-norm ट्यूरिंग मशीन संरक्षण

Question

क्वांटम पर हाल के कुछ धागे पढ़ना कंप्यूटिंग ( यहाँ , यहाँ , और यहाँ ), मुझे किसी तरह का की शक्ति के बारे में एक दिलचस्प सवाल याद कर मशीन संरक्षण -norm।$\ell_p$

क्वांटम जटिलता में जाने वाले जटिलता सिद्धांत में काम करने वाले लोगों के लिए एक महान परिचयात्मक पाठ है फोर्टेव्यू का पेपर जो लिंक यहां जोशुआ ग्रोचो द्वारा पोस्ट किया गया था । उस कागज में, क्वांटम ट्यूरिंग मशीन को एक सामान्यीकृत संभाव्य ट्यूरिंग मशीन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। असल में, संभाव्य मशीन एक राज्य है तहत सामान्यीकृत ℓ 1 -norm, यानी ∥ रों ∥ 1 = 1 । मशीन के समय विकास एक के आवेदन के द्वारा दिया जाता है स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स पी ऐसी है कि ∥ पी एस ∥ 1 = 1 , यानी पी को बरकरार रखता है$s$$\ell_1$$\parallel s\parallel_1=1$$P$$\parallel Ps\parallel_1=1$$P$ -norm। तो समय राज्य टी है पी टी एस (संकेतन सटीक नहीं हो सकता है की वजह से बाएं या दाएं गुणा पी अगर पर निर्भर करता है रों एक पंक्ति या स्तंभ वेक्टर है या पंक्तियों या स्तंभों के पी आदर्श संरक्षण subspaces हैं)। तो इस अर्थ में संभाव्य ट्यूरिंग मशीन एक है ℓ 1 -norm संरक्षण मशीन निरूपित किया जाता एम ℓ 1 ।$\ell_1$$t$$P^ts$$P$$s$$P$$\ell_1$$M^{\ell_1}$

फिर एक लंबी ट्यूरिंग मशीन एक राज्य होने के रूप में देखा जा सकता है साथ ∥ रों ∥ 2 = 1 और एकात्मक मैट्रिक्स पी (कि बरकरार रखता है ℓ 2 -norms) ऐसी है कि पी टी एस समय राज्य है टी जहां ∥ पी टी एस ∥ 2 = 1 । यह एक है ℓ 2 -norm संरक्षण मशीन निरूपित किया जाता एम ℓ 2 ।$s$$\parallel s\parallel_2=1$$P$$\ell_2$$P^ts$$t$$\parallel P^ts\parallel_2=1$$\ell_2$$M^{\ell_2}$

सामान्य एक में चलो -norm संरक्षण मशीन द्वारा दर्शाया जाता है एम ℓ पी ।$\ell_p$$M^{\ell_p}$

तो मेरे सवाल हैं:

(1) की शक्ति क्या है -norm परिमित के लिए मशीनों संरक्षण पी ? अधिक औपचारिक रूप से, हम उस साबित कर सकते हैं किसी भी के लिए पी और क्यू , अगर क्ष > पी फिर वहाँ एक भाषा से मौजूद एल और मशीन एम ℓ क्ष ऐसी है कि एम ℓ क्ष कुशलता का फैसला करता है एल और कोई मशीन है एम ℓ पी कि कुशलता से निर्णय लेता है एल । उदाहरण के लिए, इस सवाल का सामान्यीकरण हो सकता है, है एन पी ⊆ बी क्यू पी ?।$\ell_p$$p$$p$$q$$q>p$$L$$M^{\ell_q}$$M^{\ell_q}$$L$$M^{\ell_p}$$L$$NP \subseteq BQP$

(2) के बारे में क्या ? यहाँ राज्य वेक्टर के घटकों का अधिकतम मूल्य 1 है।$p=\infty$

(३) ये प्रश्न इकाईयता से परे हैं, इसलिए इसे क्वांटम यांत्रिकी से सहमत होने की उम्मीद नहीं है। सामान्य तौर पर, यदि आप ऑपरेशन पर यूनिटेरिटी प्रतिबंध को आराम देते हैं तो गणना के साथ क्या होता है? गैर-रेखीय ऑपरेटरों को अनुमति देने के बारे में काम करते हैं ( आरोनसन 2005 देखें )।

(४) शायद सबसे महत्वपूर्ण, क्या यह सार्वभौमिक है? मुझे लगता है कि यह स्पष्ट है, क्योंकि विशेष मामलों के लिए यह सार्वभौमिक है। लेकिन जब सार्वभौमिकता के साथ क्या होता है ?$p=\infty$

Comments

स्कॉट आरोनसन द्वारा एक बहुत ही दिलचस्प पेपर: क्वांटम मैकेनिक्स थ्योरीस्पेस में एक द्वीप है? scottaaronson.com/papers/island.pdf

— Tsuyoshi Ito

क्या आप इसे उत्तर में बदल सकते हैं? ऐसा प्रतीत होता है कि स्कॉट सीधे तौर पर मार्कोस के प्रश्न को संबोधित कर रहे हैं। पेपर में प्रपोजल 5 देखिए ...

