क्वांटम पर हाल के कुछ धागे पढ़ना कंप्यूटिंग ( यहाँ , यहाँ , और यहाँ ), मुझे किसी तरह का की शक्ति के बारे में एक दिलचस्प सवाल याद कर मशीन संरक्षण -norm।
क्वांटम जटिलता में जाने वाले जटिलता सिद्धांत में काम करने वाले लोगों के लिए एक महान परिचयात्मक पाठ है फोर्टेव्यू का पेपर जो लिंक यहां जोशुआ ग्रोचो द्वारा पोस्ट किया गया था । उस कागज में, क्वांटम ट्यूरिंग मशीन को एक सामान्यीकृत संभाव्य ट्यूरिंग मशीन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। असल में, संभाव्य मशीन एक राज्य है तहत सामान्यीकृत ℓ 1 -norm, यानी ∥ रों ∥ 1 = 1 । मशीन के समय विकास एक के आवेदन के द्वारा दिया जाता है स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स पी ऐसी है कि ∥ पी एस ∥ 1 = 1 , यानी पी को बरकरार रखता है -norm। तो समय राज्य टी है पी टी एस (संकेतन सटीक नहीं हो सकता है की वजह से बाएं या दाएं गुणा पी अगर पर निर्भर करता है रों एक पंक्ति या स्तंभ वेक्टर है या पंक्तियों या स्तंभों के पी आदर्श संरक्षण subspaces हैं)। तो इस अर्थ में संभाव्य ट्यूरिंग मशीन एक है ℓ 1 -norm संरक्षण मशीन निरूपित किया जाता एम ℓ 1 ।
फिर एक लंबी ट्यूरिंग मशीन एक राज्य होने के रूप में देखा जा सकता है साथ ∥ रों ∥ 2 = 1 और एकात्मक मैट्रिक्स पी (कि बरकरार रखता है ℓ 2 -norms) ऐसी है कि पी टी एस समय राज्य है टी जहां ∥ पी टी एस ∥ 2 = 1 । यह एक है ℓ 2 -norm संरक्षण मशीन निरूपित किया जाता एम ℓ 2 ।
सामान्य एक में चलो -norm संरक्षण मशीन द्वारा दर्शाया जाता है एम ℓ पी ।
तो मेरे सवाल हैं:
(1) की शक्ति क्या है -norm परिमित के लिए मशीनों संरक्षण पी ? अधिक औपचारिक रूप से, हम उस साबित कर सकते हैं किसी भी के लिए पी और क्यू , अगर क्ष > पी फिर वहाँ एक भाषा से मौजूद एल और मशीन एम ℓ क्ष ऐसी है कि एम ℓ क्ष कुशलता का फैसला करता है एल और कोई मशीन है एम ℓ पी कि कुशलता से निर्णय लेता है एल । उदाहरण के लिए, इस सवाल का सामान्यीकरण हो सकता है, है एन पी ⊆ बी क्यू पी ?।
(2) के बारे में क्या ? यहाँ राज्य वेक्टर के घटकों का अधिकतम मूल्य 1 है।
(३) ये प्रश्न इकाईयता से परे हैं, इसलिए इसे क्वांटम यांत्रिकी से सहमत होने की उम्मीद नहीं है। सामान्य तौर पर, यदि आप ऑपरेशन पर यूनिटेरिटी प्रतिबंध को आराम देते हैं तो गणना के साथ क्या होता है? गैर-रेखीय ऑपरेटरों को अनुमति देने के बारे में काम करते हैं ( आरोनसन 2005 देखें )।
(४) शायद सबसे महत्वपूर्ण, क्या यह सार्वभौमिक है? मुझे लगता है कि यह स्पष्ट है, क्योंकि विशेष मामलों के लिए यह सार्वभौमिक है। लेकिन जब सार्वभौमिकता के साथ क्या होता है ?