क्या शतरंज एक यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीन का अनुकरण कर सकता है?

Question

मैं शीर्षक प्रश्न का एक निश्चित उत्तर पाने के लिए देख रहा हूँ।

क्या नियमों का एक सेट है जो किसी भी कार्यक्रम को अनंत टुकड़ों पर परिमित टुकड़ों के विन्यास में बदल देता है, जैसे कि यदि श्वेत और श्याम केवल कानूनी चालें चलते हैं, तो खेल रुक जाता है यदि कार्यक्रम रुक जाता है?

नियम सामान्य शतरंज के 50 कदम के नियम, आदान-प्रदान और कास्टिंग के समान हैं।

और विभिन्न प्रकार के टुकड़ों (यानी सरलतम गेम) की न्यूनतम संख्या क्या है जो शतरंज की तरह के खेल के लिए ट्यूरिंग-पूर्ण होने के लिए आवश्यक है? (प्रत्येक प्रकार के टुकड़े में अनुमत चालों का एक सेट होता है जो अनुवादों के तहत अपरिवर्तित होता है)।

क्या कोई खेल है जिसे हम खेल में जोड़ सकते हैं ताकि यह साबित हो सके कि यह पूर्ण है?

Comments

यह प्रश्न भी गणित पर पोस्ट किया गया है । कृपया, क्रॉस-पोस्टिंग के बारे में faq पढ़ें ।

— गोपी

आपने केवल math.SE पर इसे पोस्ट किया है और पहले से ही एक MO लिंक के लिए एक सहायक पॉइंटर प्राप्त किया है, साथ ही एक उत्तर भी। यदि ये उपयुक्त नहीं होते हैं, तो आप यहां क्रॉसपोस्ट कर सकते हैं, लेकिन सामान्य तौर पर हम एक साथ क्रॉसपोस्टिंग नहीं करना पसंद करते हैं क्योंकि यह चर्चा फ्रैक्चर और पुनरावृत्ति का कारण बनता है। मैं अभी के लिए बंद कर रहा हूं, लेकिन आप इसे फिर से खोलने के लिए ध्वजांकित कर सकते हैं यदि आपको कहीं और संतोषजनक जवाब नहीं मिलता है (कृपया "बंद करने के कारण को अनदेखा करें" - हमारे पास कुछ ही विकल्प हैं)

— सुरेश वेंकट

यह काफी संभावना नहीं लगती है, क्योंकि शतरंज में किसी भी खेल में केवल एक टुकड़े की संख्या होती है, और एक सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन में कई संख्या में बिट्स होते हैं। हालाँकि, यह कोई प्रमाण नहीं है।

— पीटर शोर

@Tayfun पे: आप एक अलग समस्या का "हल" कर रहे हैं। शतरंज के EXP-C संस्करण में बोर्ड को निर्दिष्ट विशिष्ट टुकड़े हैं, जो बोर्ड की चौड़ाई के मूल्य पर निर्भर करता है । बदमाशों की संख्या, आदि n के एक अंश के रूप में बढ़ती है । यहाँ पूछा गया प्रश्न (ए) अनंत बोर्ड है, और (बी) किसी भी संख्या में, किसी भी अनुपात में एक दूसरे के लिए। $n$$n$

— हारून स्टर्लिंग

@ जेई: प्रश्नकर्ता ने कहा कि अन्य साइटों पर जवाब असंतोषजनक थे, इसलिए मैं फिर से खोल दिया।

— सुरेश वेंकट

Answer 1

मुझे यह भी लगता है कि इससे पहले भी इसी तरह का एक प्रश्न पूछा गया है, मुझे पहले यहाँ लगता है: /mathpro/27967/decidability-of-chess-on-an-infinite-board/63684 यहाँ मेरा अपडेट किया गया है और संशोधित राय

मुझे लगता है कि समस्या पूरी तरह से हल नहीं हुई है, लेकिन जवाब लगभग निश्चित रूप से हां है। मेरे पास शतरंज के लिए कोई प्रमाण नहीं है, क्योंकि मेरे पास कुछ विन्यासों को डिज़ाइन करने की क्षमता का अभाव है लेकिन मुझे लगता है कि उनका अस्तित्व होना चाहिए। और यहां तक ​​कि अगर वे नहीं करते हैं, तो कुछ शतरंज की तरह के खेल के लिए वे निश्चित रूप से करते हैं जो दर्शाता है कि निर्णायक साबित होने के प्रयास गलत होने चाहिए। बाद में मुझे महसूस हुआ कि मेरे यहाँ भी इसी तरह का तर्क है: http://www.redhotpawn.com/board/showthread.php?threadid=90513&page=1#post_1708006 लेकिन मेरा प्रमाण बताता है कि वास्तव में दो मतदाता पर्याप्त हैं और शायद मेरा अधिक विस्तृत है।