— रायन विलियम्स

अभी तक इसे पूरी तरह से नहीं पढ़ा है, लेकिन यह ऊपर के सवालों (1) और (3) का जवाब देता है।

— मार्कोस विलग्रा

@ रेयान: हो गया। अगली बार, कृपया नाम से पहले एक एट-साइन जोड़ें ताकि यह "प्रतिक्रियाओं" पेज में दिखाई दे।

— त्सुयोशी इतो

Answer 1

यह प्रश्नों का पूर्ण उत्तर नहीं है, लेकिन यह एक टिप्पणी के रूप में लिखने के लिए बहुत लंबा है। यह मेरी पिछली टिप्पणी का विस्तार करता है।

प्रश्न "अगर क्वांटम यांत्रिकी के स्वयंसिद्धों को थोड़ा संशोधित किया जाता है तो गणना क्या होती है?" स्कॉट एरोंसन द्वारा एक मजेदार पेपर [Aar04] द्वारा बड़े विस्तार से संबोधित किया गया है। मुझे विश्वास है कि आपके प्रश्नों का उत्तर अनिवार्य रूप से [आर ०४] की धारा २ के पहले भाग में दिया गया है।

आरोनसन से पता चलता है कि यदि पी> 0 और पी if 2 है, तो एक मैट्रिक्स जो सभी वैक्टर के लिए पी-आदर्श को संरक्षित करता है, आवश्यक रूप से एक सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स (एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स और एक विकर्ण मैट्रिक्स का एक उत्पाद) है। वह बताता है कि मामला p = = में समान है। ये सभी ℝ और ℂ दोनों के लिए पकड़ रखते हैं। ध्यान दें कि इसमें पी = 1 का मामला शामिल है: स्टोकेस्टिक मैट्रिंस नॉनजेटिव वैक्टर के लिए 1-मानदंड को संरक्षित करते हैं लेकिन सामान्य रूप से सभी वैक्टर के लिए नहीं।

मुझे लगता है कि एक संभाव्य ट्यूरिंग मशीन को [For00] के रूप में सामान्यीकृत किया गया है, इसके ग्लोबली ट्रांस्फ़ॉर्म मैट्रिक्स के रूप में एक सामान्यीकृत क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है, यदि यह एक नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन है, लेकिन मेरे पास प्रमाण नहीं है।

आरोनसन ने कागज में क्वांटम यांत्रिकी के स्वयंसिद्धों के कई अन्य संशोधनों पर भी चर्चा की। उदाहरण के लिए, हम (के बजाय की अनुमति दी फाटकों का सेट) माप के नियम बदलते हैं ताकि परिणाम एक्स संभावना के साथ होता है | α _x | ^p / | _y | α _y | ^पी , जहां α _y का आयाम है। _y then, तो यह "क्वांटम कंप्यूटर" पीपी में किसी भी समस्या को हल कर सकता है (एनपी-पूर्ण समस्याओं सहित) बहुपद समय में जब तक p = 2 (प्रस्ताव 5)।

संदर्भ

[आर ०४] स्कॉट आरोनसन। क्या क्वांटम मैकेनिक्स सिद्धांत क्षेत्र में एक द्वीप है? वैक्ज़ो कॉन्फ्रेंस की कार्यवाही में "क्वांटम थ्योरी: फ़ाउंडेशन ऑफ़ फाउंडेशन," 2004. arXiv: quant-ph / 0401062 v2।

[For00] लांस फोर्टन। क्वांटम कंप्यूटिंग की एक जटिलता सिद्धांतकार का दृष्टिकोण। कम्प्यूटिंग में: ऑस्ट्रेलियन थ्योरी संगोष्ठी (CATS 2000), पीपी। 58-72, जनवरी 2000. http://dx.doi.org/10.1016/S1571-0661(05)80330-5

Comments

मेरे लिए यह सबसे अच्छा औचित्य है कि यह आयाम क्यों है और 4-वें या उच्चतर शक्ति नहीं है। काश मैं इस तरह के परिणामों के बारे में जानता जब मैं पहली बार क्यूएम सीख रहा था और वर्ग की पसंद इतनी मनमानी लग रही थी।

— Artem Kaznatcheev

Answer 2

$p \not\in \{1,2\}$$\ell_p$$\left| \psi_i \right|^p$

$\ell_p$$\ell_1$$\ell_2$$\Omega(N^{1/p})$. I never was able to find a matching upper bound here, though. To answer your question on $\ell_\infty$, I was able (IIRC) to show that the computational power of $\ell_p$ निर्णय की समस्याओं के लिए सर्किट के बराबर था $\ell_q$ कहाँ पे $1/p+1/q=1$(मूल रूप से सभी ऑपरेटरों के पारगमन को ले कर)। मैं अनुमान करता हूं कि ये$\ell_p$ सर्किट में सख्ती से बढ़ती शक्ति थी $p$ 1 (शास्त्रीय) से 2 तक बढ़ जाती है (क्वांटम)।