदलाव (जैसे कोने कोने को अनुबंधित करना) अपने ट्रेविद को नहीं बदलते हैं।)$r\times r$$r$

Comments

हाँ। ग्रिड रेखांकन को छोड़ दें।

— शिव किंतली

Answer 2

में विरल अवरोधों और सही treewidth दृढ़ संकल्प , Lucena कहा गया है कि में सैंडर्स की पीएचडी थीसिस , "treewidth के लिए 75 या तो कम से कम मना नाबालिगों दिया जाता है, और यह माना जाता है, हालांकि साबित नहीं इस पूरे बाधा सेट का गठन कर सकते हैं।"$\leq 4$