कटिंग-लाठी पहेली

Question

समस्या: हमें पूर्णांक लंबाई वाले सभी स्टिक्स का एक सेट दिया जाता है। उनकी लंबाई का कुल योग n (n + 1) / 2 है।

हम उन्हें तोड़ सकते हैं आकार की छड़ें प्राप्त करने के लिए बहुपद समय में? ${1,2,\ldots,n}$

हैरानी की बात है, इस समस्या के लिए एकमात्र संदर्भ मुझे मिल रहा है यह प्राचीन चर्चा है:

http://www.iwriteiam.nl/cutsticks.html

समस्या के बारे में और क्या ज्ञात है? क्या हम समस्या को 'निम्नांकित' में सिद्ध कर सकते हैं?

अद्यतन: काटने की छड़ें समस्या में बाधा है कि प्रत्येक छड़ी कम से कम इकाइयों लंबी है। (असंबंधित मामले के लिए टिप्पणियों और त्सुयोशी का जवाब देखें)।$n$

Comments

आपके द्वारा दिए गए लिंक में समस्या का निर्माण निम्न अतिरिक्त आवश्यकता है, जिसके साथ समस्या अधिक समझ में आती है: "कोई भी स्टिक से कम नहीं है ।" $n$

— जुका सुओमेला

यह निर्धारित करना एक अनसुलझी समस्या है कि क्या यह हमेशा संभव है।

— एमिल

@ ईमिल: क्या आपके पास एक संदर्भ है? ओपी में जुड़ी प्राचीन (1995) चर्चा से अधिक हाल की कोई बात?

— जूका सूमेला

@ जुक्का मेरी गलती। मैं उस बिंदु का उल्लेख करना भूल गया क्योंकि मैं इस धारणा के अधीन था कि समस्या उस बाधा से महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलेगी। वैसे भी, मैं खुश हूं क्योंकि त्सुओशी के जवाब ने एक दिलचस्प सवाल पैदा किया है।

— जगदीश

यह काफी साफ समस्या है, लेकिन शीर्षक भ्रामक है। यह बताता है कि यह एक जटिलता सिद्धांत समस्या है, जब वास्तव में यह एक शांत एल्गोरिदम पहेली है जैसा कि अनशफ्लिंग समस्या है। हो सकता है कि आपको शीर्षक को फिर से लिखना चाहिए।

— सुरेश वेंकट

Answer 1

सावधानी: जैसा कि जुक्का सुकोला ने इस सवाल पर टिप्पणी की थी, प्रश्न से जुड़ा पृष्ठ समस्या में बताई गई समस्या से अलग है, इस पृष्ठ में समस्या पर प्रतिबंध है कि दिए गए स्टिक की लंबाई अधिक या बराबर है एन। यह जवाब इस प्रतिबंध के बिना समस्या के बारे में है। चूंकि एमिल की टिप्पणी पर प्रतिबंध के साथ समस्या को संदर्भित करता है , इसलिए उनकी टिप्पणी और निम्नलिखित उत्तर के बीच कोई विरोधाभास नहीं है।

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समस्या एनपी-पूर्ण है, भले ही संख्या एकात्मक में दी गई हो।

3-विभाजन समस्या निम्न समस्या है:
उदाहरण : सकारात्मक पूर्णांक ₁ ,…, _n में एक _n , जहां n = 3 m और n पूर्णांकों का योग mB के बराबर है, जैसे कि प्रत्येक _i को B / 4 संतुष्ट करता है। एक _मैं <बी / 2।
प्रश्न : क्या पूर्णांक ₁ ,…, _n को m मल्टीसिसेट में विभाजित किया जा सकता है ताकि प्रत्येक मल्टीसेट का योग B के बराबर हो?

3-विभाजन की समस्या एनपी-पूर्ण है भले ही ₁ ,…, _n सभी अलग हैं [HWW08] ( इस बारे में मुझे बताने के लिए सर्ज गैसपर्स को धन्यवाद )। 3-विभाजन समस्या के इस प्रतिबंधित संस्करण को समस्या में समस्या के रूप में निम्न प्रकार से कम करना संभव है।

मान लीजिए कि हमें 3-विभाजन की समस्या का उदाहरण दिया गया है जिसमें अलग-अलग सकारात्मक पूर्णांक ₁ ,…, _{n शामिल हैं} । बता दें कि m = n / 3 और B = (a ₁ +… + a _n ) / m है, और N को _{i के} बीच अधिकतम होने दें । स्टिक समस्या के निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: उदाहरण में प्रत्येक k 1 {1,…, N} a {a ₁ ,…, a _n } और लंबाई B की m स्टिक के लिए लंबाई k की एक स्टिक होती है। तथ्य का उपयोग करके यह कि प्रत्येक _i एक _i > B / 4 2 N / 2 को संतुष्ट करता है , यह साबित करना आसान है कि इस स्टिक समस्या का एक समाधान है यदि और केवल 3-पार्टीशन समस्या का उदाहरण हल है।

संदर्भ

[HWW08] हीथर ह्युलेट, टॉड जी विल, गेरहार्ड जे। वोगिंगर। डिग्री अनुक्रमों के मल्टीग्राफ अहसास: अधिकतमकरण आसान है, न्यूनतम करना कठिन है। संचालन अनुसंधान पत्र , 36 (5): 594-596, सितंबर 2008. http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004

Comments

मुझे नहीं पता कि 3-विभाजन की समस्या एनपी-पूर्ण बनी हुई है या नहीं, यदि संख्याएँ अलग-अलग हैं या नहीं, और मैं इसके बारे में पूछ रहा हूँ: cstheory.stackexchange.com/questions/716/…

— Tsuyoshi Ito

सर्ज गैस्पर्स ने मुझे बताया कि यह (धन्यवाद!) करता है। मैंने इसका उपयोग करते हुए प्रमाण को सरल बनाया।

— अक्टूबर को त्सुयोशी इटो