कमी स्टैक मशीन की धारणा पर निर्भर करती है। केवल एक अक्षर के ढेर वर्णमाला का उपयोग करके केवल दो स्टैक के साथ एक स्टैक मशीन किसी भी ट्यूरिंग-मशीन का अनुकरण कर सकती है। (कुछ लोग इस नियतांक परिमित ऑटोमेटन को दो काउंटरों के साथ कहेंगे।) तो हमारा लक्ष्य ऐसी किसी मशीन को शतरंज की स्थिति के साथ अनुकरण करना होगा। मैं इसके लिए दो तरीके देख सकता हूं।

i, दो अलग-अलग कॉन्फ़िगरेशन बनाएँ, जैसे कि दोनों में एक प्रारंभिक भाग और एक चलती हिस्सा है जो बदल सकता है (राज्य को संग्रहीत करने के लिए)। इसके अलावा, चलती भागों जुड़ा होगा, जैसे। बदमाशों द्वारा, जो चेकमेट कर सकता था, अगर रिहा किया जाता है, तो यही कारण है कि यदि एक राज्य 1 चलता है, तो दूसरे को k और आगे बढ़ना है।

ii, एक एकल विन्यास का निर्माण करें, जो इसकी स्थिति के आधार पर, क्षैतिज रूप से और -k को लंबवत रूप से स्थानांतरित करता है। इसके अलावा, एक किश्ती को (0,0) रखें जो कभी नहीं चलेगी लेकिन यह गारंटी दे सकती है कि जब यह खाली काउंटर पर वापस आए तो कॉन्फ़िगरेशन "समझ" सकता है।

इसलिए ऐसा करने के लिए सभी को छोड़ दिया गया है, जो मुझे लगता है कि कुछ प्रयासों और शतरंज के ज्ञान के साथ संभव होना चाहिए। यह भी ध्यान दें कि दोनों मामलों में निर्माण एक ऐसे टुकड़े का उपयोग करता है जिसकी सीमा बाध्य नहीं है, मुझे आश्चर्य है कि क्या यह वास्तव में आवश्यक है। पहले कदम के रूप में, मैंने Collatz अनुमान के बराबर स्थान देने का प्रस्ताव दिया: /mathpro/64966/is-there-a-chess-position-equivalent-to-the-collatz-conjecture

Answer 2

कल मैं इस समस्या की स्थिति की जाँच करने के लिए चारों ओर घूम गया और मुझे यह नया (2012) परिणाम मिला:

डैन ब्रुमलेव, जोएल डेविड हमकिंस और फिलिप श्लिक्ट, अनंत शतरंज की मेट-इन-एन समस्या निर्णायक है (2012)

इसलिए अनंत शतरंज की मेट-इन-एन समस्या ट्यूरिंग पूरी नहीं हो सकती है।

एक साथी के लिए चाल की संख्या पर कोई प्रतिबंध नहीं के साथ अनंत शतरंज की गिरावट अभी भी खुला लगता है।

Comments

हालांकि यह कथन बहुत आश्चर्यजनक नहीं है।

— डोमोप्टर

@domotorp: मैं मानता हूँ :(, लेकिन सबूत (डिसाइडेबल Presburger गणित में एक प्रथम क्रम संरचना definable का प्रयोग करके) साफ है।

— Marzio डी BIASI

@domotorp: ... मैं इस भाग को समझने की कोशिश कर रहा हूं: "... अब हम तर्क देते हैं कि पदों से उत्पन्न होने वाले तार के ऐसे अनुक्रमों का संग्रह नियमित रूप से होता है, केवल पढ़ने वाली मल्टी-टेप ट्यूरिंग मशीन के साथ पहचान करके कि वे आवश्यक आवश्यकताओं का पालन करें ... <आवश्यकताओं> ... और दो जीवित टुकड़े एक ही वर्ग पर कब्जा नहीं करते हैं ... "। 99.99% मैं इसे गलत बता रहा हूं, लेकिन मैं यह नहीं देखता कि एक नियमित स्ट्रिंग इस जानकारी को कैसे एम्बेड कर सकती है कि दो टुकड़े अलग-अलग वर्गों में हैं ...

— Marzio De Biasi

इसलिए मैं वास्तव में इस विषय से परिचित नहीं हूं लेकिन क्या यह बात नहीं है कि उनके पास मल्टी-टेप टी-मशीन है? ऐसा लगता है कि उनके पास एक अलग टेप पर प्रत्येक स्ट्रिंग है और फिर यह जांचना सरल है। मुझे लगता है कि अगर हम एक टेप की एक सीमित संख्या चाहते हैं, तो interleaved स्ट्रिंग के साथ दो टेप होना अच्छा होगा।

— डोमोटरप p